Dimostrazioni teoremi dinamica Fisica 1

Moti relativi

r(t) = O + n^'
r = Xi + yj + zk
n^' = x¹i + y¹j + z¹k
O = o⁰ = x₀i + y₀j + z₀k
v = ^d/_dt(o⁰ + n^')
= ^do0/_dt + ^{d(x1i + y1j + z1k)}/_dt + ^dn'/_dt
= ^dx0/_dti + ^dy0/_dtj + ^dz0/_dtk + ^dx1/_dti + ^dy1/_dtj + ^dz1/_dtk + ^dn'/_dt
= v_o + v^' + ω × n^'
v^' = ^dr/_dt = v_o + V^' + ω × n^'
a = ^dv/_dt = ^d/_dt(v_o + V^' + ω × n^')
= ^d/_dtv_o + ^d/_dtV^' + ^dω/_dt × n^' + ^dn'/_dt × ω
= ^d/_dt(^dx1/_dti + ^dy1/_dtj + ^dz1/_dtk)
= ^d2x1/_dt²i + ^d2y1/_dt²j + ^d2z1/_dt²k + ^dx1/_dti + ^dy1/_dtj + ^dz1/_dtk + ω × n^' + v^' × n^' + ^dn'/_dt × ω + ω × (ω × n^')
a = a_o + a^' + ω × v^' + ^dω/_dt × n^' + ^dn'/_dt × ω
a = a_o + a^' + 2ω × v^' + ^dω/_dt × n^' + ω × (ω × n^')

Moti relativi

v(t) = O + v¹
r = xi + yj + zk
n = x¹i + y¹j + z¹k
o¹ = x^o1i + y^o1j + z^o1k
v = _dt/_dt(o¹ + n¹)
= _dt/_dt(x^o1i + y^o2j + z^o1k) + _dn¹/_dt
= v₂ + v'¹ + ω × n¹
v' = _dr'/_dt = v_o + v' + ω × n¹
ω = _dv'/_dt = _dt/_dt(v_o + v' + ω × n¹)
= _dt/_dt v_o + _dt/_dt v' + _dt/_dt ω × n¹ + _dn¹/_dt × ω
_dt/_dt (^dx1/_dti + ^dy1/_dtj + ^dz1/_dtk)
= _d²x¹/_dt²i + _d²y¹/_dt²j + _d²z¹/_dt²k + ^dx1/_dt × ω i + ^dy1/_dt × ω j + ^dz1/_dt × ω k + ^dz1/_dt × ω
= ε¹
ε = ε_o + ε¹ + ω × v' + _dw'/_dt × x^n' + _dn'/_dt × w
ε = ε_o + ε¹ + z ω × v' + _dw'/_dt × x^n' ωx¹ + ω × (ω x n')

Dinamica dei corpi rigidi

Siamo interessati ad un solo corpo composto da una X CM con p.m. che mantengono costante la loro posizione nel tempo quindi assumiamo la grande ipotesi del corpo rigido. _dV = _π
Dato il moto si definisce tale quando rispetto la concezione di indipendenza che dipende unicamente da terzi e di incomprimibilità della materia. Difatti:
r_{cm d}m/_{m d}m dt
Allora _{cm d}m _dV _dV _dV _dV ^∞ ∑_mi S _dm Sp_pdV

Moti piani

• Moti paralleli
• Rotazioni

Traslazione L'unico traslatorio di un corpo rigido è caratterizzato da un momento (e ≠ 0) rotante, con ≤ diinibito // minimizzato minimo al punto massimo. Attoando t ≤ i, comincia nei moduli, e conseguendo il minimo.
Rilevando mV, vi=0 non esistono forze attorno al C.M.
Allora Korollario m ≠ Fomit rispetto al C.H.
Si definisce che: E_p = f·c₁ + f_p = m (quindi Per quanto m_{G d}m,bvc ≤ 0m _cdt + _ddV/r_{#: m di tale stima, in assoluto.}
X equivalenza in arbitrarie Z. Entrambi tralascio sopra al moto nel c.h.

1. Δ₁ = ₁ = in traslazione riguarda il C.

Equa rotante se movimento di ordine/cinematismo vede/mo di distinguere, anche se sono accessibili. _dT - _dt * d(Young) e ∑D = 0
Il primordio della cinematica anche segnata

1. Laggio con d (C :^mn1/m1 π) Per l'ampia frazione del centro alla Y: _d = ∫

La mossa si fa concentrando, elaborandonoto il momento in parte τ = _d-_{dt t-x}( t' ) ∇_xmv_{con t}+^CWt d_mV σ_dt
Aver quindi σx m_{c cCH.}
Fu^cc^ω

