Dimostrazioni di Analisi 2, D'Auria Nunzia

Teorema sulla continuità del limite funzionale uniforme

Se f_n è una successione di funzioni continue, anche f lo è, ma non viceversa. Questo per ogni x₀ ∈ I.

Dimostrazione

Per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che, per ogni x ∈ I, |x-x₀|<δ implica che esiste ṉ: per ogni n>ṉ |f_n(x)-f(x)| < ε per ogni x ∈ I.

Fisso m̃>ṉ, si ha:

|f(x)-f(x₀)| = |f(x)-[f(x)-f_m̅(x)]+f_m̅(x)-f_m̅(x₀)+f_m̅(x₀)]
< |f(x) - f_m̅(x)| + |f_m̅(x) - f_m̅(x₀)| + |f_m̅(x₀) - f(x₀)| < 3ε

Per convergenza uniforme, posso maggiorare con ε/3.

Caratterizzazione delle successioni uniformemente convergenti

f_n ⟶^p f in E, per I A ⊆ E, f_n ⟶ f in A se:

• Esiste ṉ: per ogni n>ṉ, f_n - f sono limitate in A (= sup_A|f_n(x)-f(x)| < ∞ per n>ṉ).
• Posto M_n = sup_A |f_n(x) - f(x)| risulta lim M_n = 0 quando n ⟶ ∞.

Dimostrazione: Per ogni ε>0 esiste ṉ tale che, per ogni n>ṉ, |f_n(x)-f(x)| < ε per ogni x ∈ A, quindi f_n-f è limitata e anche sup è dato che sale per ogni x ∈ A, quindi anche M_n. Ma per definizione di limite ciò vuol dire che |f_n(x)-f(x)|, e il supremum implica la convergenza uniforme.

La prima condizione dice che indipendentemente da x, f_n-f è una quantità limitata in A, la seconda che il supremum di f_n converge a f, ma insieme alla caratteristica di supremum, ciò si applica ad ogni x nell'intervallo e vi è convergenza uniforme.

Teorema sulla continuità del limite funzionale uniforme

Se f_n è una successione di funzioni continue, anche f lo è, ma non viceversa. Questo per ogni x₀ ∈ I.

Dimostrazione: Per ogni ε>0 esiste δ>0 tale che, per ogni x ∈ I, |x-x₀| n̅ |f_n(x)-f(x)| n̅|f(x)-f(x₀)| = |f(x)-f_m̅(x)+f_m̅(x)-f_m̅(x₀)+f_m̅(x₀)]

|f(x)-f_m̅(x)| + |f_m̅(x)-f_m̅(x₀)| + |f_m̅(x₀)-f(x₀)| ≤ 3ε per convergenza uniforme posso maggiorare 1 & 3 (con ε/2 e 2 con ε), ma questo vale per determinati x punto continuità in x₀.

f_n continuo in x₀, corrisponderante di ε esiste δ>0, |x-x₀| m̅(x) - f_m̅(x₀)|. Esiste n̅: per ogni n>n̅ |f_m(x)-f(x)|, |l + max [x₀, x]{f_’n(H) - g(H) • |( [x-x₀)|, passiamo al limite ricordandole ipotesi: => o ≤ |f_n(x) - f(x)| ≤ 0 => f_n(x) converge uniformemente a f(x) quindi dal teorema fondamentale del calcolo, f’ è derivabile e risultata di (1): f’(x) = g(x), quindi, lim f_n = g = f’.

La convergenza totale implica la convergenza uniforme

Dimostrazione: ∑_n f_n converge totalmente in I per f(x) ⇒ |f_n| ≤ L_n (con a_n convergente e R_n = ∑_n+1 a_n >0), f_n → f ⇒ ∑_n |f_n - f| ≤ R_n.

Gradiente e funzioni differenziabili

∇f(x₀,y₀) = f_λ(x₀,y₀) quindi il vettore gradiente fornisce direzione e verso di massima pendenza.

