dimostrazione teoremi esame

Teoremi richiesti con dim. per la 1^a prova in itinere:

1. Irrazionalità di √2

   Definito ℚ come insieme dei numeri razionali (insieme delle rappresentazioni decimali finite o infinite periodiche) ossia:

   ℚ = {'p/q | p ∈ ℤ, p ∉ ℤ, q ≠ 0'} la sua rappresentazione geometrica è:

   • La diagonale x del quadrato di lato 1 è uguale a p (risalto la diagonale)

   • Dimostro che p non è un numero razionale (ovvero che è irrazionale)

   • Per Pitagora, x = √1 + 1 = √2 dimostro l’irrazionalità di √2

   • Per assurdo:

   • x ∈ ℚ ⟺ x = p/q con p, q ∈ ℤ (q ≠ 0) per definizione

   • x = 2 ⟺ p²/q² = 2 ⟺ p² = 2q² ⟺ p² è pari (qualsiasi numero moltiplicato per un numero pari, in questo caso 2, dà come risultato un numero pari)

   • ⟺ Se p² è pari allora p è pari, il che equivale a scrivere che p = 2t, t ∈ ℤ

   • ⟹ Se p = 2t allora l'espressione (p²/q²) = 2 diventa: (2t)²/q² = 2 ⟺

   • 4t² = 2q² ⟺ q² = 2t² ⟺ q² è pari ⟺ q è pari

   • Si ottiene che p e q sono pari ⟹ il loro M.C.D è sicuramente maggiore o uguale a 2 (M.C.D (p,q) ≥ 2) mentre in generale,

   • Per p/q potevo supporre M.C.D (p,q) = 1 ⟹ ASSURDO

   • Si è dimostrato per assurdo l’irrazionalità di √2.

Formula di De Moivre

• Presi due numeri complessi _z1, _z2 ∈ ℂ, si ha che: _z1 = _r1(cos θ₁ + i sen θ₁) ∧ _z2 = _r2(cos θ₂ + i sen θ₂).
• Si dimostra che:

1. Il loro prodotto è _z1 ⋅ _z2 = _{r1 r2} [(cos θ₁)(cos θ₂) + i sen θ₁ (cos θ₂)(cos θ₁)(sen θ₂) + i sen θ₁ (i sen θ₁)(sen θ₂)]. = _{r1 r2} [cos(θ₁) cos(θ₂) – sen θ₁ sen θ₂ + i (sen(θ₁) cos θ₂ + cos θ₁ sen θ₂)]. Sapendo che i² = -1, Per la formula di Prostaferesi l’equazione precedente diventa: z₁ ⋅ z₂ = _{r1 r2} [cos (θ₁ + θ₂) + i sen (θ₁ + θ₂)]
2. Per la formula di De Moivre si ha che il prodotto di due numeri complessi equivale al numero complesso (w) il cui modulo è dato dal prodotto dei due moduli (_r1 e _r2); l’argomento (θ_w) è dato dalla somma dei due argomenti (θ₁ e θ₂).

2. Il loro quoziente è: _z1/_z2 = _r1/_r2 cos θ₁ + i sen θ₁ con _z2 ≠ 0. _z2 cos θ₂ + i sen θ₂ Moltiplicando numeratore e denominatore per cos θ₂ – i sen θ₂ (razionalizzazione) e tenendo conto che (cos(θ₂)²) + (sen(θ₂)²) = 1, abbiamo: _z1/_z2 = _r1/_r2 [cos θ_i cos θ₂ – sen θ₁ i)(cos θ₂ – i sen θ₂] = _r1/_r2 [cos (θ_i – θ₂) + i sen (θ_i – θ₂)]
3. Per la formula di De Moivre si ha che il quoziente di due numeri complessi equivale al numero complesso (w) il cui modulo _rw è dato dal quoziente dei due moduli (_r1 e _r2); l’argomento (θ_w) è dato dalla differenza dei due argomenti (θ₁ e θ₂).

• Se poi i fattori sono tutti uguali, otteniamo la formula (detta di De Moivre): wⁿ = _rⁿ (cos (nθ) + i sen (nθ)).

• Vbn = x₀ g(bn) → g(x₀)
• bn f(a_n) → f(x₀) ∀n
• g(f(a_n)) → g(f(x₀))

Dunque g∘f è continua in x₀

1. Teorema degli Zeri:

   • Sia f: [a,b] → R continua e tale che f(a)·f(b) < 0 (gli estremi assumono valori opposti) ⇒ ∃ c ∈ (a,b): f(c)=0
   • Dimostrazione:
     • Sia c₁ = a₁ + b₁ / 2
       • Se f(c₁) = 0 ⇒ Verificato
       • Altrimenti o f(a)·f(c₁) < 0 ⇒ [a₁, b₁] := [a, c₁] o f(a)·f(c₁) > 0 ⇒ [a, b] := [c₁, b]
     • Sia c₂ = a₁ + b₁ / 2
       • Se f(c₂) = 0 ⇒ Verificato
       • Altrimenti itero il procedimento costruendo una successione di intervalli [a_n, b_n] tali che:
         • 1) f(a_n)·f(b_n) < 0
         • 2) {a_n} crescente e {b_n} è decrescente (e sono limitate)
         • 3) b_n - a_n = b-a / 2ⁿ
     • Da ② per teorema dei limiti di successioni monotone: a_n → l ∈ R e b_n → l ∈ R
     • Da ③ b_n - a_n = b-a / 2ⁿ → 0, n → +∞
     • ⇒ l₁ = l₂ = l (le due successioni convergono allo stesso valore)
     • f è continua, f(l) = 0 n → +∞
     • ⇒Verificato

15. Formula di integrazione per parti:

Siano f e g due funzioni derivabili in [a; b], si ha che:

(f·g)(x) = (f·g)´(x) ⇔ (f·g)´(x) = f(x)·g´(x) + f´(x)·g(x) ⇔ f(x)·g´(x) = (f·g)´(x) - f´(x)·g(x)

Prendendo l'integrale indefinito di entrambi i membri ed osservando che

∫(f(x)·g´(x)) dx = f(x)·g(x), si trova la formula di integrazione per parti:

∫(f(x)·g´(x)) dx = (f·g)(x) - ∫(f´(x)·g(x)) dx = f(x)·g(x) - ∫(f´(x)·g(x)) dx

∫(f(x)·g´(x)) dx = f(x)·g(x) - ∫f´(x)·g(x)dx

Per il 1° teorema del calcolo differenziale, si ottiene:

∫_a^b (f(x)·g´(x)) dx = [f(x)·g(x)]_a^b - ∫_a^b (f(x)·g(x)) dx

16. Formula di integrazione per sostituzione:

Sia G(t) una primitiva di f(t), in I_t, con t ∈ I e sia t = P(x), con

P derivabile, allora d/dx G(P(x)) = G´(P(x))·P´(x) = f(P(x))·P´(x)

G(t) è primitiva di f(t) ⇔ G(P(x)) è primitiva di f(P(x))·P´(x)

∫f(t)dt = ∫f(P(x))·P´(x) dx

Per il primo teorema del calcolo integrale, si ottiene:

∫_P(a)^P(b) f(t) dt = ∫_a^b f(P(x))·P´(x) dx