Dimostrazioni e teoremi algebra

Prodotto scalare e ortogonalità

Teorema

V(ℝ) _{spazio vettoriale con prodotto scalare} A ∈ V(ℝ), λ ∈ ℝ allora:

1. λA ∈ V(ℝ)
2. λA^* = [β(A)β(A)^*]λ

Osservazione

V(ℝ) _{spazio vettoriale finito con prodotto scalare} A ∈ V(ℝ), λ ∈ ℝB base di β(A) = β(B)^T = β(B)^T* = B^*A = ∑ β(A) = β(A)^T = β(B)^T = B^*⇒ dato A ⊆ V(ℝ) per trovare A^* determino una base B di β(A) e calcolo B^*

Proposizione

V(ℝ) _{spazio vettoriale con prodotto scalare} " " u,v ∈ V(ℝ) con w, w = 0 = 1ⁿ con pesi. (3,4,4,5,6) - (3,4,1,5,6) - 0 allora è possibile scrivere V = v₁ + v₂ dove v₂ = vettore produrrà w v₂ vettore ortog. A w V = u₁(v · w)w · w(v₂ = v) u · u₁ u₁ = v - v · w w · w

Prodotto scalare e ortogonalità

Prop

V(IR) spazio vettoriale con prodotto scalare A ∈ V(IR) A ≠ θ allora:

1. A ≠ θ ∈ V(IR)
2. A^⊥= { | ⊥(A) }

Osservazione

V(IR) spazio vettoriale finito con prodotto scalare A ∈ V(IR) A ≠ θ B basi in θ(A) θ(B) = θ(A) A = [ θ(A)]^T = [θ(B)]^T = θ^T=> dato A ∈ V(U(IR)) per trovare A^⊥ determino una base B θ(A) e calcolo θ^⊥

Prop

V(IR) spazio vettoriale con prodotto scalare "" U, W ∈ V(IR) con W: W = 0

1. 1:^° in IRⁿ cos preso (3, 4, 5, 6) (3, 4, 1, 5, 6, 7) θ = 9

Allora è vettore possibile scrivere U = U₁ + U₂ dove U₂ vettore proiezione W U₂ vettore ortogonale a W

Diagramma cerchi

Sottosiero U₂ = V U₁ = V - V:W/ W Problema del nuovo numero U nel cono di W U lungo W Scansionato con CamScanner ||u|| >= 0 V u ∈ Vⁿ (ℝ) ||u||=0 <=> u=0 ||u + v|| <= ||u|| + ||v||

Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz

||u + v|| >= ||u|| - ||v||

Disuguaglianza triangolare

{e₁,e₂, e_n} una base di Vₘⁿ (ℝ) una sequenza * = {e₁*, e₂*, ..., e_n*} così definita: e₁*=e₁ e₂* = e₂ - e₂ * e₁* _{e1* e1*} = {e₁, e_m} base ortonormale di Vₘⁿ (ℝ) con i _{= ei*} siccome , * un vettore V = il coeff univoco _{di u lungo ei} V = a₁ e₁ + ... + a_m e_m a_i = V ∈ ℝ¹ A ⊆ Vₘⁿ (ℝ), A ≠0 => ₂ₘ (ℝ) => ℧ (¹) - ∞ m c_m () + d_{cplm a} A ∈ Vₘⁿ (ℝ) Vₘⁿ (ℝ) = ℤ (A)¹ ℧A (A¹) A

Matrici di forme bilineari

Teorema

Una forma bilineare è simmetrica se e solo se la matrice associata è simmetrica.

Dimostrazione: = (∑) = ∑) = ⇔ = ^T = simmetrica

Prop

B è base di U_(uk) e sia una forma bilineare V * U = PX = (λ μ) Les matrice colonna delle componenti

Matrici ortogonali

Prop

A è matrice ortogonale ⇒ det A = ±1

Dimostrazione: (1 * det I_m = det (A · A^-1) = det (A · A^T) - det A · det TA (det A)) ⇒ det A = ±1

Prop

A ∈ Mn(uk) è ortogonale se e solo se le sue righe e colonne formano basi ortogonali non solo in Euclide R^m.^(R)

Dimostrazione: ⇐) A è ortogonale ⇒ det A ≠ 0 ⇒ le righe e colonne di A sono vettori in R^m linearmente indipendenti ⇒ formano un base

A . A m x m matrice inversa(R1 , R2 , ..., Rm)(R1 t , R2 t , ..., Rm t)(ai , a2 , ..., am)(a11 a12 ... a1m)= (a12 + ... + am2)(b1 a1 a2 ... am) =(ci , c2 , ..., cm)(c11 c12 ... c1m)(0 ... 0 1)((R1 . R2)t 0)