Dimostrazioni Analisi matematica 1

Dimostrazioni: I° semsetre

• Formule di De Moivre

Dati 2 numeri complessi:

z₁ = p₁ [cos(θ₁) + i sen(θ₁)]

z₂ = p₂ [cos(θ₂) + i sen(θ₂)]

• Prodotto di 2 numeri complessi (1° formula)

z₁ · z₂ = p₁ · p₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i sen(θ₁ + θ₂)]

Il modulo del prodotto è il prodotto dei moduli.

L'argomento del prodotto è la somma degli argomenti.

• Divisione di 2 numeri complessi (2° formula)

^z₁/_{z2 = ^p1/p2 [cos(θ1 - θ2) + i sen(θ1 - θ2)]}

Il rapporto tra 2 numeri complessi è un numero che ha come modulo il rapporto dei moduli e come argomento la diff. tra gli argomenti.

• 3ª formula di De Moivre

La prima formula si generalizza per un num. qualsiasi di fattori z₁, z₂, ..., z_n.

Alla fine otteniamo:

z^m = p^m [cos(mθ) + i sen(mθ)] se i fattori sono tutti uguali.

Metodo Eliminazione di Gauss

Il metodo di eliminazione di Gauss è una tecnica pratica che permette di risolvere sistemi lineari (modo alternativo del Teorema di Cramer). L'idea molto semplice è quella di procedere, mediante serie di operazioni elementari, ossia:

• scambio di righe
• dividere o moltiplicare righe per coeff. ≠ 0
• sommare e sottrarre righe.

Cercando di ridursi ad un sistema del tipo triangolare ("a scalini") e per sostituzione metodiana ricavare la soluzione.

Gli elementi sulla diagonale principale sono i pivot.

Se i pivot sono tutti ≠ 0, allora il sistema ha una sola soluzione. Se qualche pivot è nullo il sistema può non essere risolvibile o ammettere infinite soluzioni (se appare x e y variabili, il sist. è imposs.).

Irrazionalità di √2 e di √7.

Per assurdo ∃ p e q primi tra loro tale che ^p/_q = √2. Risulta quindi che p² = 2q² e questo che = FALSO:

• (3-2-5) - p è PARI e q è DISPARI ⟹ 3²⋅2⋅5⁰ = 2⋅7⋅q²
• (Non può essere dato che il 2 acc. l'ugualbiro se acc. quanto in acc. membro 0)
• p è DISPARI e q è PARI ⟹ 1⁰ membro DISP. Secondo PARI
• p è DISPARI e q è DISPARI ⟹ 1⁰ membro DISP. Secondo PARI
• (Certambi PARI non sono primi tra loro).

Per assurdo ∃ p e q primi tra loro tale che ^a/_b = √7. (a², 7b²)

• a multiplo di 7 e b NO ⟹ 7² = 7 b² NO
• a NO e b b² multiplo di 7 ⟹ a² = 7⋅7⋅4 a² = 5÷10 NO
• a NO e b NO ⟹ a² = 7 b² NO

Condizione di compatibilità r(A) = r(A|b)

Se un sistema è compatibile, la soluzione dipende da:

• M = num. parametri
• m = num. colonne x
• r = rango
• t = rango r(A) - r(A|b)

Soluzione: ∞^m-r

Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali V e W

Una trasformazione è lineare se:

• È additiva se f(x₁+x₂) = f(x₁) + f(x₂) ∀x₁, x₂ ∊ V
• È omogenea di grado 1 f(αx) = αf(x) ∀α ∊ ℝ ∀x ∊ V
• ① + ② f(αx₁ + βx₂) = αf(x₁) + βf(x₂) ∀α, β ∊ ℝ x₁, x₂ ∊ V

Teorema di rappresentazione di f (tra spazi euclidei)

Siano V e W due spazi vettoriali sul corpo K di dimensione m, m e

sia f: V ⟶ W una trasformazione lineare.

