Dimostrazioni Analisi

Assiomi, definizioni e teoremi

del corso di Analisi Matematica

Aggiornato al 1 gennaio 2016

In questo elenco sono raccolti e numerati progressivamente tutti gli assio-

mi, le definizioni e i teoremi incontrati nelle lezioni e nelle esercitazioni del

corso di Analisi Matematica della laurea triennale in Ingegneria Gestionale

di Reggio Emilia, anno accademico 2015–2016.

L’elenco è accompagnato soltanto da qualche commento inserito in nota

e serve più che altro per il controllo degli appunti presi a lezione o come

riferimento ogni volta che occorra citare un risultato preciso. Si rimanda al

libro di testo per un’esposizione più completa del materiale qui esposto.

Per facilitare la navigazione all’interno del documento, tutti i riferimenti

in blu sono “cliccabili”. Ogni segnalazione di refusi o errori è gradita.

1. Nozioni preliminari

1

Assioma 1 (Campo dei numeri reali ). Sull’insieme dei numeri reali sono

R

(+) (·).

definite due operazioni: l’addizione e la moltiplicazione L’addizione

soddisfa le proprietà:

∈ ∈

0 0 + x = x x

i) esiste tale che per ogni

R R;

∈

x, y, z (x + y) + z = x + (y + z);

ii) per ogni R,

∈ −x ∈

x x + (−x) = 0;

iii) per ogni esiste tale che

R R

∈

x, y x + y = y + x.

iv) per ogni R,

La moltiplicazione soddisfa le proprietà:

∈ · ∈

1 1 x = x x

I) esiste tale che per ogni

R R;

∈ · · · ·

x, y, z (x y) z = x (y z);

II) per ogni R, 1

1 ∈ ·

∈ 6 x ( ) = 1;

x x = 0, tale che

III) per ogni esiste R

R, x x

∈ · ·

x, y x y = y x;

IV) per ogni R,

∈ · · ·

x, y, z x (y + z) = x y + x z.

V) per ogni R, 2

Assioma 2 (Ordinamento ). Sull’insieme dei numeri reali è definita una

R ∈ ≤

(≤) x, y x y

relazione di ordine tale che per ogni coppia si verifica

R

≤

y x

oppure e valgono le proprietà:

1

I numeri reali vengono introdotti assiomaticamente, dichiarando esplicitamente le pro-

prietà fondamentali che devono avere. Sulla base di questi assiomi si deducono rigorosa-

mente tutti i teoremi successivi. L’Assioma 1 riguarda la struttura algebrica di campo,

mentre l’Assioma 2 riguarda l’ordinamento. Un ulteriore assioma (l’Assioma 3, più avan-

ti) riguarderà la “continuità”: cioè quella proprietà che rende l’insieme dei numeri reali

qualcosa di più di una semplice astrazione di natura algebrica. La vera motivazione di R

non è infatti il calcolo delle radici che in non esistono (tra l’altro, i numeri irraziona-

Q

li cosiddetti “algebrici” sono una parte trascurabile dei numeri reali), ma va cercata nel

tentativo di rappresentare l’idea stessa di “continuità” insita nella nostra percezione dello

spazio, del tempo e, in generale, delle grandezze fisiche che variano.

2 I numeri reali sono un insieme ordinato. L’ordinamento è compatibile con le operazioni

di addizione e moltiplicazione e permette di scrivere le disuguaglianze tra numeri reali.

1

2 ≤ ∈

x x x

a) per ogni (proprietà riflessiva);

R

≤ ≤

x y y x x = y

b) se e allora (proprietà antisimmetrica);

≤ ≤ ≤

x y y z x z

c) se e allora (proprietà transitiva);

≤ ∈ ≤

x y z x + z y + z;

d) se e allora

R,

≤ ∈ ≤ · ≤ ·

x y, z 0 z, x z y z.

e) se e allora

R ∈

x, y

Teorema 1 (Disuguaglianza triangolare). Per ogni vale la disu-

R

guaglianza: |x ≤ |x| |y|.

