35 Dimostrazioni Analisi 1

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Author: pietro.ghilotti.1

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35 dimostrazioni di teoremi di analisi matematica 1 riassunte e schematizzate in 60 pagine di pdf. Utilissime per passare l'esame di analisi 1.elenco le principali: Bernulli, Newton, successioni …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Vegni Federico Mario Giovanni

Università Politecnico di Milano

A.A. 2017-2018

60 pagine

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Estratto del documento

SOMA DELLA PROGRESSIONE GEOMETRICA X INDUZIONE

^mΣ_k=0 9^k = ^{1-9^m+1}/_1-9

X INDUZIONE VERIFICO CHE SIA VERA AL PASSO ZERO P(0)E POI DIMOSTRO VERA ANCHE AL PASSO m+1 [P(m+1)]

P(0) ⁰Σ_k=0 9⁰ = ^1-9/1-9

1 = 1 OK VERA AL P(0) DIMOSTRO X m+1SE VERA ANCHE AL PASSO (m+1) SARA' VERA PER QUALUNQUE mQUINDI ABBIAMO DIMOSTRATO LA FORMULA

P(m+1)

^m+1Σ_k=0 9^k = ^m Σ_k=0 9^k + 9^m+1

= ^m Σ_k=0 9^k + 9^m+1

USO IPOTESI INDUZIVA: ^m Σ_k=0 9^k = ^{1-9^m+1}/1-9

^m+1Σ_k=0 9^k = ^{1-9^m+1}/1-9 + 9^m+1

= ^{1-9^m+1 + 9^m+1 -9^m+2}/1-9

^m+1Σ_k=0 9^k = ^{1-9^m+2}/1-9

OK VERA! DIMOSTRATO DA TESI!

SOMA DELLA PROGRESSIONE GEOMETRICA X INDUZIONE

_∑^m_k=0 9^k = ^{1 - 9^m+1}/_{1 - 9}

x INDUZIONE VEDIAMO CHE SIA VERA AL PASSO ZERO P(0) E POI DIMOSTRO VERA ANCHE AL PASSO m+1 P(m+1)

P(0)

_∑⁰_k=0 9⁰ = ^{1 - 9}/_{1 - 9}

↓

1 = 1 OK VERA AL P(0) DIMOSTRATO X m+1

VEDIAMO VERA ANCHE AL PASSO (m+1) SIA VERA PER QUEL m E QUINDI ABBIAMO DIMOSTRATO LA FORMULA

P(m+1)

_∑^m+1_k=0 9^k = _∑^m_k=0 9^k + 9^m+1

USO IPOTESI INDUZIONE:

_∑^m_k=0 9^k = ^{1 - 9^m+1}/_{1 - 9}

= ^{1 - 9^m+1}/_{1 - 9} + 9^m+1

= ^{1 - 9^m+1}/_{1 - 9} + 9^m+1 = ^{1 - 9^m+1 + 9^m+1}/_{1 - 9}

/>_∑^m+1_k=0 9^k = ^{1 - 9^m+2}/_{1 - 9}

OK VERA! DIMOSTRATO LA TESI!

Disuguaglianza di Bernoulli per induzione

(1+x)^m ≥ 1+mx ∀m ∈ IN ∀x ∈ (-1,+∞)

P(1) (1+x)¹ = 1+x → 1+x ≥ 1+x ∀ x ∈ R la disuguaglianza è vera ac passo base per m=1

Allora ipotizzo (1+x)^m ≥ 1+mx vera per dimostrare vera alcune

(1+x)^m+1 ≥ 1^{+ (m+1)}x

IP: (1+x)^m ≥ 1+mx Ts: (1+x)^m+1 ≥ 1+(m+1)x

Vedo che (1+x)^m+1 = (1+x)^m(1+x) che equivale al primo termine

dell'ipotesi moltiplicato per (1+x)

Considero (1+x) > 0 altrimenti cambia il verso della disuguaglianza

Allora x > -1 → va disuguaglianza vera ∀ x ∈ (-1,+∞)

Per l'ipotesi induttiva so che (1+x)^m ≥ 1+mx

Allora (1+x)^m(1+x) ≥ (1+mx)(1+x)

Dato che (1+mx)(1+x) = 1+x+mx+mx² = 1+(1+m)x+mx²

ed è qui maggiore, nel secondo termine dell'ipotesi, in quanto

è indicato con ∀ alcuni di m vale > 0 ∀ x mx²

Dato che (1+x)^m ≥ 1+x(m+1) + mx² ≥ 1+x(M1)

Allora (1+x)^m ≥ 1+x(m+1) ho dimostrato la tesi

(o catena disuguaglianza).

COEFFICIENTI BINOMIALI E FORMULA DI NEWTON

C_m,k = (^m⁄_k) = ^m!⁄_k!(n-k)! 0 ≤ k ≤ m

(a+b)^m = ∑^m_k=0 (^m⁄_k) a^k b^m-k

(2+3)² = ∑²_k=0 (²⁄_k) a^k b^2-k

(2+3)² = (²⁄₀) a⁰ b² + (²⁄₁) a¹ b¹ + (²⁄₂) a² b⁰

= (²⁄₀) . 9 + (²⁄₁) . 2 . 3 + (²⁄₂) . 4 . 1

(²⁄₀)

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