Dimostrazione teoremi falg 1.2

A

Arc :

A

dim

A1

A

die = ,

... Y

,

le

Vista A

definisi Rongo C

di di e

vole 2 C

eKA

: = . #

Dim Precedente

Proposizione 17.17.

Siano v1, v2, . . . , vn, u vettori in uno spazio vettoriale VK. Vale u se, e solo se:

∈ ⟨v1,v2,...,vn⟩

dim⟨v1,v2,...,vn⟩ = dim⟨v1,v2,...,vn,u⟩. (17.6)

Dimostrazione. Dimostreremo che sono equivalenti le tre propriet`a seguenti:

(a) u ∈ ⟨v1,v2,...,vn⟩;

(b) =

⟨v1,v2,...,vn⟩ ⟨v1,v2,...,vn,u⟩;

(c) dim⟨v1,v2,...,vn⟩ = dim⟨v1,v2,...,vn,u⟩.

(a) (b) Per ipotesi u `e combinazione lineare di v1, v2, . . . , vn e cio` implica (b) per il teorema

11.1.

(b) (a) Vale u v2, . . . , vn, u⟩ e per ipotesi quest’ultimo sotto- spazio `e uguale a

∈ ⟨v1,

⟨v1,v2,...,vn⟩.

(b) (c) Questa implicazione `e ovvia.

(c) (b) Poniamo:

W1 = W2 = r = dimW1 = dimW2.

⟨v1,v2,...,vn⟩; ⟨v1,v2,...,vn,u⟩;

La famiglia v1, v2, . . . , vn contiene una base di W1; cambiamo, se ne- cessario, l’ordine dei -

vettori in modo che B = v1,v2,...,vr sia una base di W1. In particolare

= W1. (17.7)

⟨B⟩

Inoltre B `e una famiglia linearmente indipendente nello spazio vetto- riale W2, che ha per

ipotesi dimensione r. Ne segue (cfr. prop. 12.6) che B `e una base di W2 e in particolare

= W2. (17.8) Da (17.7) e (17.8) segue la (b).

⟨B⟩ *

11. Enunciare e dimostrare il teorema di completamento della base.

h

7

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M

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Contiere

Il

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Una Che

,

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e opse

=>

D 12. Siano VK e WK due spazi vettoriali e L : V W una funzione lineare. Dimostrare che la

→

funzione L `e iniettiva se, e solo se, ker L = {0V }.

&

A Dim" "

(inettive

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Noto

se =

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-ore

se

wow-

=> o

S

1 15. Enunciare e dimostrare il teorema delle dimensioni (riguardante le dimensioni del

nucleo e dell’immagine di una funzione lineare).

Teorema 14.14 (Teorema delle dimensioni). Siano VK e WK spazi vettoriali e

L : V W una funzione lineare. Se dimVK `e finita, allora anche dim ker L e

→

dim im L sono finite e

dim ker L + dim im L = dim VK . (14.4)

Dim U

ti

n =

:

Illma di KerL

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.

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di

Mr

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,

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Per terremo di

il -V

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Mr

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- .

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Vogliamo : Boedunk

= (100) Lit LIrmor)

· ...

Segue :

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Ker V

L i Iml-bin

=>

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v + n r n

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In

La

4) è

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-

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X ,

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) L(M

x + N

x

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.

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+

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i

(IM)

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Le

La

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V

G 3

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Led) Le

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+e =

...

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EV

Ve +...

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=> Entur-deMp-delle drM

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...

-Qu (

/B indipendente

> 80 an-vo

0 ...

,

# #

&

SKY

13. Descrivere una corrispondenza biunivoca tra M(m × n, K) e l’insieme di

tutte le funzioni Kn Km lineari. Dimostrarne la biiettivit`a.

→

ML EN-ckM Lliem]

:

:

Dim I corrispondente giunivoca tun

: Km)

K) 2/km

Mmxn e

, · I

k)

M(mxn

Six A - ,

km

Km

Def FA -

:

: X-AX

/PORTA Dove

,

k)ekw

Xer(axe

- ,

#X il

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produtto della

>

- k)

M)mxn 2)mxe

X k]

A =

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, ,

Il risultato Matrice

e

=> una

km

k)

(m x 1 e

,

Fa è Lineare :

· hFAX

FA(hX) A(hX) hAX =

=

= X))

A(X FAX

Fa(X AX)

X1 AX FAX

+ +

+ +

=

= =

Asiamo Associato Matrice

Una

a

K) km

M)mxm

* *

K linses

L -

una :

, .

Chiameremo funzione associa

che

la

A FA

Matrice

La .

a km)

(N

-S

# K)

M(mxm

: -

, ,

A FA

>

-

E

Dero Bienina

Dimostrare .

Iniettiva

4) : N) AfBe

th M/mxm

FA B e

. ,

,

#A B . (Auf)

Knkm lines

Fo e Fo : vettori della

Vediamo sei

orgiano

come

Bea Km

I in

conomie ·

N 20 em.

er

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Ausua : K)-ed

Al

Ara matrice

serenica mxm

= ,

* )

212

2 21m

↳

1

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et

* notazione scrivent

sans per

us QUESTIONE

MATRICE

LA OLLY

COLONNA in

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Quinoi : = /Colonna

⑨ As -- esima)

Fort =