Dimostrazioni di Analisi 2, D'Auria Nunzia

Teorema sulla continuità del limite funz. punt. a f

(Se f_n è successione di funzioni continue anche f lo è, ma non viceversa) Questo per ogni x₀ ∈ I

Dim: ∀ε > 0 ∃δ > 0: x ∈ I |x - x₀| < δ ⇒ |f(x) - f(x₀)| < ε, → TESI

∀ε > 0 ∃n̅: ∀n > n̅ |f_n(x) - f(x)| < ε ∀x ∈ I per H_p

Fisso n̅ > n̅

|f(x) - f(x₀)| = |f(x) - f(x₀) - f_m(x) + f_m(x) + f_m(x₀) - f_m(x₀) + f_m(x₀)| ≤

|f(x) - f_m(x)| + |f_m(x) - f_m(x₀)| + |f_m(x₀) - f(x₀)| ≤

per conv. uniforme posso maggiorare 1 e 3 (con < ε1 e 2 con ε1, e ma questo vale per determinati x, per punto continuità in x₀.

f_n continua in x₀ ⇒ corrispondente di ε ∃δε: |x - x₀| < δε

|f_m(x) - f_m(x₀)| < ε questo è la 2 per |x - x₀| < δε, ciò implica che |f(x) - f(x₀)| ≤ 3ε

Caratterizzazione delle successioni uniformemente convergenti:

f_{n A} f in E, A ⊆ E f_n f in A se: 1) ∃n̅: ∀n > n̅ f_n - f

sono limitate in A (≡ sup_A |f_n(x) - f(x)| < + ∞ per n > n̅ ) ; 2) posto M_n = sup_A|f_m(x) - f(x)| risulta lim_n→∞ M_n = 0

Dim: ∀ε > 0 ∃n̅: ∀n > n̅ |f_n(x) - f(x)| < ε ∀x ∈ A, quindi f_n - f è

(⇒) limitata, anche sup_A dato che sale. ∀x ∈ A, quindi anche M_n,

ma per definizione di limite ciò vuol dire che lim_n→∞ f_n(x) - f(x), e il sup implica la convergenza uniforme.

Dim: la prima condizione dice che indistintamente da x,

(⇐) f_n - f è una quantità limitata in A, la seconda che il sup di

f_n converge a f, ma insieme alla caratteristica di sup_A, ciò

si applica ad ogni x nell’intervallo e xi è convergenza uniforme.

Teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale

    ∀n f_n(x) continua in [a, b], f_n converge uniformemente a f in [a, b] →

    ^lim∫_a^bf_n(x)dx = ∫_a^bf(x)dx = ^lim∫_a^bf_n(x)dx

        n→+∞                                            n→+∞

Dim: 0 ≤ ∣∫_a^b[f_n(x)-f(x)] dx∣ = ∣∫_a^bf_n(x)dx - ∫_a^bf(x)dx∣ =

≤ ∣∫_a^b∣f_n(x)-f(x)∣ dx ≤ max_[a,b]∣f_n(x)-f(x)∣ f dx = (b-a)max_[a,b]∣f_n(x)-f(x)∣

il limite per n → +∞ dell’ultima quantità è ∼> 0 per convergenza uniforme, quindi o ≤ ∣∫_a^b∣f_n(x)-f(x)∣ dx ≤ (b-a) ∼> 0, quindi per il teorema dei carabinieri: ∫_a^bf_n(x) dx = ∫_a^bf(x) dx ✓

- Teorema del passaggio al limite sotto il segno di derivata -

∈C¹ [a,b] , supponiamo ∃ x∈(a,b): f_n(x_o) converge in R, f_k unif∼>g in [a,b] ⇒ ∃f in [a,b] ∈ C¹ [a,b] , f’(x) = g(x) e si ha :

^lim f_k(x) = f’(x)

    k

Dim: ∀x∈ [a,b] f_n(x) = f_n(x_o) [convergente ad L ] +∫_xo^xf’_n(t) dt, per il teorema di prima , il lim. passa sotto il segno di integrale , quindi:

f’(x) = ^lim f_n(x) = L +∫_xo^xg(t)dt con f_n(x)∼> f(x), ponendo alla dim.

