Dimostrazioni Analisi matematica 1

Dimostrazioni: 1^a metà semestre

Formule di De Moivre

Dati 2 numeri complessi:

z₁: ρ₁ (cosθ₁ + i senθ₁)

z₂: ρ₂ (cosθ₂ + i senθ₂)

Prodotto di 2 numeri complessi (1^a formula)

z₁z₂ = ρ₁ρ₂ [cosθ₁cosθ₂ - senθ₁senθ₂ + i (senθ₁cosθ₂ + senθ₂cosθ₁)] = ρ₁ρ₂ [cos (θ₁ + θ₂) + i sen (θ₁ + θ₂)]

Il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli. L'argomento del prodotto è la somma degli argomenti.

Divisione di 2 numeri complessi (2^a formula)

z₁/z₂ = (ρ₁(cosθ₁ + i senθ₁) / ρ₂(cosθ₂ + i senθ₂)) = (ρ₁ / ρ₂) * ((cosθ₁ + i senθ₁) * (cosθ₂ - i senθ₂)) / (cos²θ₂ + sen²θ₂) = ρ₁ / ρ₂ [cos (θ₁ - θ₂) + i sen (θ₁ - θ₂)]

Il rapporto tra 2 numeri complessi è un numero che ha come modulo il rapporto dei moduli e come argomento la differenza tra gli argomenti.

3^a Formula di De Moivre

La prima formula si generalizza per un numero qualsiasi di fattori z₁, z₂, ... z_n. Alla fine otteniamo:

z^m = ρ^m (cos(mθ) + i sen(mθ)) Se i fattori sono tutti uguali.

Dimostrazioni: IIⁱⁱ semestre

Formule di De Moivre

Dati 2 numeri complessi:

z₁ = ρ₁[cosθ₁ + isinθ₁]

z₂ = ρ₂[cosθ₂ + isinθ₂]

Prodotto di 2 numeri complessi (1^a formula)

z₁*z₂ = ρ₁*ρ₂[cosθ₁cosθ₂ - sinθ₁sinθ₂ + i(sinθ₁cosθ₂ + isinθ₂cosθ₁)]

z₁*z₂ = ρ₁*ρ₂[cos(θ₁ + θ₂) + isin(θ₁ + θ₂)]

Il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli. L'argomento del prodotto è la somma degli argomenti.

Divisione di 2 numeri complessi (2^a formula)

(^z₁/_z2) = (^{ρ₁[cosθ₁ + isinθ₁]}/_{ρ2[cosθ2 + isinθ2]}) • (^ρ₁/_ρ2) • (^{[cosθ₁ + isinθ₁]}/_{[cosθ2 - isinθ2]}) • (^{(cosθ₂ - isinθ₂)}/_{(cosθ2 - isinθ2)}) = (^ρ₁/_ρ2)[(cosθ₁cosθ₂ + sinθ₁sinθ₂) + i(sinθ₁cosθ₂ - sinθ₂cosθ₁)] = (^{cos2θ₂ + sin2θ₂})/₁ = (^ρ₁/_ρ2)[cos(θ₁ - θ₂) + isin(θ₁ - θ₂)]

Il rapporto tra 2 numeri complessi è un numero che ha come modulo il rapporto dei moduli e come argomento la differenza tra gli argomenti.

3^a formula di De Moivre

La prima formula si generalizza per un numero qualsiasi di fattori z₁, z₂ ...z_m. Alla fine otteniamo:

z^m = ρ^m[cos(mθ) + isin(mθ)] Se i fattori sono tutti uguali.

Metodo eliminazione di Gauss

Il metodo di eliminazione di Gauss è una tecnica pratica che ci permette di risolvere sistemi lineari (modo alternativo del teorema di Cramer). L'idea molto semplice è quella di procedere con una serie di operazioni elementari, ossia:

• Scambio di righe
• Dividere o moltiplicare righe per coefficiente ≠ 0
• Somma e sottrazione righe

Cercando di ridursi ad un sistema del tipo triangolare ("a scaldi") e per sostituzione metodologica trovare la soluzione. Gli elementi sulla diagonale principale sono i pivot. Se i pivot sono tutti ≠ 0, allora il sistema ha la sola soluzione. Se qualche pivot è nullo il sistema può non essere risolvibile o ammettere infinite soluzioni (se appare un sistema impossibile).

Irrazionalità di √2 e di √7

Dimostro l'irrazionalità di √2. Per assurdo ∃p e q primi tra loro tale che ^p/