Dimostrazioni - Analisi 2

DIMOSTRAZIONI ANALISI 2

1 DISUGUAGLIANZA CAUCHY-SCHWARZ

| ⟨x, y⟩ | ≤ ||x|| ||y||^1,1

⟨x, y⟩ = ∑_i=1ⁿ x_i · y_i

⟨x, y⟩ ≤ ||x||² ||y||^1,12

x, y ∈ ℝⁿ

∀t ∈ ℝ

Σ_i=1ⁿ (x_i + ty_i)² = Σ_i=1ⁿ x_i² + t² Σ_i=1ⁿ y_i² + 2t Σ_i=1ⁿ y_ix_i

Δ ≤ 0 b²-4ac ≤ 0 (b/2)²-ac ≤ 0

⟨x, y⟩² ≤ ||x||² ||y||^1,12

2 DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||

√||x + y||² ≤ √(||x|| + ||y||)²

||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ✔

3 Disuguaglianza Triangolare Inversa

|| V₁ || - || V₂ || ≤ || V₁ - V₂ ||

||V₁|| - || V₂ || = || V₁ - V₂ + V₂ || - || V₂ || ≤

||V₁ - V₂ + V₂|| - ||V₂|| = || V₁ - V₂ ||

-|| V₂ - V₁ || = - || V₁ - V₂ ||

-|| V₂ - V₁ || ≤ || V₁ || - ||V₂|| ≤ || V₁ - V₂ ||

4 Teorema di Heine-Borel

"E è compatto se e solo se E è chiuso e limitato".

Ipotesi → E è chiuso e limitato

Tesi → E compatto

Prendo successione (Xₙ) ⊂ E, limitata poiché E limitato.

∃ Xₙ limitata ∃ (Xₙₖ) convergente a X ∈ ℝ².

↓ per Bolzano-Weierstrass

Siccome E è chiuso, per Teorema Precedente, X ∈ E.

E' soddisfatta la condizione di compattezza. (DEF) ✓

5 Differenziabilità

• a continuità
• b derivabilità
• c esistenza derivate direzionali
• d formula del gradiente

a

lim (h,k)->(0,0) F(x₀+h, y₀+K) = F(x₀, y₀)

|F(x₀+h, y₀+K) - F(x₀, y₀)| = |L₁ h + L₂ K + o(√(h²+K²))|

↓ per ipotesi

= |< L,h > + o(||h||) | ≤ || + |o(||h||)|

Teorema di Fermat e Corollario

V = (α, β) ∈ ℝ²

Suppongo (x₀, y₀) massimo locale

Considero

q(t) = F(x₀ + tα, y₀ + tβ)

• Ben definita in un intervallo aperto I ⊂ ℝ contenente 0
• Ha massimo locale in t=0 (per ipotesi)
• È derivabile in t=0 infatti

lim _t→0 (q(t)−q(0)) / t = lim _t→0 (f(x₀ + tα, y₀ + tβ) − f(x₀, y₀)) / t = Dᵥ F(x₀, y₀) = q'(0)

Per il teorema di Fermat di Analisi I

q'(0) = 0 ⇒ Dᵥ F(x₀, y₀) = 0

Corollario

F derivabile in (x₀, y₀) ⇒ ∃ fₓ(x)(x₀, y₀) = Dₑ₁ F(x₀, y₀)=0

Analogamente fᵧ(x₀, y₀) = Dₑ₂ (x₀, y₀) = 0

Lemma di Algebra Lineare sulle Matrici Reali 2x2 Simmetriche

Sia M = (m_ij) i, j = 1, 2 matrice reale 2x2 simmetrica.

Valgono:

• Se det M > 0 e m₁₁ > 0 allora ∃ C > 0 :
• ⟨Mx, x⟩ ≥ C₁ ||x||² ∀x ∈ ℝ²
• Se det M > 0 e m₁₁ < 0 allora ∃ C > 0 :
• ⟨Mx, x⟩ ≤ −C₂ ||x||² ∀x ∈ ℝ²
• Se det M < 0 allora ∃ k₁, k₂ ∈ ℝ² versi tali che
• ⟨Mk₁, k₁⟩ > 0 e ⟨Mk₂, k₂⟩ < 0

Forma quadratica indefinita

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Se ∇F (x₀,y₀) = 0 → tesi ovvia λ = 0

Assumo che ∇F(x₀,y₀) ≠ 0 ossia almeno 1 delle derivate parziali è diversa da 0.

