Dimostrazioni Analisi - parte C

Gradiente perpendicolare alla linea di livello

R ∇f −∇f(a) indica la direzione e il verso di massima crescita, e (a) indica direzione e verso diminima crescita (decrescita massima). I rispettivi tassi di massima e minima crescita sono∥∇f −∥∇f ⊥ ∇(a)(a)∥ e (a)∥. Inoltre nella direzione la derivata direzionale è nulla.

DIM: ∥u∥Dalla disuguaglianza di Schwarz e dal punto 3. del teorema precedente, essendo = 1,−∥∇f ≤ ∇f · ≤ ∥∇f(a)∥ (a) u = D f (a) (a)∥u∥∇f

Quando u = (a)/∥∇f (a)∥ si ottiene che 2∇f ∥∇f(a) (a)∥∇f ∥∇fD f (a) = (a) = = (a)∥u ∥∇f ∥∇f(a)∥ (a)∥−∇f

Analogamente per u = (a)/∥∇f (a)∥ −∥∇fD f (a) = (a)∥u

L’ultima affermazione consegue direttamente dalla definizione di perpendicolarità, infatti∇f ⊥essendo (a) u allora⊥ ∇f ·D f (a) = (a) u = 0⊥u

3 Gradiente perpendicolare alla linea di livellon L L7→Sia

: D(⊆ ) differenziabile in x , e sia la curva la linea di livello =R R 0 c cL L{x ∈ ∈ ∈D, c (x) = c}, x e vicino a x sia rappresentata dalla curva regolareR|f 0 c 0− 7→ ∇f ⊥γ(t) : [t ε, t + ε] D tale che γ(t ) = x Allora (x ) γ(t ) (ricordando che la0 0 0 0 0 0perpendicolarità ad una curva si ha se c’è perpendicolarità con la normale alla curva)DIM: 2Dal teorema di derivazione delle funzioni composte≡ ∀t ∈ −f (γ(t)) c [t ε, t + ε]0 0d ′∇f · ≡f (γ(t )) = (γ(t ) γ (t ) 00 0 0dtEssendo il prodotto scalare uguale a 0, allora necessariamente∇f ⊥(x ) γ(t )0 04 Teorema di Fermatn 7→Sia f : D(⊆ ) e x un punto di estremo relativo per f. Allora rientra in uno deiR R 0seguenti casi:∈1. x ∂D02. x è un punto singolare per f (f non derivabile nel punto)0 ∇f3. x e interno a D, f

è derivabile in x e (x ) = 00 0 0

DIM: (solo punto 3.)∇f ̸Se (x ) = 0 e f è differenziabile in x , detti0 0∇f ∇f(x ) (x )0 0−u = e u =1 2||∇f ||∇f(x )|| (x )||0 0||∇f −||∇favremmo D (x ) = (x )|| > 0 e D (x ) = (x )|| < 0. Quindi x non può essereu 0 0 u 0 0 01 2né massimo né minimo. ∂f (x ) > 0 (analogo se < 0), alloraSe f è derivabile, ma non differenziabile, supponiamo 0∂x1D (x ) > 0 e D (x ) < 0. Quindi x non può essere né massimo né minimo.e 0 -e 0 01 15 Proprietà forme quadraticheEssendo la matrice rappresentativa A di una forma quadratica una matrice simmetrica,dal teorema spettrale, è diagonalizzabile e ammette n autovalori reali (contati con la loroB {u }molteplicità) e si può trovare una base ortonormale di autovettori = , u , ..., u1 2 nni=1 i iP B,Sia h = h u dove h sono le coordinate nella base allorai∗ ∗ n n n nX X X XT i T j i T jq(h) = h Ah = ( u )

A( u ) = ( u ) ( Au )h h h hi j i j∗ ∗ ∗ ∗i=1 j=1 i=1 j=1

Dalla definizione di autovalori

n nX X Xi T j i j Tq(h) = ( h u ) ( h λ u ) = λ h h (u ) (u )i j j j i j∗ ∗ ∗ ∗i=1 j=1 i,j=13T

Dalla definizone di base ortonormale (u ) (u ) = 1 se i = j, mentre è = 0 altrimenti, dunque

i j nX 2iq(h) = )λ (hi ∗i=1

Quindi T2 2||h|| ≤ ≤ ||h||λ h Ah λmin max

Dove λ e λ sono rispettivamente gli autovalori minimo e massimo.

min max6 Test degli autovalori

TSia la forma quadratica q(h) = h Ah e λ , ...λ gli autovalori di A, allora la forma quadratica

1 nè ⇐⇒ ∀i1. definita positiva [negativa] λ > 0 [< 0] = 1, ... ni⇐⇒ ∃2. indefinita λ < 0 e λ > 0min max⇐⇒ ≥ ≤ ∀i3. semidefinita positiva [negativa] λ 0 e λ = 0 [λ 0 e λ = 0] = 1, ... ni min i maxDIM: T2 2||h||

