Dimostrazioni Analisi I

DIMOSTRAZIONI ANALISI I

CAPITOLO 1. I NUMERI REALI. x,

Due insiemi contigui hanno uno ed un solo elemento di separazione, cioè un numero

Ø " "bÎB, £ x £

tale che aÎA a b.

DIMOSTRAZIONE:

Consideriamo A limitato superiormente e B limitato inferiormente. Esistono dunque

due numeri reali L ed M, tali che L = supA e M = infB.

Se L >M, risulta che a’ > b’, e ciò contraddice l’ipotesi 1 degli insiemi contigui,

o £ ³

Se L < M dato che a L e b M, la distanza tra un qualunque numero di B e un

o qualunque numero di A sarebbe maggiore o uguale ad M – L e dunque, scelto

e < M–L, la proprietà 2 degli insiemi contigui non sarebbe verificata.

x

Deve essere necessariamente L = M. Questo numero è di separazione tra A e

o x

B, dato che ogni numero di A è minore o uguale dell’estremo inferiore ed ogni

x.

numero di B è maggiore o uguale dell’estremo inferiore

x è l’unico elemento di separazione, Infatti, se esistessero due distinti elementi

o x(1) x(2), x(1) x(2),

di separazione e con < la distanza tra gli elementi di A e di

x(2) x(1)

B non sarebbe minore di – e dunque risulterebbe contraddetta

l’ipotesi 2 degli insiemi contigui.

I numeri razionali hanno una rappresentazione decimale finita o periodica.

Ø DIMOSTRAZIONE:

Si considera un numero reale x. Se questo non è intero, allora è compreso tra due

numeri interi consecutivi; in generale, dunque, esiste Y ∈ ℤ ]Y^_ `ℎ_

Z

Y ≤ c ≤ Y + 1.

Z d

L’intervallo individuato può essere suddiviso in 10 parti uguali. Se x non è uno dei

punti della suddivisione, allora si trova tra due di questi consecutivi:

Y Y + 1

g g

Y + ≤ c < Y + h_i jk lhhli]jkl Y ∈ 0,1, … ,9

d d g

10 10

Possiamo poi suddividere ulteriormente questo nuovo intervallo in 10 parti uguali e

continuare il procedimento. Se dopo un numero finito di passi x coincide con uno dei

punti di suddivisione, allora è un numero finito decimale. In caso contrario il

procedimento continua indefinitamente, generando un numero intero a ed un insieme

d

infinito di naturali a ∈ 0,1, … ,9 . In questo caso diciamo che x ha una

g

rappresentazione decimale infinita x = a , a , … , a … Riassumendo le due possibilità

d g o

possiamo affermare che ogni numero reale ha una rappresentazione decimale finita o

infinita.

Al passo n-esimo, x verifica le disuguaglianze

a a a a 1

g o g o

a + + ⋯ + ≤ x < a + + ⋯+ +

d d

o o o

10 10 10 10 10

Queste forniscono due approssimazioni di x con un numero decimale finito, una per

difetto e l’altra per eccesso; in entrambi i casi l’errore nell’approssimazione è minore di

ro

10 .

Prendendo n sufficientemente grande, possiamo rendere l’errore minimo di una

qualunque prefissata quantità positiva ε.

CAPITOLO 2. I NUMERI COMPLESSI.

Ø Dati il numero complesso z e il numero n intero positivo, si dice radice n-esima di z

v

ogni numero w tale che u = w.

DIMOSTRAZIONE: z{

x = i cos y + isen y = i_ ; | = } cos ~ + isen ~

| = x ÄjÅkÇÅ } `l}~ + Å}_k~ = i(`l}y + Å}_ky)

Applicando la formula di De Moivre:

} `l} k~ + Å}_k k~ = i (`l}y + Å}_ky)

Dal confronto dei due numeri, ricaviamo un sistema: Ö

}= i

} = i y + 2ÉÑ

k~ = y + 2ÉÑ ~= `lk É Ü ℤ

k

Le radici sono n distinti numeri complessi, che si possono ottenere attribuendo a k

tutti i valori interi compresi tra 0 e (n-1). {àâäã

z

Ö i _

TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA. Sia P(x) un polinomio di grado n a

Ø v vrë

coefficienti complessi. . Se S(X) è un

é è = ê è + ê è + ⋯ + ê è + ê

v vrë ë í

secondo polinomio, diciamo che P(x) è divisibile per S(x) se il resto della divisione di P

per S è nullo, cioè se esiste un polinomio Q(x) tale che:

P(x) = S(x)Q(x) ∀ è ï ℝ. é è è óòôòöòõòúù ûùü è − ° ⇒ é ° = í.