Fissate 2 basi u₁, u₂...u_m e v₁, v₂...v_m in V e W, esiste un'unica

matrice A di tipo (m, m) che rappresenta f nel senso che,

se x = x₁u₁ + x₂u₂ ... f(x) = y₁v₁ + y₂v₂ ... ∀m, n all'cara:

• [_y1/y_m] = A [_x1/x_m]
• ① f è lineare ⇔ ∃A t.c. f(x) = A·x
• ② f: R^m = V ⟶ R^m
• W ~ W ~ f(x)

Tutte le trasformazioni lineari tra 2 spazi vettoriali qualsiasi

di dimensione finita, si possono rappresentare in questo modo.

Il teorema afferma quindi l'esistenza di una matrice che

rappresenta una trasf. lineare, nel senso che fissati una base

nello spazio di partenza ed una nello spazio di arrivo, riduzione

delle componenti di f(p) si ottiene moltiplicando la matrice per

il vettore delle coordinate di x.

Proprietà autovettori e autovalori

1. Se u e v sono autovettori dell'autovalore λ₀ allora µu + v è autovettore di λ₀.

   Dim. µ risolve Aµ = λ₀µ +   v risolve Av = λ₀v   ⇒   A(µ + v) = λ₀(µ + v)

2. Se u è autovettore di λ₀ allora tu è autovettore di λ₀.

   Dim. u risolve Au = λ₀u   A(tu) = λ₀(tu)

3. L'insieme degli autovettori di uno stesso autovalore è uno sottospazio vettoriale di R^m rette x₀ piani x₀.

   • Molt. geom. = dimensione dell’autospazio associato
   • Molt. algebrica = n° volte con cui l’autovalore appare come radice della p. caratteristica.

   - Chiamalo semplice un autovalore con molt. alg. = 1

   - Chiamalo regolare un autovalore con molt. geom. = molt. alg.

4. (No dim) Si dimostra che la molt. geometrica di qualunque autovalore è:

   1 ≤ molt. geom di λ₀ ≤ molt algebrica di λ₀ ⇒ con autovalore semplice è regolare.

5. Autovettori relativi ad autovalori ≠ λ sono l.i.

   Dim. prendo due autovalori diversi λ₁ ≠ λ₂

   v = c t.c. Av = λ₁v   u = c Au = λ₂u   ⇒ {v, u} sono l.i.

   Per assurdo y = tλ (uno è multiplo dell’altro e quindi l.d.).

   Atv = λ₂tv   tλv = t tλ₂v   λ₁ = λ₂ contraddico Hp.

   tλ - λ₂)v = 0

• f ∼ g per x → x_o ⇒ ∀α (f[α] ∼ g^α per x → x_o)

DIM.

∃h(x): [f(x)]^α - [g(x) ⋅ h(x)]^α - [g(x)]^α ⋅ [h(x)]^α

H(x) = [h(x)]^α - 1 h(x) → 1

O PICCOLO

• f₁ = O(g) per x → x_o f è trascurabile rispetto a g.

Def:

∃h(x) → 0 f(x) = g(x) ⋅ h(x) oppure [f(x)][g(x)] → 0

ALGEBRA DI O PICCOLO

• O(g)_f₁ ± O(g)_f₂ = O(g)

DIM.

f₁ = g ⋅ h₁ e h₁ → 0

f₂ = g ⋅ h₂ e h₂ → 0

f₁ + f₂ = g [h₁ + h₂][H → 0]

• O(g)_f₁ - K ⋅ O(g) = O(Kg)

DIM.

f₁ = O(g)

= g ⋅ h₁ h₁ → 0

Kf₁ = g(Kh₁)

K ⋅ O(g) = O(g)

• f ⋅ O(g)_f₂ = O(f ⋅ g)

DIM. f funzione di x

f ⋅ f₁ = (f ⋅ g) ⋅ h₁ h₁ → 0

• kso O(g)_i[f^K] = O(g^k)

DIM. f_i = [g ⋅ h]^K < h^K → 0

= g^K ⋅ [h^K]