Dimostrazioni Analisi

R Rf (x),Definizione 28 (Derivata)

Una funzione definita in un intorno di un punto x, si dice derivabile in x se esiste finito il limite del rapporto incrementale di f(x) in 0, cioè il seguente limite:

lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h = df(x) / dx

Il valore di tale limite si indica con f'(x) oppure df(x) / dx. Si dice che f(x) è derivabile in x da destra (o da sinistra) e si parla di derivata destra (o derivata sinistra), se questo limite è solo un limite destro (o solo un limite sinistro).

Definizione 29 (Punto angoloso): Si dice che x è un punto angoloso per la funzione f(x) se f(x) è continua in x ed esistono finite le derivate destra e sinistra in x, ma sono diverse.

Definizione 30 (Flesso o punto a tangente verticale): Si dice che x è un punto di flesso a tangente verticale per la funzione f(x) se f(x) è continua in x e i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in x coincidono e sono infiniti. Se è definita

solo in un intorno destro di (o solo in un intorno sinistro) e il limite del rapporto incrementale è infinito, si parla di punto atangente verticale.

Definizione 31 (Cuspide). Si dice che la funzione presenta una cuspide in x se è continua in x ed entrambi i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono infiniti, ma di segno opposto.

Teorema 32 (Relazione tra derivabilità e continuità). Se una funzione f(x) è derivabile in x, allora è continua in x.

Dimostrazione. Dalla definizione di derivata,

-f(x + h) + f(x) ∈ f(x)lim R, h → 0

cioè, ricordando la relazione di asintotico,

-f(x + h) + f(x) ∼ h → 0.

Dunque, siccome è un numero (e non ±∞),

-f(x + h) + f(x) = h f(x)h → 0.

Il primo membro tende allora a ±∞ e ne segue che per h → 0,

h → ±∞.

x + h = x, f (x) f (x )Ma ponendo questo significa che per0 0→x x f x , cioè la continuità di in .0 042 x xSi dice intorno di un qualunque intervallo aperto che contiene . Non importa0 0quanto “piccolo” sia questo intervallo.22

Teorema 33 (Algebra delle derivate). Somme algebriche, prodotti e quo-x xzienti di funzioni derivabili in sono derivabili in e inoltre0 0 0(f + g) (x) = f (x) + g (x)0 0 0·(f g) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x)0 0 1 f (x)−(x) = 2f f (x)0 0 0 −f f (x)g(x) f (x)g (x)(x) = .2g g (x) (f + g)

Dimostrazione. (Derivata della somma.) Il rapporto incrementale diè −− f (x + h) + g(x + h) (f (x) + g(x))(f + g)(x + h) (f + g)(x) = ,h hche si può riscrivere come− −f (x + h) f (x) g(x + h) g(x) 0 0→+ f (x) + g (x)h h→h 0, per per il teorema sul limite della somma. f (x)

Teorema 34 (Derivata di funzione composta, regola della catena). Se èx g(y) y = f (x ),derivabile in e

è derivabile in allora la funzione composta0 0 0◦g f xè derivabile in e vale la formula0 0 0 0◦ ·(g f ) (x ) = g (f (x )) f (x ).0 0 0 f

Teorema 35 (Derivata della funzione inversa). Se è invertibile in un0 −16x x f (x ) = 0, fintorno di ed è derivabile in , con allora è derivabile0 0 0y = f (x )in e vale la formula0 0 1−1 0(f ) (y ) = .0 0f (x )0

Teorema 36 (Derivate delle funzioni elementari). Valgono le seguenti regole:f, g

Teorema 37 (De L’Hospital). Siano due funzioni derivabili in un inter-43⊆ 6(a, b) lim f (x) = lim g(x) = 0, g(x) = 0vallo e tali che conR + +x→a x→a(a, b).in Se esiste il limite 0f (x) = Llim 0g (x)+x→a∗∈Lcon , allora ancheR f (x)lim = L.g(x)+x→a43 ±∞Il teorema continua a valere anche quando i due limiti sono (non necessariamente6g(x) = 0con lo stesso segno). In questo caso l’ipotesi è superflua, perché segue dal teorema−

+→ →x b x adella permanenza del segno. Infine, nulla cambia se si considera al posto di .23MDefinizione 32 (Estremi). Si dice che è massimo (assoluto, o globale)∈f [a, b] x [a, b]di in e è punto di massimo se0 ≥ ∈f (x ) = M f (x) x [a, b].per ogni0Analoga definizione vale per i minimi e i punti di minimo. Massimi e minimisi dicono anche estremi. Se la disuguaglianza precedente non vale in tutto44[a, b], xma solo in un intorno di , si parla di estremi relativi, o locali.0f (x) (a, b)Teorema 38 (Di Fermat). Se è derivabile in e ammette un punto45∈x (a, b)di estremo allora0 0f (x ) = 0.0xDimostrazione. Se è, ad esempio, un punto di massimo (non importa se0 h > 0locale o globale), allora prendendo si ha−f (x + h) f (x )0 0 ≤ 0hx h < 0in un intorno destro di , mentre prendendo si ha0 −f (x + h) f (x )0 0 ≥ 0hxin un intorno sinistro di . Portando al limite la prima disuguaglianza,0 0 ≤f (x ) 0per il teorema

della permanenza del segno, si ottiene da destra. 0+0 ≥ f(x) 0

Portando al limite la seconda, si ottiene invece da sinistra. Ma 0−0 0f x f(x) = f(x) = 0. siccome è derivabile in per ipotesi, si conclude 0 0 0−+46 f [a, b]