DIMOSTRAZIONE:

P(x) = Q(x) (x − α) + r ( Q(x) polinomio di grado (n-1) e r resto)

Se P(x) è divisibile per x − α, allora r = 0. E ciò accade se e solo se P(α) = 0.

Se P(x) ha una radice a1, allora:

§ c = c − y • c ¶_ Yk`ℎ_ • c ℎY jkY iYÇÅ`_ Y

g â

§ c = c − y c − y ¶ c `lk ¶ c hl^ÅklßÅl ÇÅ ®iYÇl (k − 2)

g â

©Åh_]_kÇl Å^ hil`_ÇÅß_k]l § c = ` c − y c − y … c − y

g â

`lk ` `l_™™Å`Å_k]_ Ç_^^Y hl]_kxY ÇÅ ®iYÇl ßY}}Åßl Åk §(c)

´ ´

¶_ ^_ iYÇÅ`Å k klk }lkl ÇÅ}]Åk]_: § c = ` c − ~ … c − ~

¨ Æ

g ≠

`lk ß ßl^]_h^Å`Å]à _ ~ iYÇÅ`Å ÇÅ}]Åk]_ Ç_^ hl^ÅklßÅl.

≠ ≠

Se ~ è una radice di molteplicità ß , equivale che il polinomio è divisibile per

z z

´ ´

c − ~ , ma non per c − ~ .

Ø Ø∞¨

z z a

Per i polinomi a coefficienti reali, vale: se è una radice complessa di un polinomio a

coefficienti reali, anche y lo è.

Utilizzando le proprietà dei complessi e ricordando che i coefficienti del polinomio

sono reali, si ottiene: § y = § y = 0. ±k™Y]]Å

ä ä ä ä

§ y = y Y = Y y = Y y = Y y = §(y)

ä ä ä ä

ä≤d ä≤Z ä≤d ä≤d

Pertanto se nella scomposizione di un polinomio deve comparire (x − α), deve

a,

comparire anche (x − y). Posto a+ib = risulta: â â

x − α x − y = c − y + ≥

hl^ÅklßÅ ÇÅ hiÅßl ®iYÇl Y `l_™™Å`Å_k]Å `lßh^_}}Å `Yßhl `lßh^_}}l

hiÅßl

hl^ÅklßÅ Y `l_™™Å`Å_k]Å i_Y^Å ÇÅ ®iYÇl Y ∆< 0 `Yßhl i_Y^_

}_`lkÇl

CAPITOLO 3. LIMITI. ®

UNICITÀ DEL LIMITE. Se per x la funzione ha limite, questo è unico.

è

Ø ∑

DIMOSTRAZIONE:

Suppongo per assurdo che L¹M. Prendo allora un intorno di L e un intorno di M in

modo che siano disgiunti. Per la definizione di limite, ci troviamo ne caso in cui ci sono

due intorni di x V’ e V’’ tali che:

∏ Ω

∀ c ∈ ∫ ∩ º − c ™ c Ü æ(ø)

d

ΩΩ

∀ c ∈ ∫ ∩ º − c ™ c Ü æ(¿)

d ℎY:

Sia V = V’ +V’’. V è ancora un intorno di x _ }Å

∏

∀ c ∈ ∫ ∩ º − c ™ c Ü æ(¿) ∩ æ(ø)

d

Ciò è assurdo dato che abbiamo ipotizzato che i due intorni fossero disgiunti.

®

PERMANENZA DEL SEGNO. Se per x il limite di f(x) è diverso da zero, la funzione

è

Ø ∑

ha localmente lo stesso segno del limite, escluso al più nel punto . Per localmente i

è

∑

intendono tutti i punti del dominio di f(x) che stanno in un intorno del punto

considerato.

DIMOSTRAZIONE:

Essendo L>0, possiamo prende un intorno di L formato da numeri interi positivi.

Per la definizione di limite, la funzione apparterrà all’intorno di L, che essendo

positivo, renderà la funzione positiva. ®

PASSAGGIO AL LIITE DI UNA DISUGUAGLIANZA. Se per x f(x) ha limite L e se

è

Ø ∑

³0.

localmente risulta f(x)>0, allora L

DIMOSTRAZIONE:

Ragionando per assurdo, se fosse L<0, per il teorema della permanenza del segno,

sarebbe anche f(x) <0. Ciò contraddice le ipotesi del teorema.

TEOREMA DEL CONFRONTO. Date tre funzioni g(x), f(x) e h(x) tali che

Ø ® ®

e per per x g(x), h(x) L. Allora:

ú∑¬êú√ùvƒù ≈ è ≤ ∆ è ≤ «(è) è

∑

® ®

per x anche f(x) L.

