Dinamica dei sistemi

Dinamica dei sistemi e centro di massa

Definizione del centro di massa

Dato un sistema schematizzato come privo di forze costituito da N punti materiali di masse m_i, le cui posizioni sono individuate dai vettori r_i, si definisce il centro di massa:

r̅_CM = ¹/_M ∑ _i=1^N m_i · r_i
M = ∑ _i=1^N m_i massa totale del sistema

In coordinate cartesiane si ha:

• X_c = ¹/_M ∑ _i=1 m_i · x_i
• Y_c = ¹/_M ∑ _i=1 m_i · y_i
• Z_c = ¹/_M ∑ _i=1 m_i · z_i

Il centro di massa è il punto tale per cui il sistema si comporta come se la sua massa fosse tutta concentrata in tale punto e al quale si immaginano applicate le forze che agiscono sul sistema. Il centro di massa è un punto geometrico "interno al sistema" ma non necessariamente appartenente al sistema.

Primo teorema del centro di massa

Centro di Massa: r̅_CM = ^{∑_i=1N m_i · r_i}/_M = ¹/_M ∑_i=1^N m_i · r_i

Velocità del CM: v̅_CM = d r̅_CM / dt = ¹/_M ∑_i=1^N m_i · v_i

Il teorema dice: la velocità del CM è pari alla quantità di moto del sistema divisa la massa del sistema.

Q̅ = ∑ _i=1^N m_i · v_i
v̅_CM = ¹/_M ∑ _i=1^N m_i · v_i = ^Q̅/_M
Q̅ = M · v̅_CM

Dinamica dei sistemi

Dato un sistema schematizzato come se fosse costituito da N punti materiali di masse m_i le cui posizioni sono individuate dai vettori r_i, si definisce il centro di massa:

r_CM = (∑_i=1^N m_ir_i) / ∑_i=1^N m_i = 1/M ∑_i=1^{N m_ir_i}

M = ∑_i=1^N m_i è massa totale del sistema

In coordinate cartesiane si ha:

• X_C = 1/M ∑_i=1^N m_ix_i
• Y_C = 1/M ∑_i=1^N m_iy_i
• Z_C = 1/M ∑_i=1^N m_iz_i

Il centro di massa è il punto tale per cui il sistema si comporta come se la sua massa fosse tutta concentrata in tale punto e al quale si immaginano applicate le forze che agiscono sul sistema. Il centro di massa è un punto geometrico "interno al sistema" ma non necessariamente appartenente al sistema.

Primo teorema del centro di massa

Centro di Massa: r_CM = (∑_i=1^N m_ir_i) / ∑_i=1^{N m_i = 1/M ∑_i=1N m_ir_i}

Velocità del CM: v_CM = d r_CM/dt = 1/M ∑_i=1^N m_iv_i

I teorema del CM: la velocità del CM è pari alla quantità di moto del sistema diviso la massa del sistema.

∑_i=1^N m_ir_iv_CM = (∑_i=1^N m_iv_i) / M = Q_Σ/M
Q_Σ = Mv_CM

Secondo teorema del centro di massa

Accelerazione del centro di massa

a_CM = d/_dt v_CM = ¹/_M d/_dt ^NΣ_i=1 m_i v_i = ¹/_M ^NΣ_i=1 m_i a_i = ¹/_M ^NΣ_i=1 F_i

Teorema di CM: L'accelerazione del CM è pari alla forza esterna diviso la massa del sistema.

a_CM = d/_dt (Q/_M) = ¹/_M dQ/_dt = ¹/_M F_EST (Prima equazione cardinale)

F_EST = M * a_CM

Mostra che il centro di massa di un sistema si muove come un punto materiale nel quale si concentra l'intera massa del sistema e su quale agisce il risultante delle forze esterne.

Sistema di riferimento del centro di massa

È conveniente introdurre un nuovo SREF (in generale non inerziale) che esalti il ruolo del CM. Lo chiameremo solo intrinseco.

O = CM
ω = δr_c = R_i + R_cm
v_c = V_i + V_cm