dimostrazione teoremi esame

Teoremi richiesti con dim. per la 1^a prova in itinere:

1. Irazionalità di √2

Definito ℚ come insieme dei numeri razionali (insieme delle rappresentazioni decimali finite e infinite periodiche), ossia:ℚ := {p/q ∈ ℝ - p,q ∈ ℤ, q ≠ 0} la sua rappresentazione geometrica è:

• La diagonale x del quadrato di lato 1 è uguale a √2 (riporto la diagonale)
• Dimostro che x non è un numero razionale (ovvero che è irrazionale)
• Per Pitagora: x = p√(1 + 1) = √2 => dimostro l’irrazionalità di √2 per assurdo:

1. x ∈ ℚ ⟺ x = p/q con p, q ∈ ℤ (q ≠ 0) per definizione
2. x = √2 ⟺ p²/q² = 2 ⟺ p² = 2q² ⇒ p² è pari (qualsiasi numero moltiplicato per un numero pari in questo caso 2, dà come risultato un numero pari). ⇔ Se p² è pari allora p è pari, il che equivale a scrivere che p = 2t, t ∈ ℤ
3. Se p=2t allora l’espressione: (p²/q² = 2) diverta: (2t)²/q² = 2 ⟺ (t² = 2q² ⟺ q² = 2t² ⟺ q² è pari ⇒ q è pari
4. Si ottiene che p e q sono pari ⇒ il loro M.C.D. è sicuramente maggiore o uguale a 2 (M.C.D. {p,q} ≥ 2), mentre in generale , per p/q = x e per ipotesi posso supporre M.C.D. (p,q) = 1 => ASSURDO

Si è dimostrato per assurdo l’irrazionalità di √2.

Teoremi richiesti con dim. per la 1^a prova in itinere:

1. Irazionalità di √2

Definito Q come insieme dei numeri razionali (insieme delle rappresentazioni decimali finite e infinite periodiche), ossia:

Q := { p/q ∈ ℕ, p,q ∈ ℤ, q ≠ 0 } la sua rappresentazione geometrica è:

- La diagonale x del quadrato di lato 1 è uguale a √2 (rispetto la diagonale)

- Dimostro che p non è un numero razionale (ovvero che è irrazionale)

- Per Pitagora, x = √(1+1) = √2 → dimostro l'irrazionalità di √2 per assurdo:

- x ∈ ℕ ↔ x = p/q con p,q ∈ ℤ (q ≠ 0) per definizione

- x = √2 ↔ p²/q² = 2 ↔ p² = 2q² ↔ p² è pari (qualsiasi numero moltiplicato per un numero pari, in questo caso 2, dà come risultato un numero pari)

↔ Se p² è pari allora p è pari, il che equivale a scrivere che p = 2t, t ∈ ℤ

↔ Se p = 2t allora l'espressione (p²/q²) diventa: (2t/q)² = 2 ↔

↔ (2t)² = 2q² ↔ 2²t² = 2q² ↔ q² è pari ↔ q è pari

- Si ottiene che p e q sono pari → il loro M.C.D. è sicuramente maggiore o uguale a 2 (M.C.D. (p,q) ≥ 2), mentre, in generale,

per p/q = x ^- e per ip. potevo supporre M.C.D. (p,q) = 1 → ASSURDO

- Si è dimostrato per assurdo l'irrazionalità di √2.

Formula di De Moivre

• Presi due numeri complessi z₁, z₂ ∈ ℂ, si ha che:z₁ = r₁(cosθ₁ + i senθ₁), z₂ = r₂(cosθ₂ + i senθ₂)
• Si dimostra che:
• 1) Il loro prodotto è:z₁ • z₂ = r₁r₂[cosθ₁cosθ₂ - senθ₁senθ₂ + i(senθ₁cosθ₂ + cosθ₁senθ₂)]
• Per la formula di Prostaferesi l'equazione precedente diventa:z₁•z₂ = r₁r₂[cos(θ₁ + θ₂) + i sen(θ₁ + θ₂)]
• 2) Il loro quoziente è:z₁/z₂ = r₁/r₂ [cosθ₁ + i senθ₁]/[cosθ₂ + i senθ₂] con z₂ ≠ 0
• Moltiplicando numeratore e denominatore per cosθ₂ - i senθ₂ (razionalizzazione) e tenendo conto che (cosθ₂)² + (senθ₂)² = 1 abbiamo:z₁/z₂ = r₁/r₂ [cosθ₁ + i senθ₁](cosθ₂ - i senθ₂)/₂[(cosθ₁ + i senθ₁)(cosθ₂)]
• Se poi i fattori sono tutti uguali, otteniamo la formula (detta di De Moivre):zⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sen(nθ))

3) Radici n-esime di un numero complesso:

- Sia z ∈ ℂ: z = ρ(cos(ϑ) + i sen(ϑ)) e n ∈ N, n > 1

- Se z ∉ 0, allora ∃ n radici n-esime di z, cioé ∃ n numeri complessi:

• ω_k: ω_kⁿ = z k = 0, 1, 2, ..., n-1.

- Inoltre: ω_k = ⁿ√ρ (cos(^{ϑ + 2kπ}/_n) + i sen(^{ϑ + 2kπ}/