+ y| + x

Dimostrazione. Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale è, per

definizione, ≥

x x 0

se

|x| = −x x < 0.

se

x y

Per ogni coppia di numeri reali e abbiamo allora certamente

−|x| ≤ ≤ |x|

x

−|y| ≤ ≤ |y|.

y

3

Sommando membro a membro queste disuguaglianze, otteniamo

− |x| |y| ≤ ≤ |x| |y|

+ x + y +

|x|+|y|

x+y

e dunque è compreso tra la quantità e il suo opposto. Ricordando

l’equivalenza −a ≤ ≤ ⇐⇒ |X| ≤

X a a,

≥ |x ≤ |x| |y|,

a 0, + y| +

valida per ogni abbiamo allora cioè la tesi.

4

∈

a, b a < b,

Definizione 1 (Intervalli). Dati con si dice intervallo aperto

R

a b

di estremi e il sottoinsieme di R

{x ∈ |

(a, b) = a < x < b};

R

a b

si dice intervallo chiuso di estremi e il sottoinsieme di R

{x ∈ | ≤ ≤

[a, b] = a x b}

R

e si dicono intervalli semiaperti o semichiusi gli insiemi

{x ∈ | ≤ {x ∈ | ≤

(a, b] = a < x b} [a, b) = a x < b}.

e

R R

Definizione 2 (Maggiorante, minorante). Si dice maggiorante di un insieme

⊆ ∈ ≤ ∈

A M x M x A.

un numero tale che per ogni Analogamente, si

R R ⊆ ∈ ≤

A m m x

dice minorante di un insieme un numero tale che per

R R

∈

x A.

ogni

3 Il fatto che si possano sommare membro a membro due disuguaglianze (orientate nello

≤ ≤

a b a + c b + c

stesso verso) è una conseguenza dell’Assioma 2. Se infatti allora per

≤ ≤

d) c d c + b d + b, d);

la di questo assioma; analogamente, se allora sempre per la per

≤

c) a + c b + d.

la (proprietà transitiva) abbiamo dunque

4 ⇐⇒ ≤ 6

x < y x y x = y.

La relazione di disuguaglianza stretta “<” è definita così: e 3

⊆

A

Definizione 3 (Limitatezza). Un insieme si dice superiormente li-

R

mitato se ammette un maggiorante; si dice inferiormente limitato se ammet-

te un minorante; si dice limitato se è sia superiormente che inferiormente

5

limitato. 6

Definizione 4 (Massimo e minimo ). Si dice massimo di un sottoinsieme

⊆ ∈

A max A, M A M

e si indica con un numero tale che è un maggiorante

R

A. A min A,

di Analogamente, si dice minimio di e si indica con un numero

∈

m A m A.

tale che è un minorante di ⊆

A

Definizione 5 (Estremo superiore, estremo inferiore). Se è un in-

R

A,

sieme superiormente limitato, si dice estremo superiore di e si indica con

sup A, il minimo di tutti i maggioranti di A:

∈

sup A = min{M : M A}.

è maggiorante di

R A

Analogamente, si dice estremo inferiore di un insieme inferiormente limi-

inf A, A:

tato, e si indica con il massimo di tutti i minoranti di

∈

inf A = max{m : m A}.

è minorante di

R

A sup A = +∞, A

Se non è superiormente limitato si scrive anche se invece

−∞.

inf A =

non è inferiormente limitato si scrive anche 7

Assioma 3 (Proprietà dell’estremo superiore ). Ogni sottoinsieme di su-

R

periormente limitato ammette estremo superiore in Analogamente, ogni

R.

sottoinsieme di inferiormente limitato ammette estremo inferiore in

R R.

Definizione 6 (Reali estesi). Si chiama insieme dei numeri reali estesi e si

∗

indica con il simbolo , l’insieme

R ∗ ∪ {+∞, −∞},

=

R R

±∞

dove i nuovi elementi non sono numeri reali, ma ad essi si estende

8

−∞ ∈

< x < +∞ x

l’ordinamento usuale di ponendo per ogni

R R.

5 Si ricorda che maggiorante e minorante devono essere numeri reali.

6 Non tutti i sottoinsiemi di ammettono massimo o minimo. Si pensi ad esempio a

R

(a, b). b

un intervallo aperto Il numero è un maggiorante, ma non appartiene all’intervallo

e nessun altro numero appartenente all’intervallo è un maggiorante per l’insieme.

7 inf sup

L’esistenza di e non si può dimostrare in generale sulla base degli Assiomi 1 e

2: è una proprietà indipendente che va dunque postulata. Questo fondamentale assioma

di può essere formulato in modi diversi e viene anche detto assioma di continuità o

R

di completezza, perché stabilisce che è un sistema completo, cioè privo di “lacune”.