è

∑

DIMOSTRAZIONE: e;

Per la definizione di limite, fissato arbitrariamente un intorno di L (L – L +e), esiste

un intorno V di c tale che ∀ c ∈ ∫ ∩ º − c risulta

Z d

e £ £ e £ £

L – g(x) L +e L – h(x) L +e. Per le ipotesi fatte, risulta anche

e £ £

che ∀ c ∈ ∫ ∩ º − c ; L – f(x) L +e.

d

RESTRINZIONI. Sia B un sottoinsieme del dominio A di una funzione f e sia un punto

è

Ø ∑

di accumulazione per entrambi gli insiemi. Allora:

úò√ ∆ è = … ⇒ úò√ ∆ è = …, èï .

è → è è→è

∑ ∑

DIMOSTRAZIONE:

Dalla definizione di limite: Ω

∀ æ ø ∃ º c : ∀ c ∈ ∫ ∩ º − c ™ c Ü æ(ø). Dato che B è un sottoinsieme di A:

Z d

Ω

∀ æ ø ∃ º c : ∀ c ∈ Ã ∩ º − c ™ c Ü æ ø . Ciò prova l’affermazione dato che

Z d Ω

essendo c un punto di accumulazione anche per B, l’insieme à ∩ º − c non è

d d

vuoto.

LIMITI DI FUNZIONI MONOTONE. Sia f una funzione monotona definita in un intorno

Ø destro U+ o sinistro U– di . Allora:

è

∑

r

• ¶_ ™ è `i_}`_k]_ Åk æ , _}Å}]_ lim ™ c = sup ™(c)

Œ

Õ→d

à

• ¶_ ™ è `i_}`_k]_ Åk æ , _}Å}]_ lim ™ c = inf ™(c)

∞

Õ→d

r

• ¶_ ™ è Ç_`i_}`_k]_ Åk æ , _}Å}]_ lim ™ c = inf ™(c)

Œ

Õ→d

à

• ¶_ ™ è Ç_`i_}`_k]_ Åk æ , _}Å}]_ lim ™ c = sup ™ c

∞

Õ→d

DIMOSTRAZIONE:

• Supponiamo che sup f(x) = L (reale). Per definizione:

r

™ c ≤ ø ∀ c Ü æ

r

∀œ > 0 ∃ c ∈ æ : ™ c > ø − œ

Dato che f è crescente, nell’intorno sinistro (c, c) si ha ™ c ≥ ™ c e dunque

e

anche L – <f(x) < L +e. (definizione di limite sinistro uguale ad L).

• Se sup f(x) = +¥ per definizione r

∀ ¿ > 0 ∃ cÜ æ : ™ c > ¿.

Dato che f è crescente, nell’intorno sinistro si ha f(x) > M.

CAMBIAMENTO DI VARIABILE NEL CALCOLO DEI LIMITI. Data una funzione composta

Ø in modo da dare senso alla composizione:

∆ — è ¬∑v —: → ℝ ù ∆: “ → ℝ, — è ⊂ “,

• úò√ — è = …

è→è ∑

• — è ≠ … ú∑¬êú√ùvƒù ûùü è ≠ è

∑

• úò√ ∆ ƒ = ’

ƒ →…

Allora úò√ ∆ — è =’

è→è ∑

DIMOSTRAZIONE:

1. Preso arbitrariamente un intorno U(M)

2. Possiamo trovare un intorno W(L) tale che

3. Per ogni t di A che sta in W, eccetto al più L, f(t) sta in U

4. In corrispondenza dell’intorno W(L) trovato al passo 2

5. Possiamo trovare un intorno V(c ) tale che

d

6. Per ogni x di B che sta in V, eccetto al più x , φ x sta in W.

d

Dall’ipotesi 2 sappiamo che φ x ≠ L e dunque possiamo precisare che

φ x ϵ W L − L . Per quanto trovato nella prima parte, possiamo

concludere

∀ c ∈ Ã ∩ º − c ™ φ x Ü æ ¿ .

d

OPERAZIONI CON I LIMITI. Siano f(x) e g(x) due funzioni dotate di limite finito per

Ø ® ®L ®M.

x , f(x) e g(x)

è

∑

DIMOSTRAZIONE:

• e>0,

® Fissato per ipotesi esiste un intorno di c , escluso al

f(x) + g(x) L+M. d

più c , in cui vale:

d œ œ

™ c −ø < ® c −¿ <

2 2

In questo stesso intorno vale:

™ c + ® c − (ø + ¿) ≤ ™ c − ø + ® c − ¿ < œ

• e>0,

® Fissato per ipotesi, esiste un intorno di c , escluso al più c , in

|f(x)| |L|. d d

cui vale: |f(x) –L| <e. Utilizzando la maggiorazione ||f(x)|–|L|| ≤ |f(x)–L|:

||f(x)|–|L|| <e.

