Terzo principio della dinamica

TERZO PRINCIPIO

QUANTITÀ di MOTO di UN PUNTO MATERIALE

Dato un corpo di massa m avente velocità v in un istante generico t, si definisce quantità di moto del corpo il vettore

q = m·v

[q] = [ML^1_uT^-1] = [Kg m/s]

Se un S.P. è una particella non soggetta a forze non equilibrate → si muove con velocità costante ⟹ modulo e costante ↑ velocità ↑ ⟹ q = costante

Posto quindi esprimere il Primo principio della dinamica anche nella seguente forma:

• “Esistono infiniti SRI nei quali ogni punto materiale libero ha quantità di moto costante”

Se nel corpo dipendono forze non equilibrate ⟹ altro comportamento delle quantità di moto.

F = m·a ⇒ m dv/dt = d(m v)/dt ⇒ ≠ dq/dt ^(*)

F = dq/dt ⇒ m dv/dt: dm v

{ F = m dv/dt dq/dt}

^(*) Relazione che generalizza il Secondo Principio della Dinamica.

In un SRI, ogni volta che un corpo cambia la propria quantità di moto esiste (almeno) una forza responsabile di tale cambiamento; tra forze risultanti e quantità di moto esiste in ogni istante la relazione: F ≠ dq/dt !!

F = dq/dt è più generale di F = m·a

⟹ valida anche nel caso di massa variabile

IMPULSO e TEOREMA dell'IMPULSO

Definiamo la grandezza vettoriale chiamata impulso:

I = ∫ F dt = Δq = q_f - q_i   [I] = [kg·m/s] = N·s

Teorema della quantità di moto

Teorema dell'impulso

L'impulso della forza risultante che agisce su un punto materiale durante un intervallo di tempo Δt è uguale alla variazione della quantità di moto in Δt.

Teorema dell'impulso: forma integrale del secondo principio della dinamica

FORZA IMPULSIVA:

Forza che agisce per un periodo di tempo limitato

Se F = Ø → q = costante

I = ∫ F dt = ∫ F_x dt i + ∫ F_y dt j + ∫ F_z dt k

Se F = costante → I = F Δt

I = ∫ F dt = ∑ ∫ F_i dt = ∑ I_i (caso in cui sul corpo agiscono più forze)

FORZE INTERNE:

Vincoli fra punti materiali, fili; scossa interna al sistema, molle; o sistemi di attrito, repulsioni fra punti.

FORZE ESTERNE:

Forze peso, vincoli tra il sistema e l’esterno, tensioni tra il sistema e l’esterno.

dQ/dt = Σ_i=1^N F^INT + Σ_i=1^N F^EST

dp₀/dt = Σ_i=1^N Mⁱ = Σ_i=1^N (M^i_INT + M^i_EST)

Un sistema si dice ISOLATO quando la risultante delle forze esterne e dei momenti esterni è nulla:

F_EST = ØM_EST = Ø

Per un sistema isolato si ha:

dQ/dt = F^INTdp₀/dt = M^INT

Nei sistemi isolati si osserva sempre:

dQ/dt = Ødp₀/dt = Ø → F^INT = ØM^INT = Ø

Q₀ e P₀ sono costanti nel tempo (si conservano) nei sistemi isolati.

SISTEMA ISOLATO SEMPLICE

F₁ e F₂ forze interne al sistema ai due punti

F^INT = F₁ + F₂ = 0 → F₂ = - F₁

M^INT = r₁ × F₁ + r₂ × F₂ = 0→ r₁ × F₁ = r₂ × (- F₁)(r₁ - r₂) × F₁ = Ø

Attenzione: questa condizione che si deve osservare deve essere sempre esatta.

URTI COLLINEARI di PUNTI MATERIALI

Prima dell’urto

Dopo l’urto

Essendo assenti forze esterne, si conserva la quantità di moto e il momento angolare, per questo caso:

Questa espressione non basta perché 2 incognite e 1 equazione, si procede in maniera empirica utilizzando la relazione

è un coeff. adimensionale, detto coeff. di restituzione e dipende soltanto dal tipo di interazione e dei materiali di cui sono costruite le due sfere

• e = 0 urto perfettamente anelastico, i due corpi dopo l'urto restano uniti
• e = 1 urto perfettamente elastico, caso ideale

Il sistema di equazioni

• (conserv. delle quantità di moto e dei momenti angolari)

• Modulo

Formule generali che valgono per tutti gli urti

CASO 1A - e = 1

CASO 1B - m1 = m2

• Se le due masse sono uguali i due punti si scambiano le velocità

TERZO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

FORMULAZIONE STORICA: A esercita su B una forza ↔ B esercita su A una forza vettorialmente opposta e con da stessa retta d’azione.

FORMULAZIONE ALTERNATIVA: se in un SRI osserviamo che su un corpo A di esercita una forza odorna B, B è responsabile di questa forza.

FORMULAZIONE MODERNA: in un SRI F̅i e P... di conversione per sistemi isolati

dQ̅_i/dt = F̅_i | dP̅_B/dt = P_B

EQUAZIONI CARDINALI

dR̅_out/dt = F̅_EST | dP_out/dt = M_EST

Es. cardinali della dinamica dei sistemi → valgono solo in SRI

Quinz dR̅=fn (III principio)

URTI

↔ B viaggiano a v^A_i + v^B_i → interagiscono per Δt ≈ 0

→ modificano le loro velocità v^A_f ≠ v^A_i v^B_f ≠ v^B_i

<F̅> = 1/Δt ∫_t2^t1 F̅ dt = Ȯ(t2)-Ȯ(t1) / Δt (FORZA MEDIA)

→ <F̅> ≠ dȮ/dt ≈ ∑_i dȮ/dt

URTI COLLINEARI

F_EST = 0 | e la quantità di moto e il momento angolare si conservano

m₁v^f₁ + m₂v^f₂ = m₁vⁱ₁ + m₂vⁱ₂

2 m.c.v es-g protesi in maniera empirica:

e: coeff. di restituzione

e = 0.5; v^A_f=v^A_f e (v₁-v₂) = 0

e = 0 → urto elastico

e < 1 → urto meplatts

Esercizio

M₁ = 1Kg

M₂ = 2Kg

M₁ -> V₁

M₂ -> V₂

V_1A = 1^m/_s

V_2A = -1^m/_s

Dopo urto rimbalza indietro per mezzo di un piccolo gancioDeterminare:

1. Veloc. Dopo l'urto (Vettore)
2. ΔE perso nell'urto

a) Urto Anelastico

• Conservazione delle quantità di moto
•   Q_i = Q_f -> M₁ V_1A + M₂ V₂ = (M₁ + M₂) VF
•   V_F = M₁ V_1A + M₂ V₂/_{M1 + M2} = 1^x - 2^x/₃ = -1/_3^x

b) Urto Anelastico

• ΔE << 0
• ^E_in = E_fin + ΔE

ΔE = E_in -_Efin = (1/₂ M₁V_1A² + 1/₂ M₂V_2A²) - (1/₂ (M₁ + M₂) V_F²)

= (1/₂ + 1) - (2¹/₉)

= 3/₂ - 1/₆ = 1,33 J