R

Osserviamo che, al contrario di non è completo: il sottoinsieme dei razionali il cui

R, Q

quadrato è minore di 2 è infatti superiormente limitato in ma non ammette estremo

Q,

superiore in Il minimo di tutti i maggioranti di questo insieme, cioè il suo estremo

Q. √

2.

superiore, esiste invece in ed è

R

8 ∗ +∞

In ogni insieme ammette un maggiorante e un minorante: basta prendere e

R

−∞ rispettivamente. Ha allora senso dire, per definizione, che gli insiemi superiormen-

+∞

te illimitati ammettono estremo superiore uguale a e che gli insiemi inferiormente

−∞.

limitati ammettono estremo inferiore uguale a Si può così riformulare la proprietà

dell’estremo superiore (Assioma 3) dicendo che ogni sottoinsieme di ammette estremo

R

superiore, finito o infinito.

4 2. Successioni in R

Definizione 7 (Successione). Si dice successione in ogni funzione da

R N

a,

in Se indichiamo questa funzione con la lettera allora

R. −→

a : N R

7−→

n a ,

n

a

dove è l’n–esimo elemento della successione. La successione nel suo

n 9

{a } {a }.

complesso è indicata con o anche, brevemente, con

n n

n∈N {a }

Definizione 8 (Definitivamente). Si dice che la successione possiede

n

∈

N

una certa proprietà definitivamente se esiste tale che la proprietà è

N

≥

a n N

vera per tutti gli con .

n {a }

Definizione 9 (Successione limitata). Una successione si dice supe-

n

10

riormente limitata quando è superiormente limitato l’insieme dei suoi va-

{a ∈

: n

lori, cioè l’insieme Analoga definizione vale per la limita-

N}.

n {a }

tezza inferiore. Una successione è limitata se è sia superiormente che

n M > 0

inferiormente limitata, cioè se esiste tale che

11

|a | < M n.

per ogni

n

Definizione 10 (Successione convergente, limite). Si dice che una successio-

{a } ∈

l

ne è convergente se esiste un numero tale che, per ogni arbitrario

R

n ε > 0,

numero reale si verifica che 12

|a − l| < ε definitivamente.

n {a }

l

Il numero si dice il limite della successione e si scrive

n

lim a = l,

n

n→∞

a n l”.

che si legge: “il limite di per tendente all’infinito è uguale a In modo

n

equivalente, si può scrivere: → → ∞,

a l n

per

n

9 Una successione in consiste nella scelta di una infinità di numeri reali, uno per ogni

R

numero naturale: a , a , a , a , a , a , ... a , ...

0 1 2 3 4 5 n

Questi numeri potrebbero anche coincidere tra loro, come nelle successioni costanti. Oc-

corre distinguere cioè la successione, che è una funzione, dall’insieme dei suoi valori, cioè

dal sottoinsieme dei numeri reali che vengono scelti (la sua immagine). Per esempio, le

n n+1

a = (−1) b = (−1)

due successioni e sono diverse, ma hanno lo stesso insieme di

n n

{−1, 1}.

valori:

10 Vedere la Definizione 3.

11 Chi è il minorante in questa formulazione?

12 ε

È interessante qui che il numero possa essere arbitrariamente piccolo, più che ar-

bitrariamente grande. La condizione significa infatti che, definitivamente, vale la doppia

−

l ε < a < l + ε. ε

disuguaglianza Il fatto che possa essere arbitrariamente piccolo

n l

significa allora che gli elementi della successione si avvicinano (e rimangono vicini) a

n

quanto si vuole, a patto di prendere l’indice abbastanza grande. 5

13

l n

che si legge: “a tende a per tendente all’infinito”.

n

Definizione 11 (Limite per eccesso o per difetto). Si dice che la successione

{a } l

tende al limite per eccesso e si scrive

n +

→

a l

n

→ → ∞ ≥

a l n a l

se per e inoltre definitivamente. Analogamente si dice

n n

{a } l

che tende a per difetto, e si scrive

n −

→

a l

n

→ ≤

a l a l

se e definitivamente.

n n {a }

Teorema 2 (Unicità del limite). Se la successione è convergente allora

n

il suo limite è unico. → → → ∞

a l a l n

Dimostrazione. Supponiamo che e per e faccia-

n 1 n 2

l = l a

mo vedere che allora . Sommando e sottraendo e sfruttando la

1 2 n

disuguaglianza triangolare (Teorema 1) otteniamo

|l − | |l − − | ≤ |l − | |a − |.

