Dinamica dei sistemi

DINAMICA DEI SISTEMI

CENTRO di MASSA

Dato un sistema schematizzato come n forze costituite da N punti materiali di masse mi e le cui posizioni sono individuate dai vettori ri, si definisce il CENTRO di MASSA:

M = _i=1^N ∑ mi = massa totale del sistema.

Il centro di massa è il punto tale per cui il sistema si comporta come se le sue masse fossero tutte concentrate in tale punto ed è qui che si immaginiamo applicate le forze che agitano sul sistema.

Il centro di massa è un punto geometrico “interno al sistema” ma non necessariamente appartenente al sistema.

PRIMO TEOREMA del CENTRO di MASSA

• CENTRO di MASSA:

F_CM = _i=1^N ∑ mi r_i = _i=1^N ∑ mi r_i 1/M

• VELOCITÀ del CM:

V_CM = dt_CM/dt = 1/M _i=1^N ∑ mi v_i = 1/M _i=1^N ∑ mi r_i

Il centro di massa è pari alla quantità di moto del sistema diviso la massa del sistema.

Q = _i=1^N ∑ mi v_i; V_CM = 1/M _i=1^N ∑ mi v_i = Q/M

SECONDO TEOREMA del CM

• ACCELERAZIONE del CM:

a̅_cm = d(v̅_CM)/dt = 1/M ∑_i=1^N m_i dv̅_i/dt = 1/M ∑_i=1^N m_i a̅_i = 1/M ∑_i=1^N F̅_i

• TEOREMA del CM:

L'accelerazione del CM è pari alla forza esterna diviso la massa del sistema.

a̅_cm = d(P̅_M)/dt = 1/M dQ̅/dt = 1/M F̅_EST (Prima equazione cardinale)

F̅_EST = M · a̅_CM

Mostra che il centro di massa di un sistema si muove come un punto materiale nel quale è concentrata l'intera massa del sistema e su quale agisce la risultante delle forze esterne.

Le prime equazioni cardinale riguardano i moti di questi punti.

SISTEMA di RIFERIMENTO del CM

È conveniente introdurre un nuovo SRF s'l'CM generale non (inserisce) che esalta il ruolo del CM. Lo chiameremo SRE intrinseco.

O' = CM

ω̅ = ẟ

r̅_i = R̅_i + R̅_CM

v̅_i = V̅_i + V̅_CM

ṙ̅_CM + 1/M ∑_i=1^N m_i ṙ̅_i = 1/M ∑_i=1^N m_i (Ṙ̅_i + ṙ̅_CM) = 1/M ∑_i=1^N m_i Ṙ̅_i

ṙ̅_CM - ṙ̅_CM = ∅

∑_i=1^N m_i R̅_i = ∅

∑_i=1^N m_i v̅_i = ∅

Sistemi di punti soggetti a forza peso

p_i = m_ig q_g = gk g = 9.8 m/s²

F_EST = ∑ N ℓ=1 p = ∑ N ℓ=1 M_ℓg = M_g = P_g

M_EST = ∑ N ℓ=1 r_ixp_i = ∑ N ℓ=1 r_ixm_ig_i = x̅g (∑ N ℓ=1 x̅^R i^c)

t = M_Rg x̅ = t_Rg x̅ = t_Rg x̅ t_CM x̅ = t_R x̅ = t_CM x̅ = x̅g x̅ = M x̅_CM

Un sistema di punti soggetto alla forza peso è comportato come un unico punto materiale coincidente con il CM avente massa M.

V = g M_Rx̅_R

Sistemi Continui

Sistemi non puntiformi → insieme densi di punti → sistemi continui estesi.

Per tali sistemi le grandezze e importanti possiamo caratterizzarle attraverso una misura chiamata geometrica.

Volume V [L³] → m³

Anche un sistema continuo è dotato della proprietà massa del sistema.