∇∇(x₀,y₀) ≠ 0 per ipotesi oppure Assumo

Per Teorema di Dini, ∃V in un opportuno rettangolo (x₀-δ, x₀+δ) x (y₀-θ, y₀+θ) coincide con grafico della funzione implicita h. h: (x₀-δ, x₀+δ) → (y₀-θ, y₀+θ) con h ∈ C¹.

Costruisco H: (x₀-δ, x₀+δ) → ℝ data da H(x) = F(x, h(x))

Per ipotesi x₀ è estremo di H. Inoltre H è derivabile in x₀ e quindi per Teorema di Fermat H'(x₀) = 0

H'(x₀) = < ∇F(x, h(x)), (1, h'(x)) > ↳ per Teorema della derivata di funzioni composte.

0 = H'(x₀) = < ∇F(x₀, h(x₀)); (1, h'(x₀) >

Ho scoperto che ∇F(x₀,y₀) ⊥ (1, h'(x₀)poichè prodotto è uguale a 0.

h'(x₀) = ^{-dv/dx (x₀,y₀)}/_{dv/dy (x0,y0)} Per T. di Dini

u(x + h, y, z) - u(x, y, z)

= ¹⁄_h [∫_cU^F E dr - ∫_c F dr]

= ¹⁄_h ∫_c F dr - ∫_cF F dr = ¹⁄_h ∫_F F dr =

= ¹⁄_h ∫₀ ^h ⟨F(ⱼ(th + x, y, z)), ⱼˈ(t)⟩ dt ⱼ(t) = (h, 0, 0)

⟨F(th + x, y, z)

= ∫₀^h Fⱼ(th + x, y, z) dt = ∫₀^h Fⱼ(t + x, y, z) dt =

= ¹⁄_h ∫₀^h F(t + x, y, z) ds = ¹⁄_h ∫₀^h F(1) ds → F(0) se h → 0

Usando Teorema lim_h→0 u(x + h, y, z) - u(x, y, z)

lim_h→0 ¹⁄_h ∫₀^h F(1) ⟨t + x, y, z⟩ ds = F(x, y, z)

15 FORMULE di GAUSS-GREEN

Supponiamo che D sia un singolo insieme sia

x-semplice sia y-semplice la cui frontiera è

sostegno di un'unica curva piana sempre

regolare a tratti.

D = {(x, y) : x ∈ [a, b] e g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x)}

g₁, g₂ : [a, b] → ℝ continue C³ a tratti e tale

che g₁(x) ≤ g₂(x) ∀x

D = {(x, y) : y ∈ [c, d] e h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y)}

h₁, h₂ : [c, d] → ℝ continue C³ a tratti e tale che

h₁(y) ≤ h₂(y), ∀y

Scopo ∬_D ^∂f⁄_∂y dxdy = - ∫_+∂D F dc

∂f ∂u = a(t) b'(u) e^è continua

→ le ipotesi del Teorema di Unicità Locale → essere una sola soluzione locale.

21 Principio di Sovrapposizione per Equazioni Differenziali del 2° Ordine

a(t) y₁''(t) + b(t) y₁'(t) + c(t) y₁(t) = f₁(t)

a(t) y₂''(t) + b(t) y₂'(t) + c(t) y₂(t) = f₂(t)

Sommo

a(t) [y₄''(t) + y₂''(t)] + b(t) [y₄'(t) + y₂'(t)] + c(t) [y₄(t) + y₂(t)] = f₁(t) + f₂(t)

a(t) y₄''(t) + b(t) y₄'(t) + c(t) y₄(t) = F(t)

22 Teorema di Struttura dell'Integrale Generale per ED Lineari del Secondo Ordine

1. Prendo y₁, y₂ ∈ C²(I) soluzioni di L(y₄(t)) = 0∀ λ₁, λ₂ ∈ ℝ ho L(λ₁y₁ + λ₂y₂)(t) =λ₁ L y₁(t) + λ₂ L y₂(t) = 0
2. Devo dimostrare che tutte e sole le equazioni di L(y₄(t) = F(t)) si ottengono sommando una soluzione particolare della completa con l'integrale generale dell'omogenea.