l = a + a l a + l

2 1 2 n n 1 2 n n 1

ε > 0 ε/2 > 0. ε/2

Per ogni possiamo allora considerare il numero Anche è

un arbitrario numero positivo e dunque, per definizione di limite, abbiamo

ε ε

|a − | |l − | |a − |

l < a = l < ε > 0

e definitivamente. Per ogni

n 1 2 n n 2

2 2

possiamo così riprendere la catena di disuguaglianze e completarla in questo

modo: ε ε

|l − | ≤ |l − | |a − |

l a + l < + = ε.

2 1 2 n n 1 2 2

Considerando solo il primo e l’ultimo termine della catena, abbiamo ottenuto

|l − | |l − |,

l < ε. l

la condizione Il modulo non potendo essere negativo e

2 1 2 1

ε ε > 0,

dovendo essere più piccolo di per ogni non può che valere zero. Si

−

l l = 0, l = l

conclude così che anche cioè .

2 1 2 1

Definizione 12 (Successione divergente, successione irregolare). Si dice che

{a } ∈

+∞ M

una successione è divergente a se per ogni R

n a > M definitivamente.

n {a } +∞

In questo caso si dice anche che il limite di è uguale a e si scrive

n

lim a = +∞,

n

n→∞

oppure → → ∞.

a +∞ n

per

n

13 n

La locuzione “per tendente all’infinito” può anche essere omessa parlando del limite

di successioni perché l’unico limite che si può calcolare di una successione è proprio quello

n n

per che tende all’infinito, cioè per che diventa sempre più grande. Diverso sarà

x

invece il caso delle funzioni, per le quali sarà possibile definire limiti per che tende

a qualunque numero reale. Un esempio banale di successioni convergenti è dato dalle

successioni costanti, che convergono all’unico elemento dell’insieme dei loro valori.

6 {a } −∞

Analogamente, si dice che la successione è divergente a e si scrive

n

−∞ ∈

lim a = m a < m

se per ogni vale definitivamente. Se invece

R

n→∞ n n

lim a

non esiste il si dice che la successione è irregolare.

n→∞ n {a }

Definizione 13 (Infinitesimi e infiniti). Si dice che una successione n

→ → ∞.

a 0 n

è infinitesima (oppure che è un infinitesimo) se per Si

n

{a }

dice invece che una successione è infinita (oppure che è un infinito) se

n

→ ±∞ → ∞.

a n

per

n {a }

Definizione 14 (Successione monotòna). Si dice che una successione n

è monotona crescente, oppure semplicemente che è crescente, se

≥ ∈

a a n

per ogni N.

n+1 n

(>),

Se la disuguaglianza è stretta la successione si dice strettamente crescen-

14 {a }

te. Analogamente, si dice che una successione è monotona decrescente,

n

oppure semplicemente che è decrescente, se

≤ ∈

a a n

per ogni N.

n+1 n

Se la disuguaglianza è stretta, la successione si dice strettamente decrescente.

15

Teorema 3 (Esistenza del limite per successioni monotone ). Ogni succes-

{a }

sione monotona ammette limite. Se la successione è crescente, que-

n

sto limite è uguale all’estremo superiore dei valori della successione; se in-

vece è decrescente, è uguale al suo estremo inferiore. In altre parole, se

∗ ∗ 16

∈ ∈ ∈ ∈

Λ = sup{a : n λ = inf{a : n

, e , allora se la

N} R N} R

n n

successione è crescente abbiamo

∃ lim a = Λ,

n

n→∞

↑ → ∞,

a Λ n

che si scrive anche per mentre se è decrescente abbiamo

n ∃ lim a = λ,

n

n→∞

↓ → ∞.

a λ n

che si scrive anche per

n

Dimostrazione. Dimostriamo il risultato solo per le successioni crescenti.

∈

Λ ε > 0

Consideriamo prima il caso Occorre mostrare che per ogni si

R.

verifica che |a − → ∞,

Λ| < ε n

definitivamente per

n

cioè che definitivamente è −

Λ ε < a < Λ + ε.

n

14 Una successione può essere monotona soltanto definitivamente. Ad esempio, la suc-

−

a = n(n 100)

cessione non è crescente e neppure de