<h> ≤ <h> ||h|| ∀h,1. segue da λ h Ah λ . Perché se λ < 0 allora q(h) < 0 emin max max ∀h,quindi è definita negativa. Se invece λ > 0 allora q(h) > 0 dunque è definitaminpositiva Tmin2. scegliendo h = u (autovalore relativo a λ < 0), q(h) = u Au = λ < 0.min min min minAnalogamente, scegliendo h = u , q(h) = λ > 0, quindi q(h) è indefinitamax maxT2 2||h|| ≤ ≤ ||h||3. Segue da λ h Ah λ e dal fatto che se u è autovettore relativomin max 0T Au = 0. Quindi se λ = 0, la forma quadratica èad autovalore nullo, allora u 0 min0semidefinita positiva, mentre se λ = 0, la forma quadratica è semidefinita negativa.max7 Ottimizzazione estremi liberi (con studio della ma-trice Hessianan 27→ ∈Sia f : A(⊆ ) con A aperto, f C (A) e x punto critico per f . Allora la natura delR R, 0 Tpunto critico è determinata dal carattere della forma quadratica h H (x )h,in particolare se è definita positiva [negativa], allora x è punto di minimo [massimo] relativo forte. 2. Se è indefinita, allora x è punto di sella. 3. Se è semidefinita positiva [negativa], allora x non può essere punto di massimo [minimo], ma non si può concludere nulla sulla sua natura. DIM: Siano λ e λ autovalori massimo e minimo di H(x) 1. Se λ > 0, allora per h ≠ 0 min 1 1 T 2 2 2 2 ≥ ||h|| ||h|| ∆f = h H(x)h + o(||h||) λ + o(||h||) = λ(1 + o(1)) min min 2 2 ||h|| per sufficientemente piccolo 1/2 < 1 + o(1), quindi ∆f > 0. Quindi in U(x) 0 f(x + h) > f(x), ovvero x è punto di minimo relativo forte. (Dimostrazione analoga 0 0 per punto di massimo) → 2. Scegliamo h = tu, dove u è l'autovalore relativo a λ > 0, allora per t > 0 max max max 1 1 λt + o(t) = λt(1 + o(1)) ∆f = max max 2 2 Come prima, per t sufficientemente piccolo ∆f > 0. Scegliendo invece h = tu,dove u è l'autovalore relativo a λ < 0 ottieniamomin min min∆f < 0. ∃ |f ∃ |fQuindi in U (x ) x (x ) > f (x ) e x (x ) < f (x ), ovvero x è punto di sella.– –0 + + 0 0 0∃3. Supponiamo H (x ) semidefinita positiva, allora λ > 0 e λ = 0. Calcolando ∆ff 0 + 0 2nelle direzioni h = tu h = tu si ottiene che ∆f > 0 e ∆f = o(t ), quindi+ + 0 0 + 0x non può essere un punto di massimo perché ∆f non può essere minore di 0.0(Dimostrazione analoga per matrice Hessiana semidefinita negativa)8 Teorema fondamentale del calcolo integrale per campiconservativi3 37→Sia F : D(⊆ ) un campo conservativo, D aperto e connesso, con un potenzialeR RU (x, y, z), e sia r una linea regolare (anche a tratti) orientata da P a P con parametriz-1 237→zione r(t) : [a, b] tale che r(a) = P e r(b) = P . AlloraR 1 2Z · –F ds = U (r(b)) U (r(a)) = U (P ) U (P )2 1γQuindi per un

campo conservativo il lavoro dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale, non dal percorso fatto.

DIM: Essendo F conservativo

b bZ Z Z′ ′· · ∇U ·F ds = F(r(t)) r (t)dt = (r(t)) r (t)dtγ a a5

Dal secondo teorema di derivazione delle funzioni composte

b bZ Z d′∇U ·(r(t)) r (t)dt = U (r(t))dtdta a

Quindi dal teorema fondamentale del calcolo integrale in R

bZ Z d ba − −· U (r(t))dt = [U (r(t))] = U (r(b)) U (r(a)) = U (P ) U (P )

F ds = 2 1dtγ a9

Teorema di caratterizzazione dei campi vettoriali conservativi

3 3 07→ ∈ Sia F : D(⊆ ) , F C (D) e D aperto e connesso, le seguenti condizioni sono

R equivalenti:

1. F è conservativo in D∀ ⊂

2. coppia di curve γ , γ D regolari a tratti aventi stessi punti iniziale e finale

1 2 Z ZFds = Fdsγ γ1 2∀ ⊂

3. curva γ D semplice, chiusa e regolare tratti

I Fds = 0γ

Questo integrale prende il nome di

circuitazione di FDIM:1 =⇒ 2Segue dal teorema fondamentale del calcolo integrale per campi conservativi. EssendoR Fds = ∆U , e dato che U dipende solo dai punti iniziale e finale, allora ∆U è ugualeper tutte le curve che condividono stessi punti iniziale e finale.2 =⇒ 3 ∪Consideriamo una curva γ = γ γ con γ da P a P e γ da P a P1 2 1 1 2 2 2 1I Z Z Z Z−Fds = Fds + Fds = Fds Fds−γγ γ γ γ1 2 1 2R RDall’ipotesi 2. Fds = Fds perché hanno stessi punti iniziale e finale, quindi−γ γ2 1I Z Z−Fds = Fds Fds = 0γ γ γ1 163 =⇒ 2 ∪ −γDefinisco γ = γ , dalla terza ipotesi1 2Z Z I Z Z−Fds + Fds = Fds = 0 =⇒ Fds = Fds−γ −γγ γ γ1 2 1 2R R−Dal fatto che Fds = Fds−γγa a Z ZZ −Fds = Fds = Fds−γγ γ1 2 2Dove γ e γ (percome sono state definite) sono curve che hanno gli stessi punti iniziale1 2e finale2 =⇒ 1 ∇U LBisogna trovare un potenziale U (x, y, z) tale che F = . Definiamo U (x, y, z) = P P0(lavoro da P a P), è ben definito perché dalla seconda ipotesi il potenziale non dipende0dalla curva γ. Quindi fissata una certa curva γ da P a P con parametrizzazione0 x(t) = xr(t) = y(t) = y z(t) = zallora PZL = FdsP P0 P0Si deve mostrare che ∂U ∂U ∂U= F , =