Dimostrazioni di Analisi 2, D'Auria Nunzia

Teorema sulla continuità del limite funz. unif. a f

Questo per ogni x₀ ∈ I

Dim.: ∀ ε>0 ∃ δ>0 : ∀ x ∈ I |x-x₀|0 ∃ ñ: ∀ n>ñ |f_n(x)-f(x)|<ε ∀ x ∈ I per H_p

Fisso m̃>ñ

|f(x)-f(x₀)|= |f(x)-[f(x)-f_m̅(x)]+f_m̅(x)-f_m̅(x₀)+f_m̅(x₀)+f_m̅(x₀) ]<

|f(x) - f_m̅(x)| + |f_m̅(x) - f_m̅(x₀)| + |f_m̅(x₀) - f(x₀)| < 3 ε

per conv. uniforme parso maggiore ε su 3 (con < ε/3 e 2 con ε, ma questo vale per determinati x, punto continuità in x₀.

f_m̅ continuo in x₀ ↔ in corrispondenza di ε ∃ δ>0, |x-x₀|< δ

|f_m̅(x) - f_m̅(x₀)|< ε → questa è la 2 per |x-x₀|< δ,

cio implica che |f(x) - f(x₀)| < 3 ε ✅

Caratterizzazione delle successioni uniformemente convergenti:

f_n⟶^p f in E, I A ⊆ E, f_n⟶ f in A se: 1) ∃ ñ: ∀ n>ñ f_n-f

sono limitate in A (= sup_A|f_n(x)-f(x)|< ∞ per n>ñ); 2) posto M_n =

sup_A |f_n(x) - f(x)| risulta lim M_n = 0

              m⟶∞

Dim.: ∀ ε>0 ∃ ñ: ∀ n>ñ |f_n(x)-f(x)|< ε ∀ x ∈ A, quinfi f_n-f è

(⟹) limitata, anche sup dato che sale ∀ x ∈ A, quinfi anche M_n,

ma per definizione di limite ciò vuol dire che |f_n(x)-f(x)|,

e il sup implica la convergenza uniforme.

Dim.: la prima condizione dice che indipendentemente da x,

(⟸) f_n-f è una quantità limitata in A, la seconda che il sup di

f_n converge a f, ma insieme alla caratteristica di sup, ciò

si applica ad ogni x nell'intervallo e v'è è convergenza uniforme.

- Teorema sulla continuità del limite funz. unif. a f

(Se f_n successione di funzioni continue, anche f lo è, ma non viceversa)Questo per ogni x₀∈I

Dim.: ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈I |x-x₀|n̅ |f_n(x)-f(x)|n̅

|f(x)-f(x₀)|=|f(x)-f_m̅(x)+f_m̅(x)-f_m̅(x₀)+f_m̅(x₀) |f(x)-f_m̅(x)| + |f_m̅(x)-f_m̅(x₀)| + |f_m̅(x₀)-f(x₀)| ≤ 3ε

per conv. uniforme posso maggiorare 1 & 3 (con ε/2 e 2 con ε), ma questo vale per determinati x punto continuità in x₀.f_n continuo in x₀, corrisponderante di ε ∃δ>0, |x-x₀|< δ|f_m̅(x)-f_m̅(x₀)|0 ∃n̅: ∀n>n̅ |f_m(x)-f(x)|,|l + max [x₀, x]

{f_’n(H) - g(H) • |( 

[x-x₀)|, passiamo al limite ricordando

le ipotesi: => o ≤ |f_n(x) - f(x)| ≤ 0 => f_n(x) converga uniform. a

f(x) quindi dal teorema fondamentale del calcolo, f’ è derivabile

e risultata di (1): f’(x) = g(x), quindi, lim f_n = g = f’

- La convergenza totale implica la convergenza uniforme.

Dim.:

\(\sum_{n}\) fn converge totalmente in I per f(x) ⇒ |fn| ≤ Ln (con an convergente e Rn = \(\sum_{n+1}\) an >0), fn → f ⇒ \(\sum_{n}\) |fn - f| ≤ Rn )∇f(x₀,y₀)=f_λ(x₀,y₀) quindi il

vettore gradiente forniscivo e direzione e verso di massima pendenza.

