35 Dimostrazioni Analisi 1

Soma della Progressione Geometrica x Induzione

∑_k=0^m 9^k = (1 - 9^m+1) / (1 - 9)

x induzione verifico che sia vera al passo zero P(0) e poi dimostro vera anche al passo m+1 P(m+1)

P(0)

∑_k=0⁰ 9⁰ = (1 - 9) / (1 - 9)

↓

1 = 1 ok vera al P(0)

vera anche al passo (m+1) sarà vera per ogni m a cui abbiamo dimostrato la formula

P(m+1)

∑_k=0^m+1 9^k = (∑_k=0^m 9^k + 9^m+1)

uso ipotesi induttiva :

∑_k=0^m 9^k = (1 - 9^m+1) / (1 - 9)

= (1 - 9^m+2) / (1 - 9)

ok vera! dimostrato la tesi!

DISUGUAGLIANZA DI BERNOULLI X INDUZIONE

(1+x)^m ≥ 1+mx

∀m ∈ ℕ ∀x ∈ (-1, +∞)

(1+x)¹ ≥ 1+x → 1+x ≥ 1+x VERA. LA DISUGUAGLIANZA È VERA AL PASSO BASE. PER m=1

ALLORA (1+x)^m ≥ 1+mx VERA PER DIMOSTRARE VERA ALCUNE

(1-x)^m ≥ 1+(m+1)x

IP: (1+x)^m ≥ 1+mx

TS: (1+x)^m+1 ≥ 1+(m+1)x

(1+x)^m+1=(1+x)^m(1+x) CHE EQUIVALE AL PRIMO TERMINE DELL'IPOTESI MOLTIPLICATO PER (1+x)

CONSIDERO (1+x)>0 ALTRIMENTI CAMBIA IL VERSO DELLA DISUGUAGLIANZA

ALLORA x > -1 → VA DISUGUAGLIANZA VERA ∀x ∈ (-1, ∞)

PER IPOTESI UGUALE STO CHE (1+x)^m ≥ 1+mx

ALLORA (1+x)^m(1+x) ≥ (1+mx)(1+x)

DATO CHE (1+mx)(1+x) = 1+x+mx+mx² = 1+x(1+m)+mx²

ED È QUÌ MAGGIORE NEL SECONDO TERMINE DELL'IPOTESI, IN QUANTO È IDENTICO CON L'AUMENTO DI W > 0 V x mx²

DATO CHE (1+x)^m = 1+x(m+1)+mx² ≥ 1+x(m+1)

ALLORA (1+x)^m ≥ 1+x(m+1) HO DIMOSTRATO LA TESI (O CARTA DISUGUAGLIANZA)

Cardinalità nell'insieme delle parti

A ∈ U insieme la su cardinalità è 2^m

A = {∅, x, y, z, ..., -x, -y, -z}

Θ_(x) = (^M₀) + (^M₁) + ... + (^M_M) = ^∑_k=0^m (^m_k) ⋅ k ⋅ 1^m-k = (1 + 1)^m = 2^m

Con m=3: (³₀) + (³₁) + (³₂) + (³₃) = ^3!/_3!0! + ^3!/_2!1! + ^3!/_1!2! + ^3!/_3!0!

= 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

I formula di de Moivre

"Il prodotto di 2 n° complessi è al prodotto dei loro moduli e cos somma dei loro argomenti"

z₁ ⋅ z₂ = [ρ₁ (cos Θ₁ + i sin Θ₁)] ⋅ [ρ₂ (cos Θ₂ + i sin Θ₂)]

= ρ₁ ⋅ ρ₂ [cos Θ₁ cos Θ₂ - i sin Θ₁ sin Θ₂ + i (cos₁ sin₂ + cos₂ sin₁)]

Formula trigonometrici (cos (Θ₁ + Θ₂), sin (Θ₁ + Θ₂))

= ρ₁ ⋅ ρ₂ [cos (Θ₁ + Θ₂) + i ⋅ sin (Θ₁ + Θ₂)]

Modulo → Prodotto moduliArgomento → somma argomenti

Proprietà di Asintotico e o Piccolo

1. o(g) + o(g) = o(g)

   f₁ = o(g)   f₂ = o(g)

   f₁ = g⋅h₁   f₂ = g⋅h₂

   f₁ + f₂ = g (h₁ + h₂) = o(g)

