Dimostrazioni Analisi - parte C

Dimostrazioni analisi e geometria 2

Secondo parziale

Francesco Bondini
June 2022

1. Differenziabilità e conseguenze

1.1 Definizione

Una funzione f : D(⊆ ℝ) → ℝ si dice differenziabile in a se, per − f (a + h) − f (a) = L(h) + o(||h||) dove L(h) è un'applicazione lineare L : ℝ → ℝ rappresentata da una matrice T∈ M (1, n) tale che L(h) = qh. Quindi f è differenziabile se esiste un q tale che lim (f (a + h) − f (a) − qh)/||h|| = 0 quando ||h|| → 0.

1.2 Teorema

Se f è differenziabile in a allora:

• f è continua in a
• f è derivabile in a e q = ∇f(a)
• f ha derivate direzionali in tutte le direzioni u (versore) e D_uf(a) = ∇f(a) · u

Dimostrazione:

1. Mostriamo che lim_h→0 (f (a + h) − f (a))/h = 0. Dalla definizione di differenziabilità, lim_h→0 (f (a + h) − f (a)) = lim_h→0 (qh + o(||h||)) = 0.

2. Dalla definizione di differenziabilità, possiamo calcolare la derivata parziale rispetto al versore canonico i-esimo e_i:

∂f/∂e_i (a) = lim_h→0 (f (a + he_i) − f (a))/h = lim_h→0 (qh + o(h))/h = q_i.

3. Analogamente al punto precedente, possiamo calcolare la derivata direzionale lungo un versore generico u:

D_uf(a) = lim_t→0 (f (a + tu) − f (a))/t = lim_t→0 (qu + o(t))/t = qu.

Dal punto 2. sappiamo che q = ∇f(a), quindi D_uf(a) = ∇f(a) · u.

2. Corollario (direzioni di massima e minima crescita)

Sia f : D(⊆ ℝ) → ℝ con D insieme aperto, e f differenziabile in a ∈ D. Allora il vettore ∇f(a) indica la direzione e il verso di massima crescita, mentre −∇f(a) indica direzione e verso di minima crescita (decrescita massima). I rispettivi tassi di massima e minima crescita sono ||∇f(a)|| e −||∇f(a)||. Inoltre, nella direzione perpendicolare la derivata direzionale è nulla.

Dimostrazione:

Dalla disuguaglianza di Schwarz e dal punto 3 del teorema precedente, essendo ||u|| = 1, abbiamo:

−||∇f(a)|| ≤ ∇f(a) · u ≤ ||∇f(a)||.

Quando u = ∇f(a)/||∇f(a)||, si ottiene che D_uf(a) = ||∇f(a)||.

Analogamente, per u = −∇f(a)/||∇f(a)||, D_uf(a) = −||∇f(a)||.

L'ultima affermazione consegue direttamente dalla definizione di perpendicolarità, infatti essendo ∇f(a) ⊥ u, allora D_uf(a) = ∇f(a) · u = 0.

3. Gradiente perpendicolare alla linea di livello

Sia f : D(⊆ ℝ) → ℝ differenziabile in x₀, e sia la curva c la linea di livello L = {x ∈ D | f(x) = c}. Supponiamo che x₀ sia vicino a x₀ e sia rappresentata dalla curva regolare γ(t) : [t₀ − ε, t₀ + ε] → D tale che γ(t₀) = x₀. Allora ∇f(x₀) ⊥ γ'(t₀).

Dimostrazione:

Dal teorema di derivazione delle funzioni composte, per ogni t ∈ [t₀ − ε, t₀ + ε], abbiamo che:

d/dt [f(γ(t))] = ∇f(x₀) · γ'(t) = 0, essendo γ(t) una curva di livello costante.