- Ricerco nelle funzioni di un aperto inverso con gradiente nullo

f:A→ℝ, A αperto connesso di ℝ² ⇒ ∇f(X,Y) = 0 ∀(x,y)∈A ⇒ f è

costante in A).

Dim: posso P=(X₀,Y₀)∈A, traggo (x,y)∈A, f(x,y)=f(x₀,y₀) prendò

P=PO-cA (Δ buona riportata dai connessi) fino AP con l'equasione

vettoriale della retta :

P=P_o = (t)= x_o x (x-x_o) t∈[0,1) e imposto

Y(t)= y_o + (y-y_o)x una funzione + f(t)=f(x₀+(x-x₀),y₀+t-(t₀-y0),t) [0,1], che

equivale a f=g(t). Dato che ∇f è uno spazio nullo, Le derivate

parziali sono nulle e continte ⇒ fes differenziabile e il teorema

del differenziabilità per il teorema di derneazione delle funzioni

composte, φ(f(t) è derivabile in (0,1) perché è composta

di funzioni continue in [0,1], quindi applico il teorema di Lagrange ⇒

φ(1) - φ(0) = φ'(t₀), ∃ t₀ ∈ (0,1), ma φ'(1) - φ'(0) ==> f(X,Y) - f(X₀,Y₀), 1 - 0

inoltre φ'(t) = [∇f[X(t₀),Y(t₀)] · [(X - X₀), (Y - Y₀)] dato che ∇f è nullo per

tutti i punti per Ipotesi, φ'(t₀) = 0 ⇒ φ'(t₀) = 0 ⇒ [f(X,Y) == f(X₀,Y₀)]

Se P non è collegabile con un segmento, si può collegare con una spezzata

che proietta di interne un secondo segmento. Se la spezzata ha estremi: P₀, P₁...P_n,

si considera ogni coppia di segmenti; la proprietà è valida.

- Condizione necessaria del 1° ordine

(f : X ─> ℝ | (X₀,Y₀) ∈ X (punto interno) X aperto di ℝ², ∇f(X₀,Y₀), altrimenti

se (X₀,Y₀) è un punto di estremo relativo per f ⇒ ∇f(X₀,Y₀) = 0)

Dim : Supponiamo che (X₀,Y₀) sia un punto di massimo relativo per f, ossia

∃ I_δ (X₀,Y₀) ⊂ X : ∀(X,Y)∈I_δ (X₀,Y₀) riscritta f(X,Y) ^L f(X₀,Y₀),

si restringe la funzione f a Y=Y₀ e si risolve il caso del genere :

x ∈ ]X₀-δ, X₀+δ[, φ(X) = f(X,Y₀), ∀X∈]X₀-δ, X₀+δ[

φ(X) = f(X₀,Y₀) = f(X₀,Y₀) = φ(X₀) ⇒ X₀ è un punto di

massimo relativo per φ(X), dato che per ipotesi f

è derivabile in X₀ per il teorema di Fermat φ'(X₀) = 0,

che equivalente a ∂f(X₀,Y₀) dalla dimostrazione è analoga per Y si fa

f(X₀,Y).

- φ'~Ψ ⇒ L(φ) = L(Ψ)

Dim : g : [a,b] ─> [c,d], g ∈ C¹, g'(t) ≠ 0, φ : [a,b], Ψ : [c,d], anche se

equivalente a tratti L(Ψ)= ∫ ||Ψ'(t)|| dt = ∫ ||Ψ'(g(t))| g'(t) dt,

L(Ψ)= ∫ ||φ'(t)|| dt, r= g(t), t = g^-1(x)

L(Ψ)= ∫ ||Ψ'(g(t))|| · |g'(t)| dt = ∫ ||Ψ'(g(t))|| · |g'(t)|(x^-1)

g'(t)dt, che è proprio L(Ψ), se g