Dimostrazioni Analisi 2

Teorema Discriminabile Integrale Continuo e Differenziabile

Sia f: D → R, x ∈ D. Se f ∈ diffrenziabile in x₀, allora:

• (i) f continua in x₀
• (ii) ∃ un intorno positivo di x₀ ∃ (f(x) = a_i + x_i) (costante per ogni x)
• (iii) Se chiamiamo ∃(∇f(x) = {f₁(x₀), f₂(x₀), ..., f_m(x₀)})

Dimostriamo (i): Allora ∃ f(x) = f(r₀, ¹r_m)

Per ottenere la continuità, dobbiamo dimostrare, secondo la definizione di continuità di una funzione che:

lim _x→x0 f(x) = f(x₀)

Possiamo anche aggiungere per ottenere la definizione di differenziabilità. Se a è una funzione positiva, poi potremmo avere che la funzione:

f è differenziabile ⇔ lim _x→x0 f(x) - f(x₀) - Lr_x0| = 0 (*)

Quindi aggiungiamo e sottraiamo ciò che manca per ottenere l'interazione della definizione:

lim _x→x0 f(x) = lim _x→x0 {f(x) - f(x₀)} + f(x₀)

Ora dobbiamo dimostrare che il limite del termine {f(x) - f(x₀)}

K è uguale a 0 per x→x₀

semplicemente la funzione calcolata al punto x₀

Calcoliamo:

lim _x→x0 f(x) = f(x₀)

Dimostrato ciò, potremmo affermare che:

(b) In questo caso otteniamo utilizzando la definizione equivalente una funzione è differenziabile quando f(x) = f(x₀) + ¹L¹_x⇒x0 &hangvertical {)(|x - x₀|}

Utilizziamo la definizione dell'incremento parziale della funzione f, ovvero il:

lim _x⇒0 |f(x, ∃i↠x₀-1){})-f(x₀)) ¹e

Dobbiamo dimostrare che, se tale limite esiste, deve essere uguale alla derivata parziale

Presentiamo la definizione di funzione differenziabile e sostituiamo al posto la formula x.

^lim_t→0 ^{g(x₀ + tε_k) - g(x₀)}/_t

= ^lim_t→0 ^{t⟨a, ε_k⟩ + o⟨‖tε_k‖⟩}/_t

Applicazione della differenziabilità di g:

^lim_t→0 ^{t⟨a, ε_k⟩ + o⟨‖tε_k‖⟩}/_t = ^lim_t→0 ⟨a, ε_k⟩ + o⟨1⟩_t→0

Essendo k costante, lo possiamo fare uscire dal prodotto scalare:

^lim_t→0 ^{t⟨a, ε_k⟩ + o⟨‖tε_k‖⟩}/_t = ^lim_t→0 t⟨a, ε_k⟩/t + o⟨1⟩ = Q_K

Abbiamo ottenuto il risultato cercato, ovvero che ∫⟨a, ε_k⟩ = Q_K

Dimostrazione (segue) Abbiamo appena dimostrato che, se f è il risultato cercato, possiamo scrivere che a = ▽f(x₀)

Quindi al posto di scrivere la derivazione con a la scriviamo direttamente con il gradiente della funzione f:

^lim_t→0 ^{g(x₀ + tε_k) - g(x₀)}/_t = ^lim_t→0 t⟨a, ε_k⟩ + o⟨‖tε_k‖⟩/_t = Q_K

Disegniamo la derivata direzionale della funzione g rispetto ad un certo vettore n

Per lo stesso ragionamento precedente (che rimane esplicitato sopra) dobbiamo dimostrare che, se tale limite esiste, deve essere uguale alla derivata parziale

^lim_t→0 ⟨▽g(x₀), n⟩ + o⟨‖t‖⟩/_t

= ^lim_t→0 t⟨▽g(x₀), n⟩/t + o⟨1⟩_t→0 = ⟨▽g(x₀), n⟩ = ∂_f(x₀) = ⟨▽g(x₀), n⟩

Appunto - Relazione tra l'hessiano e le derivate differenziali

D_wf(x₀) = ∠∇f(x₀), w∠

D_w∫h(x) = D_w∠∫h(x_j), w∠ = D_w(ξ_j(x) ∫x_j(x|w_j)) |_{x = x0}

= ∑_j=1ⁿ∠∇β_xj(x₀), w ∠ ω = ∑_j=1ⁿ

= ∑_j=1ⁿ x_tjw ω_x = ∠u, ∇u∠

∬ x_k x_j x_j ω_x = ∠u, D²β(x₀) ω∠

Indice Hessiano

D²∫(x₀) è simmetrica

per il Teorema di Schwartz

∬ deve essere 2 volte diff. ordinabile

in x₀

22/06/11 17:22

Spettrale di una matrice (5 min): definite positive/negative

Sia A la matrice simmetrica n x n, definiamo λ₁, λ₂, …, λₙ i suoi autovalori rispettivi con la molteplicità. Allora:

• (A ^> 0, definita positiva o segni+): se e solo se λ₁, λ₂, …, λₘ > 0 (oppure < 0)
• (A ^< 0, semidefinita positiva (non negativa)): se e solo se λ₁, λ₂, …, λₘ ≥ 0 (oppure ≤ 0)
• (A indefinita) ⟺ se e solo se ∃ i, j tali che λᵢ > 0 e λⱼ < 0

Dimostrazione A ⟹ (Dimostrazione della sufficienza uso base ortogonale)

Dobbiamo dimostrare che, se A è definita positiva, allora i suoi autovalori sono positivi strettamente e quindi esistono gli autovettori relativi.

Allora esiste un vettore v_j ∈ ℝⁿ ∃3 tod tale che A v_j = λ_j v_j

(A è ortonormale relativo a j)

Se si calcola il prodotto scalare:

• <A v_j, v_j> = <λ_j v_j, v_j> = λ_j ||v_j||² ⟹ λ_j > 0

Dimostrazione (A) ⟸

Ora dobbiamo dimostrare che, se gli autovalori sono strettamente positivi, allora la matrice è definita positiva e quindi oltre al prodotto scalare <A n_k, n_k> c'

per soddisfare, A è una matrice simmetrica, quindi ortonormale di autovettore.

Quindi se n₁, n₂, …, n_n, una base ortogonale di autovettori di A,

vettore che A n_j = λ_j n_j⟹

Allora ∀ v ∈ ℝⁿ ∋ ∃3 allora che si ottiene t una base

il vettore in generale può essere sviluppato come combinazioni delle vettore

Teorema di Dini (caso di due razzeabili) - Appunti iPad. 67-70

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (caso generale)

Sia: f: D⊂ℝⁿ→ℝ f con C^m di classe C^k.

g su Γ⊂D f(x)≥0; p ∈ Γ punto estremo per f inibito a Γ.

y_i: i=1,…,m ∈ ℝ tali che ∫_j=0ⁿ y_j ∇g_j(x₀) (combinazioni lineari dei gradienti delle componenti di g) moltiplicatori e il x allora λ_j (i simboli) (screm uno il lineare). (2), quindi che sia ordinato all'inverso in Γ.

Dimostrazione:

Partiamo separando con il punto x₀ domando ssenò il punto estremo per la funzione f inibito a Γ. (2)