Dimostrazioni e teoremi algebra

Prodotto Scalare e Ortogonalità

Teor:

V(lu) sez vett con prodotto scalare

A ∈ V(lu) A = 0 allora:

1. A* = A V(lu)
2. A* = {A ∈ A ^{: ∫(A) T}}

oss.

V(lu) sez vett finiti confermato con prodotto scalare

A ∈ V(lu) A = 9

B ∋ B ∈ ∫(A) - ∫(B) = ∫(A)

A = [∫(A) ^T = ∫(B) ^T = B^T]

= Dato ∈ A ⊆ V(lu) per trovare A^-1 determino una base

B ∋ ∫(A) è eccolo è

Prop:

V(lu) sez vett con prodotto scalare “ “ U, W ∈ V(lu) con

W.W = 0

1. In R ⁿ cos preo “ (3,4, 5,0) . (3,4,5,0?) = 0.”

allora è settore possibile scrivere U = V₁ + U₂ dove

U₂ = vettore proporz a W

U₂ vettore ortog a W

V: W

W: W

U = U₂ = U

U₂ = V U₁ = V - V.W W

W: W

PRODOTO SCALARE E ORTOGONALITÀ

TEOREMA:

• V(K)_spz vet con prodotto scalare
• A ⊆ V(K), A ≠ Ø allora:
1. A⊥ = V(K)
2. A⊥⊥ = [ ⟨A⟩]^⊥⊥
• OSS:
• V(K)_spz vet finito con prodotto scalare
• A ⊆ V(K), A ⊥ = Ø
• B base di ⟨B(A)⟩ = B(A)^⊥ = B^⊥(A)
• A⊥ = [ B(A)^T = B(A)^⊥T = B^⊥ ]^⊥
• → Dato A ⊆ V(K) per trovare  A⊥ determino una base (B) di B(A) è calcolo è

PROPOSTA:

• V(K)_spz vet con prodotto scalare "•" U,W ⊆ V(K) con W⟨W⟩ ≠ Ø
• [ ... ]
• Allora e szettorre possibile scrivere U = V + U₂ dove
• U₂ vettore || proppor a W
• U₂ vettore ortog a W <<

• • V,W
  • W⟨W⟩
  • U = U₁ + U₂
  • U₁ = U - V⟨W⟩ / W⟨W⟩
  • Corte pollurch
  • D1 U lungo W

prop

1) ||1|| ≥ 0 ∀ u ∈ Vⁿ (ℝ)

2) ||u|| = 0 ⟺ u = 0

e) ||a * u|| = |a| ||u||

4) ||u - v|| ≤ ||u|| + ||v|| disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

5) ||u + v|| ≥ ||u|| - ||v|| disuguaglianza triangolare

Teorema

B = (e₁, e₂ ... e_m) una base di V^m (ℝ)

una sequenza b* = (b'₁, e'₂ ..., e'_m) cosi definita:

e'_i = e_i

b*_i = e_i − ^{p e'_i}/_{e'i ei} e^*₁

prop

B = (e₁, ... e_m) base ortogonale di V^m (ℝ) Ca x i-eoita

considero y (σ_j=1 B b, 1) un vettore V coefficienti con rispetto

di u uno ek

V = σ x (j_a e₁ + am e_m)

B*_i = σ y e_i

V = (0, b_1,1 b_m,i)

Teorema

A ⊆ V^m (ℝ), A ≠ 0 ⟹ y m (η) = g (A) ⊕ A^⊥

−σ m a_im [g(A)] + [e_am A -

A ∈ Vf_n (ℝ) v^m (ℝ²) a = A A^⊥

Let

- m δ a^{* g(A)} g(A) sono verso g(m)

Suppongo quale giùi di δ coincida con g(η) B⁽ⁿ⁾ g(m)

e filtrato detto δ Ordiaq derivato prodotto scnacre equilibrio (siu) quindi le

stesse

bcon perimetro B_(m) B_(m) C x seg. ^σ F

{{ { i_1,1, i_1,2 h_m,n)

−|= 0

(efferminato & permane per) (b₁ + 1 b_m) (j_1,m)

−y pescato

+ fischede scale 8ul₂: △x e_mx (Ra) ^{Bf2 (x)}

R^†, B(η₁) (c) | b^{(1, & (η ×)′} m = k φ

(η) + am S]

Sc

TEOREMA:

Una forma bilineare è simmetrica ⟺ la matrice associata è simmetrica

Dim:

• * è simmetr