Dinamica del punto

Problema del ciclotrone

modo circolare uniforme

|v| = cost

a_t = dv/dt = 0

a_n = v²/R

F = 8000 N è la forza di attrito degli pneumatici.

Forza (grandezza vettoriale)

Studio la forza come un vettore.

Empirica la somma di più forze (regola del parallelogramma).

₁⃗ + ₂⃗ + ⋯ + _n⃗ = ∑_k=1ⁿ _k⃗ = _risultante⃗

Concetto di equilibrio.

La risultante è nulla:

[ (₁⃗ + ₂⃗) + ₃⃗ ] = 0

Una forza può variare nel tempo.

Servono le equazioni della cinematica.

_F⃗ = m a⃗

v(t) = v₀ + a t = v_a + _F⃗ / m t

3^a legge di Newton: (legge di azione e reazione)

_FAB⃗ = - _FBA⃗

Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

lunga y

R_N · Mg + F_atmθ - Ma_y

R_N - Mg + F_atmθ = 0

dunque:

x: F_ecosθ = Max = Ma → a = F_ecosθ / M

y: R_N - Mg + F_atmθ = 0

R_N - Mg - F_atmθ

Esercizio:

F = 250 N

θ = 45°

M = 100 kg

a = F_ecosθ / M = 1.77 m/s²

R_N - Mg - F_atmθ = 804 N

lungo x

F_ecosθ= max

lungo y

F_atmθ + R_N + mg = 0

R_N - mg = F_atmθ

LANCIO DEL MARTELLO (esercizio d'esame)

1. considero |v| = cost
2. α_T = dv/dt = 0
3. α_n = v²/R
4. R = l_m = lunghezza della fune

T_f: tensione della fune

T = m · α_m

lungo l'asse x

T = m · α_m

m · v²/R = m · ω² · R = m · ω² · l = m · v²/l

caso pratico

m = 7,3 kg

l = 2 m

ν = 1 giro/ = Hz ← FREQUENZA

v = 2π/ ω = ω = 2π · ν

T_m = m · v²/l = m · ω² · l = 576 N

M_s nella realtà assumo valori più piccoli di 1:

es. 0.3, 0.5 ecc.

si può esprimere anche

F₁ = F_A

Esercizio:

quadro su piano inclinato.

Facchi l'oggetto si Re un equilibrio statico

F_ris = mg i cos θ + R_N + F_A = 0

asse m

R_N - mg cos θ = 0 ⇒ R_N = mg cos θ

asse τ

mg sin θ - F₁ = 0 ⇒ F_A = mg sin θ

dunque:

F₂ = mg sin θ ≤ M_s R_N

quindi

F_A = mg sin θ < M_s (mg cos θ)

mg sin θ

sin θ < M_s cos θ

F_eL = -kx

ΔL > 0 (se la molla si allunga)

F_eL = kx

ΔL < 0 (se la molla si comprime)

x: indice il vettore spostamento del punto libero della molla.

Azione della forza elastica.

F_ris = mg* + F_eL = 0perché si ha un equilibrio statico:

-mg + kΔL = 0

ΔL = \(\frac{mg}{k}\)

Esempio:k_i = 4000 \(\frac{N}{m}\)m = 2 kg

ΔL = \(\frac{mg}{k}\) = \(\frac{2 \, kg}{4000 \, N/m}\) \(\times 9.8 \, \frac{m}{s^2}\) = \(\frac{1}{1000 \, kg \, / \, m \, s^2}\) = 0.0049 m

Se abbiamo

Queste 2 molle sono in parallelo.

• [ΔL₁ , ΔL₂], poiché se si muove la massa centrale, una molla si comprime e l'altra si estende.

L'osservatore armonico.

Abbiamo una molla in orizzontale con un estremo vincolato e il blocco attaccato ad una massa m.

Il corpo di massa m è libero di muoversi senza attrito.

ΔL = x

F_el = -k · x²

Oscillatore armonico smorzato

Se l’ambiente è smorzato, si dice che esiste l’attrito tra il corpo e il piano.

F_el + F_ay = m a = m d²x/dt²

m d²x/dt² + kx - bv = 0 è un’equazione differenziale.

d²x/dt² + k/m x + b/m dx/dt = 0

Quindi:

d²x/dt² + 2ζ dx/dt + ω² x = 0

dunque:

x'' + 2ζx' + ω²x = 0

((eq. diff. del secondo ordine omogenea))

Risoluzione matematica:

Oscillatore armonico smorzato

x'' - 2ζx' + ω²x = 0

r = -b/2m, ω² = k/m

Equazione caratteristica:

λ² + 2ζλ + ω² = 0

Δ = ζ² - ω²

λ_1,2 = -ζ ± √(ζ² - ω²)

1. Andamento smorzamento critico (i.e., nuclei distinti)

x(t) = A e^-ζt cos(√(ζ² - ω²)t) + B e^-ζt sin(√(ζ² - ω²)t)

Pendolo Semplice

Eq.:

_T/l = ma = m_t

Lavoro sui assi:

1) _T - mgcosΘ = m a_n (com. normale)

2) - mgsinΘ = m a_t = m * ul * m * l * ^d2/_dt²Θ * l

da cui:

_d²Θ/dt² + g/l * sinΘ

Linearizzazione:

Consideriamo diverse osservazioni:

1) - mgsinΘ ≈ sinΘ e Θ ≈ e

2) _d²Θ/dt² ≈ - g_l

3) _d²Θ/dt² + g_*l

4) _{d²Θ/dt ²} = 0

E.O. **** Lineare Omonera del Secondo Orbine:

Ω: g/l

La solusione sarà:

Θ(t) = Acos (Ωt + Θ)

Che coeta la legve energa in mo enimonioco

T = 21/Ωoverline > = 2π/surfg/overline > = Independente da m

Osscronia del Pendolo

Se la largeza del rid e la stesa ore la masse diverse il veloc è stves foixce pece quest litimo è hawapidente dalle masse

CASO GENERALE CON LE ROTAZIONI

La velocità è:

_V = _V1 + _Vt + _Vo1 + _ω × _F’

dunque Teorema delle velocità relative

_V = _Vt + _Vo + _ω × _F’

CASI PARTICOLARI

1. MOTO RELATIVO SOLO TRASLATORIO   _ω = 0

_V = _V1 + _Vt

2. MOTO RELATIVO SOLO ROTATORIO   _V1 = 0

In questo caso l'origine del sistema di riferimento relativo è ferma.

_V = _Vt + _ω × _F’

Es. formica che cammina sopra il piatto di un giradischi.