Massa M [M] → kg

• Denistà volumetrica media di massa: ρ̅ = MV[ρ̅]=[ML⁻³]→ kg/m³

H₂O = 1 Kg/dm³ Aria = 1.2 Kg/m³ Cemento = 3 Kg/dm³ Ferro = 8 Kg/dm³

• Denistà volumetrica puntuale (locale) di massa: ρ(↓) → ^dm _dV M = ∫ Vdm = ∫ Vρ(V)dV

Il moto più generale possibile è il moto roto-traslatorio, dove:

• Il CM si muove seguendo la 1^a eq. cardinale
• Il corpo fa un moto rotatorio attorno ad un asse istante che li di rotazione passante per il CM, il moto è descritto dalle 2^a eq. cardinale.

Moto Rotatorio Puro

Scelgo S_R dove il CM è l'origina (sistema inerziale) \(\vec{v}_{est} = \vec{0}\)

\(\large \vec{\omega} = \vec{0}\)

Unica equazione cardinale utile: \(\frac{d\vec{P}_{CM}}{dt} = \vec{M}_{CM}^{est}\)

• Scelgo S_RI in modo tale che l'asse rotazione di rotazione sia l'asse z:
  • Tutti i punti descrivono un moto circolare attorno all'asse z
• S’ scelgo con origine nel CM e solidale con il corpo rigido

- Tutti i punti del corpo rigido sono fermi in S’

\(\large \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}_{0i} + \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}_{0i} \rightarrow \vec{v}_{i} = \vec{\omega} \times \vec{r} - \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}_{i}\)

\(\vec{P}_{CM} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \vec{\dot{r}}_{i} = \sum_{i=1}^{N} m_{i} \vec{r}_{i} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_{i})\)

\(\vec{P}_{CM} = \int_{V} \vec{r} \times \frac{\partial}{\partial t} (\vec{\omega} \times \vec{r}) \rho dV = \int_{V} \vec{r} \times (\dot{\vec{\omega}} \times \vec{r}) \rho dV\)

In generale \(\vec{P}_{CM}\) è un vettore la cui direzione non coincide con \(\vec{\omega}\)

\(\tau_{CM} = \int_{V} \vec{r} \times \vec{f}^{(int)} (P) dV\)

CASO MEST = Ø

dPcm/dt = Ø

d(2mR²Ø)/dt = 2mR²Ø̇

2mR²Ø̇ = 0 → Ø̇ = cost → ω = Ø(t) = Ø₀ + ωt

CASO MEST = cost

dPcm/dt = 2mR²Ø̇ = MEST

Ø̇ = MEST/2mR² = α (acc. angolare costante)

Ø̇(t) = Ø̇(0) + αt (velocità andamento lineare)

Ø(t) = Ø(0) + Ø̇₀ + α/2 t² (angolo andamento quadratico)

MOMENTI D'INERZIA DI SOLIDI

• Sbarra omogenea di m = M e lunghezza L: I_zz = ML²/12
• Piastra rettangolare omogenea di lati a e b: I_zz = M(a² + b²)/12
• Disco omogeneo di raggio R e m = M: I_zz = MR²/2

SISTEMI di PUNTI SOGGETTI a _FP

F_EST = M_T • g F_EST = ∫_CM x ρ'

V = g • M z_CM

SISTEMI CONTINUI

Volume V = [L]³ Massa M = [M] • [L]³

• Densità volumetrica
• media di massa 〈ρ〉 = M / V
• puntuale di massa ρ(x)= dm / dV

M = ∫ ρV → dm = ρ(_r̅) dV → M = ∫_V dm = ∫_V ρ(_r̅) dV

Quindi, r̅_CM = ∫_V r ρ(_r̅) dV / ∫_V ρ(_r̅) dV = 1/M ∫_V r ρ(_r̅) dV

SISTEMI PIANI

Densità superficiale

• media di massa 〈G〉 = M / S
• puntuale di massa G(x,y) = dm / dS = dm / dx dy

dm = G(x,y) dS = G(x,y) dx dy

SISTEMI LINEARI

Densità lineare

• media 〈λ〉 = M / L
• puntuale λ(x) = dm / dl = dm / dx

dm = λ(x) dl = λ(x) dx

r_CM = 1/M ∫ r dm = 1/M ∫ x F λ(x) dx