2. o(kg) = k o(g) = o(g)

   f = o(g)   f = g⋅h   h → 0

   f = o(kg)   f = kg h^*   h^* → 0   h^* = h/k

   kf = k o(g) = k⋅g⋅h   ⟹ o(g)

3. [o(g)]^α = o(g^α)   α > 0

   f = o(g)   f = g⋅h   h → 0   α > 0

   f^α = g^α⋅h^α = o(g^α)

Cardinalità ℝ e ℝ²

Per dimostrare che hanno la stessa cardinalità, devo trovare una corrispondenza biunivoca per cui ad ogni elemento di ℝ² corrisponde un solo elemento di ℝ².

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Considero un punto P ∈ ℝ nel quadrato (0,1) biunivoco in forma numerica come segue:

P = 0, a₁ a₂ a₃ ... | a₁ a₂ a₃ ..., a₁ ...

Due a^m con m pari e uno dispari.

Per far corrispondere al punto P nel segmento un punto Q nell'area, siano le coordinate di Q come segue:

Q = ( xᶜ = 0, a₁ a₃ a₅ ..., yᵣ = 0, a₂ a₄ a₆ ...)

Dove la coordina di xq è data da tutti aⁿ dispari di P scritto dopo 0,0, e la coordina di y è data da tutti i numeri pari di P scritto dopo 0,0.

Se verifico che questa funzione che lega i due elementi è una biunivoca →

Se c’è un altro V P ≠ P* f(P) ≠ f(P*) = Q ≠ Q*

Ipotizziamo per assurdo Q = Q* allora P* anche P ⇔ devo la stessa successione di numeri pari e dispari di P per cui P* = P da cui regolo → limitazione in campo f(P) = f(P*)

Se è solo se p* = p sce il ψ µ λ secondo

Essendo (a_n) la successione monotona decrescente esiste

Λ ≤ a_m ≤ a_n

per cui a_n < a_m0 < Λ + ε

Abbiamo cioé dimostrato che ∀m

Λ - ε < a_n < Λ + ε

per cui la successione tende al suo inf Λ

lim a_n = inf {ξ_n}

n → ∞

Successione che definisce il numero di Eulero:

a_n = (1 + 1/m)^m

Per la convergenza della successione dimostro

1. Monotonia crescente
2. Limitatezza

1) Dimostrare la monotonia basta dimostrare che

a_n ≤ a_m con m = n+1

e che a_m ≥ a_n-1 per cui

&frac{a_m}{a_n} ≥ 1

a_n/a_n-1 = (1 + 1/m)^m/(1 + 1/m)^m+1 = (1 + 1/m)^m/((1 + 1/m)^m(m/m-1)(m/m-1)^-1

Teorema di Weierstrass

f: A ⊆ &Reals; → &Reals;

1. f è continua
2. A è compatto

Chiò limitato [a,b]

L’immagine assume un valore max e un valore min.

Essendo f continua in A, essa assume un valore max ogni punto nell’intervallo.

Essendo A compatto, A &neigh; compatto ⇒ ∀x ∈ A

f(x_m) ≤ f(x) ≤ f(x_M) m ≤ f(x) ≤ M

Essendo A compatto la funzione assume valori sopra minimi u massimo e sempre maggiori di u minimo nell'intravallo

Perciò esistono e max e u min di f(x) nell’intravallo

= f(x) · g'(x) + g(x) · f'(x)

f(x₀+h₁) → f(x)

h₁→0

• DERIVATA DEL RAPPORTO

[_f(x)^g(x)]' =

(f'·g - f·g') / g²(x)

= [f(x) · 1_g(x)]'

f'(x) 1_g(x) + f(x) [1_g(x)]' =

(f(x₀+h₁) - f(x)) / h₁ · 1_g(x) + f(x) · -g'(x) / g²(x)

= f(x₀+h₁) - f(x)_h1 / g_h(x) -

(f(x) · (g(x₀+h₁) - g(x)) / h₁) / g² (x)

= (f(x₀+h₁) - f(x₀) / h₁) g(x) - f(x)

(g(x₀+h₁) - g(x₀)) / h₁) / g²(x)

= f'(x) · g(x) - f' g · g'(x)