Dimostrazioni e teoremi algebra

Prodotto scalare e Ortogonalità

Teor:

V(ℝⁿ) spazio vettoriale con prodotto scalare.

A ∈ V(ℝⁿ) A ≠ 0 allora:

• 1. A⁻¹ = V(ℝⁿ)
• 3. A⁻¹ = { A, A(s)ᵀ = 0 }

Obs:

V(ℝⁿ) spazio vettoriale diviso col prodotto scalare

A ∉ V(ℝⁿ), A = 9

B ⊆ ℝ³ → β(A) = β(C) = β⁻¹(A)

A = | |β (A)ᵀ = |β(C)ᵀ = β⁻¹

=> Dato A ∈ V(ℝⁿ) per trovare A⁻¹ determino una base

B ⊆ β(A) e calcolo β⁻¹

Prop:

V(ℝⁿ) spazio vettoriale col prodotto scalare

" " V,W ∈ V(ℝⁿ) con

W • W = 0

(in ℝⁿ cop. prec. (3,4,5,6)) (3,4,1,ℝ²) | -g

Allora è settore possibile scrivere V = V₁ + V₂ dove

V₁ = vettore proiettivo a W

V₂ = vettore ortog. a W

U₂ = V

V₁ = V - V₂

V₂ = V₁ + V

W = | (V • W)

W = | (U₂ = V)

2 Coffe numeri

D) Il lungo W

D) V lungo W

PROPRIETA

1. || V || >= 0 V u V_n (R)
2. || u || = 0 <=> u = 0

1. || u, v ||
2. || u || || v ||

PROPRIETA

• || u-v || <= || u || || v || DISEGUAGLIANZA DI COUCHY - SCHWARTZ
• || u+v || <= || u ||+ || u-v || DISEGUAGLIANZA TRIANGOLARE

TEOREMA

B = { e₁... e_n } UNA BASE DI Vⁿ (R)

UNA SEQUENZA B¹ = { e₁ ¹, e₂ ¹ ... e_n ¹ } COSÌ DEFINITA

e₁¹ = e₁

e_i¹ = e_i - Σ e_j ¹ eⁱ₁ / e¹ e ¹

PROPRIETA

B = { e₁, .. e_m } BASE ORTONORMALE DI V_n (R) DI v = L-E_f

CONSIDERIAMO UN VETTORE V ЕС L. COEFF DI PROIEZIONE

DI v СU B

V = x q₁ + ... am em B_x = V е^x_i / e¹ e¹ + B_ogono

B DI ORTONORM. => 2A S в_n e_N

TEOREMA

AX S V_m (R) A ≠ 0 => V_m (R) B(A) і A у

-S м COSTR а 1 уск е_n А Т

A є V^q і Aᐟ ∈ V_m (R) => V_m (R) є Аᐟ е_A T

θ є A ме

ОЛИ A м а з в яellige di l A шanthche di l copчonnor

ПАКРАЗПАЛСIA sbie sich лекарств а(Иц)=s(A)

RE dopы definep с ед зт зуша вш х

ФД едкости dell prodotto дощерер eleccidea (case) quic еt

1 аше 2 ед до pità

осгалит adohazo prigetto -{ 1 ed до ~ в c(a) (in urise йохитфм) }

locno et dite 2 decesho

Р(T) in r(u)= і([ід тићcнес] [и R) [ад ед d{ esinincia

в T обидetti в_in N ει 2=q 1-m={it Ы рас)еред_tour) (Е X я hoм топ)^{вадашек}

Prop.

Due matrici simili hanno lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico.

Dim.

1. A, B simili → ∃ P → det (ch. p. B – x^m I)→ det B = det (P^-1AP) = det A det B
2. P_B(x) = det (B_xI_n) = det (x x

   x

   ) = det ((-1)ⁿ

   x

   (A-xIn))

   olde I_n = P_A(x) = det ((^-1) det ((A – xI_n) - x= P_B(λ)

Osserv.

Una matrice è diagonalizzabile in C sse Iⁿ(λi ) ammette una base

1. Autovettori di A

Dim.

1. A ∈ Mn(K) diagonalz. ↔ D∈ Mn(K) con det ch sis. D = i^ε cioè P_λ = A+I_x det A
2. D =

Sc&r = ...

1. Scrivo per colonne → D R (P_rp...con) T_...₀ₖ
2. Det P = 0⇔ le m colonne di P sono linearmente indipendenti→ formano una base di Ikn

Poi che ⇒ PS AP si ottiene PD

• P _{— Pλ A}
• λ = √ -1AP = A A A = A A

P^λ2