Dinamica del punto materiale

Vincolare R G G G+ =P R maSull'asse ,poiché il corpo è vincolato a muoversi sul piano π,si ha a =0 e quindi:n̂ n α- =Proiettato sull'asse y) cos 0R P α =è costante sull'asse x) sinP maTale equazione determina il modulo della reazione vincolare esercitata dal piano sul corpo:α= cosR P^Sull'asse avremot α =sinP mada cui si ottieneα= sina g• Forza elastica e moto armonicoQuando una molla ,considerata priva di massa e senza attrito(molla ideale),viene allungata(o accorciata)di un tratto= Δ = - ,dove l è la molla in condizione di riposo,essa esercita,su un corpo fissato alla sua estremità,una forzax l l l 00di "richiamo" proporzionale all'allungamento.Definito sull'asse delle x,la componente F della forza esercitata dalla molla si può esprimere come: Δ = -F k l kxIl segno meno indica che il verso della forza è

sempre opposto a quello dell'allungamento. La costante k è detta costante elastica della molla e caratterizza la molla stessa, le sue dimensioni sono:

• F - - - = 2
• k MLT L MT

L'equazione del moto, è dunque: 2 (d^2x/dt^2) + (k/m)x = 0

Se indichiamo con la costante positiva k/m, cioè: kω^2 = 2m

Se A rappresenta l'ampiezza massima del moto e φ, la fase iniziale, la prima vale: m = A cos(ωt + φ)

Il pendolo semplice è formato da un punto materiale di massa m, vincolato a un filo inestensibile. Le forze che agiscono sul pendolo sono la forza peso e la forza T, non

dipende da s è le piccole oscillazioni sono dette isocroneSe si sposta il pendolo di un angolo θ dalla sua posizione di equilibrio e lo si lascia libero,esso descrive un arco dicirconferenza ripassando per M e,in assenza di attrito,raggiunge la posizione C',simmetrica di C rispetto all'asse OM.La traiettoria si può esprimere come l'ascissa curvilinea ed è legata all'angolo θ dalla relaziones= θs lQuindi l'equazione 2d s= - θ = =sinP mg ma m1 1 2dtsi può scrivere2d s s+ =sin 0g2dt l• Forza d'attrito radenteUna componente fondamentale della vita terrestre,è l'attrito. Consideriamo un corpo su un piano orizzontale,fermoGG .sotto l'azione del suo peso e dalla reazione vincolare NPSi osservi sperimentalmente che,per spostare il corpo parallelamente al piano d'appoggio,è necessario applicare unaG G minforza d'intensità uguale o maggiore ad un valore

Tra le superfici a contatto nasce una «forza d’attrito statico», fin quando il corpo, sollecitato dalla forza inferiore F_G, min, uguale e opposta ad :di, rimane fermo, il piano esercita sul corpo una forza di attrito statico F_s.

Si consideri un corpo su un piano inclinato di un angolo α. Fino ad un certo valore dell’angolo, il corpo rimane fermo grazie alla forza d’attrito statico. Una volta che il corpo si è messo in moto, la sua accelerazione è inferiore al rapporto e si dirà che il piano esercita sul corpo una «forza d’attrito dinamico».

Il coefficiente d’attrito statico µ dipende dai tipi di superfici a contatto e dalla forma del corpo e dalle asperità presenti sulle superfici. Una volta che il corpo si è messo in moto, il coefficiente d’attrito dinamico μ è inferiore al coefficiente d’attrito statico.

Natura delle superfici a contatto	µ statico	µ dinamico
Legno su legno	0,52	0,50-0,25
Acciaio su acciaio	0,30	0,20-0,15
Acciaio su ghiaccio	0,10	0,03

α, l'attrito riesce a mantenere il corpo fermo, fino a trovare quell'angolo α in cui il corpo comincia a scendere

G G G+ + = 0P N Fs

Proiettando questa equazione su due assi, uno parallelo al piano e l'altro normale si ha:

α− =⎧ sen 0 diretto all'asse xF Ps⎨ α− =cos 0 diretto all'asse y⎩ N P⎧ PFs⎪ μ α= senN P⎨ s s⎪ α= cos⎩ N P s

Otteniamo μ α= tgs s

Quest'ultima suggerisce una maniera particolarmente semplice per trovare i coefficienti di attrito statico.