Ricerco nelle funzioni di un aperto inverso con gradiente nullo: A → ℝ, A aperto connesso di ℝ² ⇒ ∇f(X,Y) = 0 ∀(x,y)∈A ⇒ f è costante in A.

Dimostrazione

Posso prendere P=(X₀,Y₀)∈A. Traggo (x,y)∈A, f(x,y)=f(x₀,y₀). Prendendo P=P₀-cA (Δ buona riportata dai connessi) fino a AP con l'equazione vettoriale della retta: P=P_o = (t)= x₀ + (x-x₀)t∈[0,1) e imposto Y(t)= y₀ + (y-y₀)x una funzione + f(t)=f(x₀+(x-x₀),y₀+t-(t₀-y₀),t) [0,1], che equivale a f=g(t). Dato che ∇f è uno spazio nullo, le derivate parziali sono nulle e continue ⇒ f è differenziabile e il teorema di differenziabilità per il teorema di derivazione delle funzioni composte, φ(f(t) è derivabile in (0,1) perché è composta di funzioni continue in [0,1], quindi applico il teorema di Lagrange ⇒ φ(1) - φ(0) = φ'(t₀), esiste t₀ ∈ (0,1), ma φ'(1) - φ'(0) ==> f(X,Y) - f(X₀,Y₀), 1 - 0 inoltre φ'(t) = [∇f[X(t₀),Y(t₀)] · [(X - X₀), (Y - Y₀)] dato che ∇f è nullo per tutti i punti per ipotesi, φ'(t₀) = 0 ⇒ φ'(t₀) = 0 ⇒ [f(X,Y) == f(X₀,Y₀)]

Se P non è collegabile con un segmento, si può collegare con una spezzata che proietta di interne un secondo segmento. Se la spezzata ha estremi: P₀, P₁...P_n, si considera ogni coppia di segmenti; la proprietà è valida.

Condizione necessaria del 1° ordine

f : X → ℝ | (X₀,Y₀) ∈ X (punto interno) X aperto di ℝ², ∇f(X₀,Y₀), altrimenti se (X₀,Y₀) è un punto di estremo relativo per f ⇒ ∇f(X₀,Y₀) = 0

Dimostrazione: Supponiamo che (X₀,Y₀) sia un punto di massimo relativo per f, ossia esiste I_δ (X₀,Y₀) ⊂ X : per ogni (X,Y)∈I_δ (X₀,Y₀) riscritta f(X,Y) < f(X₀,Y₀), si restringe la funzione f a Y=Y₀ e si risolve il caso del genere: x ∈ ]X₀-δ, X₀+δ[, φ(X) = f(X,Y₀), per ogni X∈]X₀-δ, X₀+δ[φ(X) = f(X₀,Y₀) = f(X₀,Y₀) = φ(X₀) ⇒ X₀ è un punto di massimo relativo per φ(X), dato che per ipotesi f è derivabile in X₀ per il teorema di Fermat φ'(X₀) = 0, che è equivalente a ∂f(X₀,Y₀), la dimostrazione è analoga per Y.

Equivalenza delle lunghezze di curve

Se φ' ~ Ψ ⇒ L(φ) = L(Ψ)

Dimostrazione: g : [a,b] → [c,d], g ∈ C¹, g'(t) ≠ 0, φ : [a,b], Ψ : [c,d], anche se equivalente a tratti L(Ψ)= ∫ ||Ψ'(t)|| dt = ∫ ||Ψ'(g(t))| g'(t) dt, L(Ψ)= ∫ ||φ'(t)|| dt, r= g(t), t = g^-1(x)

L(Ψ)= ∫ ||Ψ'(g(t))|| · |g'(t)| dt = ∫ ||Ψ'(g(t))|| · |g'(t)|(x^-1)g'(t) dt, che è proprio L(Ψ), se g.