Dimostrazioni - Analisi 2

Dimostrazioni Analisi 2

1. Disuguaglianza Cauchy-Schwarz

|_⟨x,y⟩| ≤ ||x|| ||y||

x, y ∈ ℝⁿ

prodotto scalare _⟨x,y⟩ = ∑_i=1ⁿ x_i y_i

_⟨x,y⟩² ≤ ||x||² ||y||² ∀t ∈ ℝ

_{⟨x+ty,x+ty⟩} > 0 = ∑_i=1ⁿ (x_i + ty_i)² =

= ∑_i=1ⁿ x_i² + t² y_i² + 2t x_i y_i = ∑_i=1ⁿ x_i² + t² ∑_i=1ⁿ y_i² + 2t ∑_i=1ⁿ y_i x_i

Tale quantità è minore/uguale a zero se lo è il determinante

Δ ≤ 0 b² - 4ac ≤ 0 (b/2)² - ac ≤ 0

Risolvo in t

∑_i=1ⁿ (x_i y_i)² - ∑_i=1ⁿ x_i² ∑_i=1ⁿ y_i² ≤ 0

_⟨x,u⟩² ≤ ||x||² ||y||² ✓

2. Disuguaglianza Triangolare

||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

0 ≤ ||x + y||² = ||x||² + 2_⟨x,y⟩ + ||y||²

≤ ||x||² + 2 (||x|| ||y||) + ||y||² = (||x|| + ||y||)²

√(||x+y||²) ≤ √(||x|| + ||y||)²

||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| ✓

Dimostrazioni Analisi 2

1. Disuguaglianza Cauchy-Schwarz

|_{(x, y)}| ≤ ||x|| ||y||

prodotto scalare _{(x, y)} = ∑_i=1ⁿ x_i y_i

_{(x, y)}² ≤ ||x||² ||y||² ∀x ∈ Rⁿ

_{(x+ty, x+ty)} > 0 = ∑_i=1ⁿ (x_i+ty_i)² =

∑_i=1ⁿ x_i² + t² y_i² + 2t x_iy_i = ∑_i=1ⁿ x_i² + t² ∑_i=1ⁿ y_i² + 2t ∑_i=1ⁿ y_ix_i

tale quantità è minore/uguale a zero se lo

è il determinante

Δ ≤ 0   b² - 4ac ≤ 0   ( b/2 )² - ac ≤ 0

Risolvo in t

∑_i=1ⁿ (x_i - y_i)² - ∑_i=1ⁿ y_i² ≤ 0

_{(x, y)}² ≤ ||x||² ||y||² ✓

2. Disuguaglianza Triangolare

||x+y|| ≤ ||x|| + ||y||

0 ≤ ||x+y||² = ||x||² + 2_{(x, y)} + ||y||² ≤ "||x||||y|| x Cauchy-Schwarz"

≤ ||x||² + 2||x||||y|| + ||y||² = (||x|| + ||y||)²

√||x+y||² ≤ √(||x|| + ||y||)²

||x+y|| ≤ ||x|| + ||y|| ✓

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DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE INVERSA

|| V₁ || - || V₂ || ≤ || V₁ - V₂ ||

|| V₁ || - || V₂ || = || V₁ - V₂ + V₂ || - || V₂ || ≤

|| V₁ - V₂ || + || V₂ || - || V₂ || = || V₁ - V₂ ||

|| V₂ || - || V₂ - V₁ + V₁ || = || V₂ - V₁ ||

|| V₂ - V₁ || ≤ || V₁ || - || V₂ || ≤ || V₁ - V₂ ||

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TEOREMA DI HEINE-BOREL

"E è compatto se e solo se E è chiuso e limitato".

Ipotesi → E è chiuso e limitato

Tesi → E compatto

Prendo successione (Xₙ) ⊂ E, limitata poiché E limitato.

∃ (Xnk) convergente a X ∈ R².

Siccome E è chiuso, per Teorema Precedente, X ∈ E.

E' soddisfatta la condizione di compattezza. (DEF)

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DIFFERENZIABILITÀ

1. continuità
2. derivabilità
3. esistenza derivate direzionali
4. formula del gradiente

lim (h,k)→(0,0) F(x₀+h, y₀+k) = F(x₀, y₀)

|F(x₀+h, y₀+k) - F(x₀,y₀)| = |l₁ h + l₂ k + o(√_h²+k²)|

≤ |(l₁ h ) + o(||h||)

‖h‖ ‖k‖ ⟶ 0 se (h; k) ⟶ 0

O (‖h‖‖k‖) ⟶ 0 se h ⟶ 0

∂F/∂x (x₀, y₀) = L₁ e ∂F/∂y (x₀, y₀) = L₂

Scelgo k = 0 nella def. di diff

f (x₀ + h, y₀ + k) - f (x₀, y₀) = L₁h + O (‖h‖‖k‖)

f (x₀ + h, y₀) - f (x₀, y₀)/h = L₁ + O (‖h‖‖k‖)/h ⟶ 0

lim_h⟶0 F(x₀ + h, y₀) - f(x₀, y₀)/h = L₁

Per ottenere lo stesso risultato con L₂, impongo h = 0

• h = αt
• k = βt t piccolo

f (x₀ + αt, y₀ + βt) - f (x₀, y₀) = L₁αt + L₂βt + O(t√α²t² + β²t²)/O (‖t‖)

α² + β² = 1

F (x₀ + αt, y₀ + βt) - f (x₀, y₀)/t = L₁α + L₂β + o (‖