triangolare: ∣f_n(x)-f(x)∣ = ∣f_n(x_o) - f(x_o)∣ +∫_xo^x∣f’_n(t)-g(t)∣dt ≤ ∫_a^b∣g(t)dt +

∣f_n(x_o)-L∣ + ∫_xo^x∣f’_n(t)-g(t)∣ dt ≤ ∣f_n(x_o) - L ∣ +∫_xo^x∣f’_n(t)-g(t)∣ dt ≤

∣f_n(x_o)-L ∣ + max_[xo,x]∣f’_n(t)-g(t)∣ · ∣(x-x_o), passiamo al limite ricordando le ipotesi, ∼> 0 ≤ ∣f_n(x)-f(x)∣ ≤ 0 ∼> f_n converge uniform. ad

f(x), quindi del teorema fondamentale del calcolo, f è derivabile e risulta da (1): f’(x) = g(x), quindi: ^lim f_n = g = f’ ✓

- A questo connesso di ^R2 ω= a(x,y)dx + b(x,y)dy continua in A, ω è esatta

in A ⟺ ∀P₁, P₂ ∈ A e ∀ψ, (ψ ∈ F (P₁, P₂) allora ∫_ψω = ∫_-ψω

Dim: Dalla definizione di forma differenziale esatta ( ⇔ ) primitiva allora ∫_λ = f(P₂) - f(P₁) ∈ ω.

Dim: fisso un punto P₀ ∈ ℓᵣ ∈ A, considero ∀ P ∈ A ∈ ∃ aumento ∈ φ ∈ F (P₀, P),

∫_ψω su non dipende dalle e dall’esterno P₀ fermato, quindi il tutto è integrale dipende solo da P = (x,y), quindi: ∫_ψ₀ ω è un φ (P(x,y))

funzione di P: (x,y), taglio procede che

F₁ e una primitiva di ℓᵣ facendo il procedimento

sta per x che per y in particolare f_χ = a(x,y), f_γ = b(x,y),

mi considero R ⊂ ^R = (0:3: (x + h, y) ∈ A e supponiamo h > 0 l’incrementi

esiste perché A è aperto, consiste f [x + h, y] - f (x,y) che è uguale a

∫_[x,x+h]ω (x,t) a dx della curva di sostegno (P₀, P'), quindi il tutto è integrale

R^- ∫ ( x (x + t, y )) dx, dato che l’integrando è continua nell'intervallo di-

integrazione posso applicare il teorema della media per un punto

T_x e quindi determinare ^1/₁ a(x + t₁, y) = a (x + At, y), t E (0, h 1, si ha

che f₁ = { x(t) = x + t

y(t) (= y → COSTANTE, NON VARIABILE

t E (0, h)) facendo tendere h

a O per la dimostrata, dato che la funzione è continua averà

a(x,y), quindi: si ha che f_χ = a(x,y) ∀(x,y) ∈ A la dimostrazione

è analoga per y, quindi f è una primitiva dω.

- COROLLARIO DI SOPRA: A aperto connesso di ^R2 w = a dx + b dy continua in

A, w è esatta in A ⟺ ∀ curva di regolare a tratti: chiusa. con

sostegno in A risultà ∫_ψω = 0 per ∀_ψ

Dim: ∃ f primitiva di ^ω in ≡ A_f dalla definizione di curva chiusa e

( ⇐ ) primitiva di una forma differenziale si ha: [^{ω = f(φ(b)) - f(φ(a)) = 0,}

perché f(a) = f(a): per defininizione di curva chiusa.

Dim: taglio redurre che ∀P₁, P₂ ^⊂ A ∀_ψ1 ⊂ F (P₁, P₂) allora ∫_ψω = ∫_ψ

vedo e considero la curva ∈ ψ: si ha

che ∫_ψψ = 0 per ∀^ψ₁ = ∫_-γψ = ∫_ψω = ∫_{ψγψω - ∫-ψω = 0}