• ® Per ipotesi risulta localmente

c f(x) c L. œ

™ c −ø < ÇjkÄj_ ` ™ c − `ø = ` ™ c − ø < œ

|`|

• ®

® Una funzione che per x x , ha limite reale, è localmente

f(x)g(x) LM. ∏ e=1,

limitata. Dalla definizione di limite, scegliendo |f(x)–L| <1.

Localmente si deduce che |f(x)|–|L| <1, quindi |f(x)|<1+|L|:

™ c ® c − ø¿ = ™ c ® c − ø¿ + ™ c ¿ − ™ c ¿

≤ ™ c ® c − ™ c ¿ + −ø¿ + ™ c ¿

= ™ c ® c −¿ + ¿ ™ c −ø

≤ É ® c − ¿ + ¿ ™ c − ø ^l`Y^ß_k]_.

Se c>k e c>|M| allora localmente: œ œ

™ c ® c − ø¿ ≤ ` h_i Åhl]_}Å ™ c − ø < _ ® c −¿ <

2` 2`

ÄjÅkÇÅ ™ c ® c − ø¿ < œ

• ®

® Basta far vedere che 1/g(x) 1/M, dopo di che, si fa come

f(x)/g(x) L/M.

sopra, ponendo œ= |M|/2. ¿ ¿ 3¿

® c − ¿ ≤ ® c −¿ < ÇY `jÅ <® c <

2 2 2

¿

Åk hYi]Å`l^Yi_ ® c > 2

Si ha quindi: ‡

g g fi Õ rfl â ·fl

− = < ® c − ¿ Y^ hl}]l ÇÅ œ si prende ,

‡

fi Õ fl fi Õ fl fl â

e si ottiene

1 1

− <œ

® c ¿

IL NUMERO DI NEPERO COME LIMITE DI UNA SUCCESSIONE CRESCENTE E LIMITATA

Ø DIMOSTRAZIONE:

1

x = 1 + `i_}`_k]_;

k

1 1 k k − 1 … (k − É − 1 ) 1

k

1+ = =2+

É ä ä

k k k É!

ä≤d ä≤â

1 2 É−1 1

1− 1− … 1−

=2+ k k k É!

ä≤â

Se sostituisco n con (n+1), ognuno dei termini della somma aumenta il proprio valore,

aumentando cosi il valore della successione.

1 1

1+ < < _ x }j``_}}Ålk_ `i_}`_k]_ _ ^ÅßÅ]Y]Y }jh_iÅliß_k]_

k É!

ä≤d

x £

Ammette limite e, Per n>m si deduce:

1 1 2 É−1 1

1+ >2+ 1− 1− … 1−

k k k k É!

ä≤â

Passando al limite rispetto ad n, si ottiene ´ 1

„ ≥ É!

ä≤d

x £ x

Passando al limite rispetto ad m, si trova che e, e dunque = e.

LIMITI NOTEVOLI.

Ø DIMOSTRAZIONE: è

ë

• ‰ÂÊ ë + = ù. Per ogni x>1indichiamo con n la sua parte intera, cioè il più

è

è→àÁ

grade numero naturale che non supera x. 1 1 1

k ≤ c ≤ k + 1; < ≤

k+1 c k

Õ àg àg

1 1 1 1 1

1+ < 1+ < 1+ < 1+ < 1+

k+1 c c c k

Õ àg

1 1 1

1+ ≤ 1+ < 1+

k+1 c k

§_i c → +∞ Yk`ℎ_ k → +∞. §lÅ`ℎè

àg

1 1 1

1+ = 1+ 1+ →_

k k k

rg

1 1 1

1+ = 1+ 1+ →_

k+1 k+1 k+1

Per il teorema del confronto: Õ

1

1+ →_

c

è

ë

• ‰ÂÊ ë + = ù. Posto t = –x ci riconduciamo a t→ +∞. Ponendo t-1=z

è

è→rÁ rÈ È Èrg

È

1 ] 1 1 1

1− = = 1+ = 1− 1+

] ]−1 ]−1 ]−1 ]−1

ë

• ‰ÂÊ ë + è = ù. Poniamo t = 1/x. Ottenendo:

è

è→í g Ω

lim 1 + ] = _. ÎY `jÅ ^ Y}}_i]l.

È

Õ→d±

‰ÏÌ (ëàè) ë úv(ëàè)

• ê

‰ÂÊ = ‰ÂÊ = ë. Dato che

è ú∑≈ê è

è→í è→í

log (1 + c)

Ó gàÕ

=