• Forza d'attrito viscoso

Quando un corpo di massa si muove in un fluido, su di esso agisce una forza d'attrito che tende a frenare il moto.

mScriveremo dunque: G G= −F Kva

Il coefficiente K dipende sia dalla forma del corpo che dal fluido nel quale avviene il moto e generalmente è maggiore di 0 e lo possiamo esprimere come: −2[ ] [ ] [ ]F MLT M[ ] −= = = =1[ ]TK M− −1 1 ][ ] [ ] [LT LT

TL’equazione del moto sarà: 2 ( )d s t = − ( )m K v t2dt

La quale può essere riscritta nella forma ( ) 1dv t + =( ) 0v tτdt 1k = τm

Dove costante τ(tau) espressa come m/k ed è chiamato «tempo di rilassamento» quindi l’equazione può esserescritta : ( ) 1dv t = dtτ( )v t

In questo modo s’è portato al primo membro la variabile indipendente t,ed integrando avremo:v t1dv∫ ∫= − dtτv 0v0 t− = −log ( ) logv t v τ0τ−= /( ) tv ev t 0v τ−= /tev0

La velocità decresce esponenzialmente nel tempo

Se poniamo t = τ avremo: vτ = 0( )v e

La velocità iniziale è ridotta di un fattore Formalmente si prevede che un corpo,sottoposto alla sola forzae. → ∞ =d’attrito,si arresti dopo un tempo infinito: ;in effetti,dopo un tempo sufficientemente lungo il valore( ) 0v tdella velocità diventa praticamente nullo per i nostri

strumenti di misura. La costante di tempo τ coincide con l'intervallo di tempo in cui il corpo si fermerebbe se fosse sottoposto ad accelerazione costante uguale a quella iniziale 0τ. Il momento della quantità di moto o momento angolare. Scelto il polo O, si definisce momento angolare rispetto ad ogni punto O' il prodotto vettoriale G G G= ∧'l r p. G è il vettore che individua la posizione del punto materiale rispetto ad O'. Dove r G. Se su un punto materiale di massa una forza F agisce, definiamo momento della forza rispetto al punto O' il vettore G G Gτ = ∧'r F. Consideriamo, ora, la derivata rispetto al tempo del momento della quantità di moto. Tenendo conto che è: G G G= −'r r r 'O G G G= − ∧( )l r r P'O. Si ha G G G G G Gdrdl dr dp dp= − ∧ + ∧ = − ∧ + ∧0 ' ( ) ' p r v v p r'Odt dt dt dt dtG G G∧

'Dove è la velocità di rispetto ad Poiché e sono vettori paralleli avremo:0O O.v v p0 G G G GG G G G G G G Gdl dp τ= − ∧ + ∧ = − ∧ + ∧ = − ∧ +' 'v p r v p r F v p' ' 'O O Odt dt'

'Quando il punto è fermo rispetto ad avremo:O O GG dlτ = dt G G='

'Questa relazione vale,in particolare,se si sceglie coincidente con e cioè con'O O r rG G G= ∧l r pGG Gτ = ∧r F• Forze centraliUna forza è detta centrale quando ad un punto P entra o esce una determinata forza,quindi:G G G= ± ˆ( ) ( )F r rF rG G G G= ±( ) ( )F r rF rPer tale forza si avrà sempre: GG G G Gτ = ∧ = ∧ =ˆ ( ) 0r F r r F rE quindi il momento della quantità di moto sarà costante nel tempo dove:G= ∧l r mvsi haG G= ∧ = costantel r mvLa velocità aleatoria è costante quindi: 1 G l∧ = = Γ = costanter v2 2

m• Sistemi di riferimento inerziale e non inerziali o forze fittizie Si intende per sistema di riferimento inerziale, mediante il Principio d'inerzia, grazie all'equazione fondamentale della meccanica dove F sono le forze reali generate da altri corpi, sul punto materiale di massa F ma m. Il concetto di "forze fittizie" sono quelle generate dal moto di un corpo e non esistono corpi che lo generano, mentre le altre le chiameremo "forze reali". Usando il principio d'inerzia, sperimentalmente si è accertato che il sistema di riferimento Copernicano, con centro del Sole e gli assi orientati verso le stelle "fisse", è un buon sistema inerziale. Se R è un sistema inerziale, tutti i sistemi in moto traslatorio uniforme rispetto a R sono inerziali, cioè sia in R' = R + v che in R'' = R + 2v vale e quindi tutti gli osservatori inerziali misureranno le stesse "forze reali" che in F ma R. È esperienza quotidiana che.Durante una frenata, un'accelerata o una curva, tutti gli oggetti in un'auto subiscono un'accelerazione in avanti, all'indietro o lateralmente.