Dimostrazioni algebra (Bottacin)

SOTTOSPAZIO:

Un sottosp. vettoriale W di V, è un sott. insieme non vuoto W ⊆ V t.c. ammetta operazioni di somma e prodotto per uno scalare di V.

È inoltre definito come sp. vettoriale sul campo K se e solo se è esprimibile come combinazione lineare a coeff. in K.

DIM

• ∀ w₁, w₂ ∈ W
• w₁ + w₂ ∈ V
• w₁ + w₂ ∈ W

• ∀ λ ∈ R, w ∈ W
• λw ∈ V
• λw ∈ W

O ∈ W

→ sì perché W sottosp. vettoriale

EQUIVALENTEMENTE

• ∀ λ₁, λ₂ ∈ K
• ∀ w₁, w₂ ∈ W
• λ₁w₁ + λ₂w₂ ∈ W

Un∩W:

Siano U, W sottosp. di V

U∩W = {v : v∈U e v∈W}

è un sottosp. vettoriale

DIM

v₁, v₂ ∈ U∩W ⇔

• v₁∈U e v₁∈W
• v₂∈U e v₂∈W

v₁+v₂ ∈ U∩W?

sì perché U, W chiusi all'operazione di somma

v₁+v₂ ∈ U e v₁+v₂∈W

λ∈ℝ

v ∈ U∩W ⇔ v∈U e v∈W

λv ∈ U∩W ⇔ λv∈U e λv∈W

sì perché chiusi al prodotto per uno scalare

=> bisogna verificare che u₁, ..., u_s e w₁, ..., w_t siano L.I.

λv₁ + ... + λv_r + d₁u₁ + ... + d_su_s + β₁w₁ + ... β_tw_t = 0

λv₁ + ... + d₁u₁ + ... + d_su_s = -β₁w₁ - ... - β_tw_t

essendo uguali appartengono a U ∩ W

si ha d₁ = d₂ ... d_s = 0

(∀ ξ ∈ U)

β = β₂ ... = β_t = 0

=> λv₁ + ... + λv_r = 0 => λ = ... = λr = 0 L.I.

=> {v₁, ... v_r, u₁, ... u_s, w₁, ... w_t} base di U + W

=> dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U ∩ W)

r + s + t   r + s   r + t   r

ROUCHÉ-CAPELLI:

Sia S: Ax = B un sistema di eqz. lineari in n incognite. S ammette soluzione rk(A) = rk(A|B). Sia r il rango comune, allora

• Se r = n il sistema ammette un'unica sol.
• Se r < n si hanno infinite soluzioni che dipendono da n-r parametri

DIM

B ∈ Im(f)

Im(f) è generato dalle colonne di A => B è c.l. delle colonne di A

Si ha rk(A) = dim Im(f) : numero max di colonne l.i. di A

Aggiungere B non altera il raggio => rk(A) = rk(A|B)

VICEVERSA

rk(A) = rk(A|B) => B c.l. delle colonne di A

INOLTRE:

X̄ + Ker → insieme delle soluzioni

• X̄: soluzione particolare
• Ker: soluzione Ax=0̄

AUTOVALORI MATRICI ORTOGONALI

= ± 1

Sia A ortogonale : AA^T = I

e sia v autovettore : Av = λv

trasponendo

v^TA^T = λv^T

v^TA^TAv = λv^Tv

v^Tv = λ²v^Tv

=> λ² = 1 ( λ ± 1 )

U^⊥ è un sottospazio:

Siano v₁, v₂ ∈ U^⊥

=>

v₁ · u = 0

v₂ · u = 0

Allora (v₁ + v₂) · u = v₁ · u + v₂ · u = 0

=>

v₁ + v₂ ∈ U^⊥

Sia λ ∈ ℜ e v ∈ U^⊥

allora

(λv) · u = λ(v · u) = 0   ∀ u ∈ U

=>

λv ∈ U^⊥

=>

U^⊥ è sottospazio.

Teorema Spettrale

Sia V uno sp. vettoriale di V e f: V → V una fz. lineare.

Allora f è ortogonalmente diagonalizzabile, cioè ∃ una base ortonormale di V costituita dagli

autovettori di f ⇔ f è simmetrica.

Dim Supp. f ortogonalmente diagonalizzabile

• ⇒ ∃ {vi} base ortonormale, vi autovettore di f
• ⇒ f è lineare simmetrica ⇒ A(f) diagonale ⇒ è simmetrica

Supp. che ogni fz. lineare simmetrica f è ort. diagon.

Se dim V = 1 ⇒ f(vi) ∈ V ⇒ f(vi) = λvi = λ vi autovettore

Sia dim V > 1 scegliendo μ1,..., μn | base ortonormale

• ⇒ A: di f è simmetrica ⇒ ha n autovalori ∈ ℝ
• ⇒ λ(A) = λ(f) ⇒ f ha tutti gli autovalori reali

Sia λi, vi t.c. W⊥ = vi⊥ sottosp. ortogonale a vi

Dim che ∀ w ∈ W, vi · f(w) = f(vi) · w = λi vi · w = 0

⇒ f: W → W fz. lineare simmetrica

con dim W = n-1 ⇒ ∃ {w1,..., wn} costituita da autovettori di f

ponendo Wc = vi/||vi|| → base ortonormale