Rotazione

Durante questo moto, il p.m. sta... In questo vantato sa luglio! Smaltita piegamento corso in retromarcia ^de S.S.II'e f/ω^Hi di Piagge sinceramente un val... verde.
Attorno a un asse fisso Si consideri per il punto mantente che il moto rotorio di senso ben conoscenza ´comunità, ≥0 con un raggio tra un concoppianza: R_s → ℝ = Q4.
Schematica cucina penalefica V, dal cunio risultante la svr. della prima rating.... rotazione nee osservazione così sostanzione al notibile.
α e/o sin (Accrzlerazione angolare) mentre la menzione del particido` accozze inseriente lungo mensole <sub>la y</sub>R, anglebare o rimantenl'index essi in origine (inteso angolare benintello) <sub>{∆</sub>,<sub>c}</sub>l'accelerazione`;in']] I.D.-valendo ♋ {space} - od_em (in religione,: G s.s.m.pin. R,^{i mrvalguna Luòm, zełą conta β_{O∏Iosum⫋∑}ndΩ} Alterno sleep sci nel tempo... _dU: Il corpo fisso alle condederibile frequenza; ciò i rimotivano, t r då
Si definisce C.M. la generica che contiene il corpo di un singolo p.m. dove l'identità di massa Σ r_i m_i ; Σ m_i se ne determina la sua velocità v_CM = d r_CM / dt = Σ i m_i r_i dot / Σ m_i = H_tot/_tot
Se ne definisce l'accelerazione rispetto alle F_e H_tot v_CM/_tot = d_tot/dt si definisce momento angolare del sistem L = Σ ( r_i x p_i ) che derivando rispetto al tempo diventa dL/dt = Σ [( d r_i/dt x p_i) + (r_i x dp_i/dt)] = Σ ( ri - V₀) x p_i ) + Σ ( r_i) = ( - V₀ x Σ p_i ) + T_e - T_i = - (V₀ x M p v_CM)+ T_e - T_i Ma cons. T_i L = Σ r x F = r_i x F_ij = r_i x F_ji = (n_i x r_j)(-F_ji ) = 0 Allora T_i = 0 quindi dL/dt = (- V₀ x M_totv_CM) + T_e MA se il VUOTO "O" è fisso nel SDR IN. Allora V₀ = 0 Q(windi) = 0 dL/dt = T_e QUINDI DI MOMENTO DELLE F_e = 0 Allora N sistem è isolato Allora ∆ = costante Allora il momento della quantità di moto totale si conserva Messo un SDR, con il C.M. in quiete, a tipo non einziale si descrivono le sue grandezze v_I = v_i + v_CH con v_i con il p.m. rispetto il corpo del CM v_CM = v₀ + v_CH con v₀ con RISPETO la sassa Σ m_i r_i = H_CM x = o 0 Σ m_i r_i = Σ m_i v_i = H_tot v_CM x = 0 La quantità di moto totale del sistem è separare un sistem con l'altro in quiete rispetto al se stesso Teorema di Konig da momento angolare Sia SDR Inertziale L_tot = L_CM + L_{1 concentrazione delle angolare dei p.m. attorno al CM} L = Σ (r_i x p_i) = Σ (r_i x m_i v_i) = Σ [(r_i x m_i)(v_i + V_od )] = Σ [(r_ixm_i) + Σ (r_ixp_i) = Σ [(r_i) x (v_CM)] + Σ (r_ixp_i) = Σ [ (L'₁)] = L₁ + L_CH = L Teorema di Konig dell'energia cinetica In un SDR inentziale K = K_CM + K_{1 energia della p.m. attorno al CM} k = Σ k_i = Σ ½ m_ivo² = Σ ½ m_ivi+v0^>2 = Σ ½ m_i vo² + Σ ½ m_{i i} = ½ m_io2 = Σ ½ m_i (v_i v_o) k₁ + k_CH + k₁ + Kon = k_H + (k_On) Teorema delle forza vive in un sistema di p.m. L_{campo compressivo} = L₁ + L₁ - ∆K Si ottimistadL : F_i : di_ri : rl : (F_e + F'_i ) r_i = dL₂ = rl : m_{iv­'i :} Inottime L = L_i = ½ mvi_i² = ½ m_i : V_B : Termini D = k_B - k_on : ∆k L' = Σ L_i : Σ m_ivB² = Σ m_i v_l0@ = ∆K

Teorema di Bernoulli

Il teorema descrive l'equazione P + ½ρv² + ρgz = COSTANTE
Applicata al grafico per dimostrarlo si determinano i lavori del sistema W_tot = ΔK
W_g = mg(z₂ - z₁)
W_p + W_l = F₂ℓ₂ - F₁ℓ₁ = P₂S₂ℓ₂ - P₁S₁ℓ₁
= P₂V₂ - P₁V₁ = P₂ m/ρ - P₁ m/ρ = (P₂ - P₁) m/ρ
mg(z₂-z₁) + (P₂ - P₁) m/ρ
e½mv₁² + ½mv₂² = mg(z₂ - z₁) + (P₂ - P₁) m/ρ
½ρv₁² + ρgz₁ + P₁ = ½ρv₂² + ρgz₂ + P₂
ALLORA ½ρv² + ρgz + P = COSTANTE

Tubo di Venturi

Per determinare V si considera la legge di leopoldo P₁V₁ = P₂V₂ ⇒ V₂ = V₁ (S₁/S₂)
Quindi ha come risultato che la velocità aumenta al diminuire della pressione (nel caso di Q = cost.)
P₁ + ¹/₂ V₁² = P₂ + ¹/₂ V₂² da Bernoulli
Sostituendo
P₁ + ¹/₂ V₂² = P₂ + ¹/₂ [V₂² (S₁/S₂)²]
P₁ - P₂ = ¹/₂ V₂²[S₁/S₂)² - 1]
V₁ = √(P₁ - P₂)² / [(S₂/S₁)² - 1] ⇒ (S₁/S₂)² > 0 ⇒ (S₁/S₂)² - 1 > 0
Dunque P₁ · P₂ > 0
P₁ > P₂
Quindi la pressione è maggiore dove la velocità è minore