Dinamica del punto

Problema del ciclistamoto

Moto circolare uniforme

|v| = costante

a_t = dv/dt = 0

a_n = v²/R

F = 8000 N è la forza di attrito degli pneumatici

Problema del ciclotrone

Moto circolare uniforme

|V| = costante

q_t = dx/dt = 0

am = v²/R

F = 8000 N è la forza di attrito degli pneumatici

Forza (grandezza vettoriale)

Studio la forza come un vettore. Una forza è la somma di più forze (regola del parallelogramma).

∑_k=1ⁿ F_k

F₁ + F₂ + ⋯ + F_n = F_risultante

Concetto di equilibrio

La risultante è nulla:

(F₁ + F₂) + F₃ = 0

Una forza può variare nel tempo. Scrivo le equazioni della cinematica F = m · a

v(t) = V₀ + a · t = V₀ + (F₁/m) · t

Legge di Newton (legge di azione e reazione)

F_AB = - F_BA

Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

Tipi di forze

• Forza peso F_p = M * g

Tale forza è proporzionale alla massa del corpo.

g ≈ 9,81 m/s²

μ_g = F_p : m = 9,81

• Reazione vincolare normale R_n

Supponiamo di avere un punto in quiete su un piano rigido orizzontale

a = 0

È la forza esercitata dal vincolo (muro)

R_n = F_p

Tale forza è normale al piano.

Feq, R + F = 0

Equilibrio statico (equilibrio tra F_p e R_n)

Scivolamento su piano inclinato

^F_P/_RN = m · g

F_ris [ F_P R_N ] m · a + 0

Scomponiamo le componenti

Introduco un sistema di coordinate

Lungo x: (mg)_x (R_N)_x m · amg_x + 0 = ma_x

Lungo y: mg · R_N = mg_y

Sappiamo che:

mg_x - mg · sin θ

mg_y - mg · cos θ

mg_y = mg cos θ

mg_x = mg sin θ

Quindi:

mg sin θ + 0 = ma_x = ma

-mg cos θ + R_N = ma_y = 0

a = g sin θ

R_N = mg cos θ

La componente dell'accelerazione lungo y è nulla. Quindi sul piano inclinato, l'accelerazione è:

a = g sin θ

Sul piano inclinato di θ = 90° allora a = g

R_N = mg cos θ

Se θ = 90° allora R_N = 0

Trazioni su un piano orizzontale con scivolamento

F_ris = M · g · μ + R_N + F_T = M · a · x

Scelgo un sistema di coordinate:

Lungo x

F_ris = 0 + 0 + Fcos θ = M · a_x

dunque:

F · cos θ = M · g

Lungo y

Fn_y + Rn - Mg + Fa_inθ - H_x = 0

Rn - Mg + Fa_inθ = 0

Lungo x

F cos θ = Na_x = Ma

a = F cos θ / M

u: Rn - Mg + Fa_inθ = 0

Rn = Mg - Fa_inθ

Esercizio:

F = 250 N

θ = 45°

H = 100 kg

a = F cos θ / M ≈ 1.77 m/s²

Rn = Mg - Fa_inθ = 804 N

Lungo x

Fen θ = Ma_x

Lungo y

Fa_inθ + Rn + Mg = 0

Rn = Mg - Fa_inθ

Tensione di funi

Supponiamo di avere una fune ideale:

• Flessibile
• Massa trascurabile
• Inestendibile

Immaginiamo di avere un grave appeso, collegato con una fune ideale ad un vincolo.

Mi scrivo le forze in gioco

F_p = m⋅g_ĵ

T̅ = -m⋅g_ĵ

Si ha un equilibrio statico. Allora supposto che il grave (il vincolo) è fermo.

F_isa - m⋅g_ĵ + T̅ = 0

m⋅g⋅_ĵ + T̅ = 0

T̅ = -m⋅g_ĵ

In componenti

|T̅| = m⋅g

Bisogna però considerare un'altra forza. Punto materiale appeso con accelerazione.

F_ris = -m·g + T = m·a ≠ 0

In componenti lungo y

-m·g + T = m·a_y

T = m·g + m·a_y

1. Se l'accelerazione: a↑ allora T > m·g
2. Se l'accelerazione: a↓ allora T < m·g