Teorema 39 (di Lagrange, o del valor medio). Se è continua in e∈(a, b), c (a, b) derivabile in allora esiste tale che −f(b) f(a) 0 = f(c). −b a r(x) A = a, f(a)

Dimostrazione. Chiamiamo la retta passante per i punti B = b, f(b) e , ossia: −f(b) f(a) 47−r(x) = f(a) + (x a). −b ar(x)

Il coefficiente angolare di è uguale al primo membro della disuguaglianza −w(x) = f(x) r(x). da dimostrare. Consideriamo la funzione Il teorema è 44 Eventualmente anche solo un intorno destro o sinistro. 45 La conclusione non sarebbe affatto garantita se l’intervallo fosse chiuso, perché sul [a, b] x = a x = b bordo di potrebbero esistere punti di estremo oppure nei quali, 0 0 tuttavia, la derivata

non si annulla.46 f (b)−f (a) f [a, b].La quantità rappresenta la variazione media di su Interpretandob−af (x) x,come la posizione di un punto mobile su una retta al tempo questo valore è la[a, b].“velocità media” nell’intervallo Il teorema afferma che la velocità media (valoreastratto) è effettivamente realizzata lungo il percorso.

47 y−y x−xA AA B: =È la formula della retta passante per e , avendo esplicitato−y −xy xB A B Ay = r(x).24 0∈c (a, b) w (c) = 0.dimostrato se facciamo vedere che esiste tale che Infatti,f (b)−f (a)0 0 0 0 0− −(f (c) r(c)) = 0, f (c) r (c) = 0 f (c) = r (c) =se allora e cioè .b−aw [a, b],Per prima cosa, osserviamo che è continua in perché differenza(a, b),di funzioni continue, ed è derivabile in per lo stesso motivo. Per ilw MTeorema 25 (di Weierstrass), ammette dunque massimo assoluto em [a, b].minimo

Distinguiamo due casi:

1. Se w è costante su c (a, b), allora per ogni x ∈ (a, b) e il teorema è provato;
2. Se invece w(a) ≠ w(b), siccome w è continua su [a, b], non possono essere raggiunti entrambi agli estremi dell'intervallo e, necessariamente, esiste c ∈ (a, b) tale che w(c) = 0. Questa volta per il Teorema 38 (di Fermat), w'(c) = 0. In entrambi i casi la tesi è dimostrata.

Teorema 40 (Test di monotonia). Se f è derivabile in [a, b], allora:

1. f'(x) ≥ 0 per ogni x ∈ [a, b];
2. f è crescente in [a, b] se e solo se per ogni x ∈ [a, b], f'(x) ≥ 0;
3. f è decrescente in [a, b] se e solo se per ogni x ∈ [a, b], f'(x) ≤ 0.

Dimostrazione. In un verso, se f è monotona (ad esempio crescente), allora il rapporto incrementale ha segno costante (non negativo) e tale rimane il suo limite, per il teorema della permanenza del segno (l'analogo del teorema 38 per le derivate).

Teorema 9 (per funzioni). Nel verso opposto, se il segno della derivata è costante in tutto l'intervallo (ad esempio non negativo), allora per ogni coppia di numeri e1x x < x, con , abbiamo, applicando il teorema di Lagrange:2 1 2 -f (x ) f (x )2 1 0 ≥= f (c) 0-x x2 1e dunque, essendo il denominatore positivo, anche il numeratore è non ne-≥f (x ) f (x ), f gativo e cioè che prova la monotonia di .2 1

Teorema 41 (Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla). La funzione0 ∈f (a, b) f (x) = 0 x (a, b).è costante su se e solo se per ognif (a, b),Dimostrazione. In un verso, se è costante in allora si prova direttamente (con la definizione) che è derivabile in e la sua derivata èa bidenticamente nulla. Nell'altro, se esistessero per assurdo due punti e in0 06(a, b) f (a ) = f (b ),tali che allora, applicando il teorema di Lagrange (Teorema 39)

All'intervallo troveremmo tale che 0 0 0 0 contraddicendo l'ipotesi.

Definizione 33 (Convessità). Un insieme del piano si dice convesso se, A B, contenendo due punti e contiene tutto il segmento che li congiunge.

Definizione 34 (Epigrafico). Si dice epigrafico di una funzione in un