Dimostrazioni di Analisi I

SUCCESSIONI

Definizione di limite

{ } ∈ , ∈

Siano ,

∈ { } +∞, { }

Si dice che la successione ha limite L per n che tende a oppure è convergente se:

∈

|

∀ > 0 , ∃ ∈ : − | < ∀

>

lim = → → +∞

→+∞ { } +∞ → +∞, { }

Si dice invece che la successione tende a per oppure diverge positivamente se:

∈

∀ > 0, ∃ ∈ : > ∀

>

lim = +∞ → +∞ → +∞

→+∞

Teorema dei carabinieri

{ }, { }, { }

, , ∈

Siano

→ , → ∈ ≤ ≤ →

Supponiamo , allora:

Dimostrazione:

> 0

Fissato

| |

− | < , − | < definitivamente

In particolare

− < ≤ ≤ < + definitivamente

− < < + definitivamente

| − | < definitivamente

Definizione del numero e di Nepero

1

{(1 + ) }

La successione è strettamente crescente e limitata

+

∈

Per il teorema sul limite delle successioni monotone:

1 1

lim + = + ∈

(1 ) (1 )

→+∞

Si definisce numero di Nepero e si denota con e

1 1

= lim + = + ∈

(1 ) (1 )

→+∞

SERIE NUMERICHE

Condizione necessaria per la convergenza

Sia

∞ ∈

∑

=0 { }

lim = 0,

Se la serie è convergente, allora cioè è infinitesima

→+∞

Dimostrazione:

∃ ∈ : lim =

Per ipotesi:

→+∞

|

= ∈ , ∀ = 0, ∃ ∈ : − | < ∀ >

∑

=0

| | | | | | | | |

= − = − + − ≤ − | + − ≤ + ∀ > + 1

−1 −1 −1

| | = 2 ∀ > + 1 ⟹ → 0

Il viceversa è falso.

Criterio della radice

Sia

∞ ≥ 0

∑

=0

∈ ]0, 1[ √ ≤ 1

Si suppone che esista tale che definitivamente, allora:

∞ < +∞

∑

=0

Dimostrazione:

≥ 0 √ ≤ 1

Per ipotesi definitivamente

≤ definitivamente

∞

< +∞

∑

=0 ∞

∑ 0 < < 1

Per il criterio del confronto la serie converge come la serie geometrica =0

∞

[0, ∑

lim √ = ∈ 1] ⟹ < +∞

1. Se

=0

→+∞ ∞

∑

lim √ = > 1 ⟹ = +∞

2. Se

=0

→+∞

lim √ = 1

3. Se caso dubbio (Es. la serie armonica)

→+∞

Criterio del confronto

Siano

∞ ∞

, ∈

∑ ∑

=0 =0

0 ≤ ≤

Tali che definitivamente, allora:

∞ ∞

< +∞ ⟹ < +∞

∑ ∑

=0 =0

∞ ∞

= +∞ ⟹ = +∞

∑ ∑

=0 =0

FUNZIONI

Teorema del confronto per limiti di funzioni (carabinieri)

⊆ , , , ℎ: → ∈ ∃ > 0

Siano punto d’accumulazione per A, si suppone che tale che:

0

() ≤ () ≤ ℎ() ∀ ∈ ] − , + [ ∩ \ { }

0 0 0

Teorema della permanenza del segno

⊆ , : →

Siano )

∈ ( > 0,

f continua in e allora:

0 0

∃ > 0 () > 0 ∀ ∈ ] − , + [ ∩

0 1 0 2

Dimostrazione:

∀ > 0, ∃ > 0

Per ipotesi | | |() )|

∈ , − < ⟹ − ( <

0 0

) )

( − < () < ( +

0 0

) ) )

( > 0, > 0: ( − > 0 ⟹ ( > > 0

Per ipotesi scelto

0 0 0

( )

0

= > 0

Ad esempio: 2 ) )

( (

0 0

)

() > ( − = >0 ∀ ∈ ] − , + [ ∩ =

0 0 1 0 2

2 2

Definizione di funzione convessa e concava

: ], [ →

Sia ], [

Si dice che f è convessa in se:

1 [0, (1 ) ) (1

∀ ∈ ], [ ∀ ∈ 1]: ( + − ) ≤ ( + − )( )

1 2 1 2

2 ], [ −

Si dice che f è concava in se è convessa, cioè:

1 [0, (1 ) ) (1

∀ ∈ ], [ ∀ ∈ 1]: ( + − ) ≥ ( + − )( )

1 2 1 2

2

DERIVATE

Teorema di derivazione delle funzioni inverse

: ], [→

Sia strettamente monotona e derivabile

′ ()

≠ 0 ∀ ∈ ], [,

Supponiamo allora:

−1

: (], [) → ], [ (], [)

è derivabile in

1

−1 ′

( ) () = ∈ (], [)

−1 ())

′(

Definizione di funzione derivabile in un punto

Si dice che è derivabile in se esiste finito:

0

( + ℎ) − ( )

0 0 ′ ( )

lim = = ( )

0 0

ℎ

ℎ→0 ], [ ], [

Si dice che è derivabile in se è derivabile in ogni punto di

Teorema di Rolle

: [, ] → ], [.

Sia continua e derivabile in ′ ()

() = () ∃ ∈ ], [ = 0

Se allora: tale che

Dimostrazione: [, ],

Per ipotesi f è continua in quindi per il teorema di Weierstrass:

∃ = min ∃ = Max

[,] [,] ′ ()

[, ], ∀ ∈ ], [ = 0

1. f è costante in <

2. f non è costante, )

= min = ( ∈ [, ] punto di minimo

1 1

[,] )

= Max = ( ∈ [, ] punto di Massimo

2 1

[,] ) )

= = , = ( = () = () = ( = , = <

Se accadesse che e si avrebbe: mentre

1 2 1 2

], [

Necessariamente almeno uno tra e è in

1 2 ′ ( )

∈ ], [, = 0

Per fissare le idee, supponiamo proviamo

1 1

)

( +ℎ)−(

1 1

ℎ ≠ 0: ⟶ ′( ) ], [

che esiste perché f è derivabile in

ℎ→0 1

ℎ ) )

( +ℎ)−( ( +ℎ)−(

′

1 1 1 1

( )

ℎ > 0: ≥0 = lim ≥0

1 ′ ( )

= 0

ℎ ℎ

+

ℎ→0 1

) )

( +ℎ)−( ( +ℎ)−(

′

1 1 1 1

( )

ℎ < 0: ≤0 = lim ≤0

1 −

ℎ ℎ

ℎ→0

Teorema di Lagrange

: [, ] → ], [,

Sia continua e derivabile in allora:

()−()

′ ()

∃ ∈ ], [ =

tale che −

Dimostrazione: ()−()

(, ()) (, ()) = () + ( − )

La retta passante per e ha equazione: −

()−() (

() = () − [() + − )] , ∈ [, ]

Introduciamo −

Si deve applicare a g il Teorema di Rolle: ()−()

′ ′

() ()

[, ] ], [ = −

g è continua in e derivabile in e −

() = () − () = 0

() − () (

() = () − () − − ) = 0

− ′ ()

() = () = 0, ∃ ∈ ], [ = 0

per il Teorema di Rolle: tale che

() − () () − ()

′ ′ ′

() () ()

0 = = − ⟹ =

− −

Teorema di Fermat ′ ( )

: [, ] → ∈ ], [ = 0

Sia derivabile e punto di minimo relativo o di Massimo relativo per f, allora:

0 0

Dimostrazione:

Supponiamo punto di minimo relativo per f

0 ≥ 0 >

0

()−( )

0

) [,

∃ : () ≥ ( ∀ ∈ ] ∩ ≠ :

intorno di 0 0 0 − 0 ≤ 0 <

() − ( ) 0

0

( )

′ = lim ⟹ ′( ) ≥ 0

+ 0 0

−

+

→ 0

0 ′ ( )

= 0

0

() − ( )

0

( )

′ = lim ⟹ ′( ) ≤ 0

− 0 0

−

−

→ 0 0