Dimostazioni analisi 2, prof. Andreucci

Teorema delle derivate parziali

Sia f: A → ℝ, con A ⊆ ℝ^N aperto, con N=2. Se f è differenziabile in x₀ ∈ A, allora f ha le derivate (parziali) a=f_x(x,y) b=f_y(x,y)

dimostrazione: Se f è differenziabile in x₀ allora ∀ ε > 0

lim_x→x0 &frac;{f(x,y) -[f(x₀,y₀) -a(x-x₀) -b(y-y₀)]}{|(x-x₀)| + |y-y₀|} = 0

Poniamo: x = x₀ y = y₀ + h

Allora |x-x₀| = 0

(∧ ⇒ lim_h→0 &frac;{f(x,y) - f(x₀,y₀)}{h} = a) Poiché il limite è 0 allora ∃ f_y(x,y)

Poniamo: x = x₀ + h y = y₀

(∧ ⇒ lim_h→0 &frac;{f(x,y) - f(x₀,y₀)}{h} = a) Poiché il limite è a allora ∃ f_x(x,y)

Teorema di Fermat:

Sia f: A → ℝⁿ con A aperto A ⊆ ℝⁿ⁺¹

Sia f derivabile in x₀, allora x₀ è un estremo (max o min) locale

Dimostrazione (minimo)

Sia f(x₀, k) ≤ f(x, y)

Per collinearità (x, y) = (x₀ + h, y₀ + k)

∀ h, k ∈ ℝ h² + k² ≤ ε²

f(x₁, y₀) ≡ f(x₀ + th, y₀ + tk)

Prendo x₀ e y₀, l'unico

(x₀, y₀) = (x₀, y₀ + tk)

= (x₀, y₀ + t)

k + t

Ottenuto che g(t) = f(x, y),

g(0) ≤ g(t) =⇒ t = 0 è un minimo locale di g(t)

Lim q(tΔq) - q(0) = lim f(x₀, y₀ + q) - f(x₀, y₀)

^q→0 q ^q→0 q

= lim ∂f(x₀, y₀) = 0

∂y

Teorema: Il gradiente ad una curva f(x, y) = 0 in un punto è normale alla curva stessa in quel punto.

g(t) = F(x(t), y(t))

ḡ(t) = ∂F(x(t), y(t))ẋ(t) + ∂F(x(t), y(t))ẏ(t)

dx dy

ẋ(t) = x(t), y(t)

=⇒ ẋ(t) = ∇F(g(t)) ẋ(t)

Poiché g(t) = F(x(t), y(t)) = 0, allora gḡ(t) = 0

=⇒ dḡ(t) = 0 da cui ∇F(g(t)) ẋ(t) = 0

ǎ tₐₒᵤₜ̂

=⇒ ∇F(g(t)) ẋ(t)

Soluzione Locale:

Una funzione di classe C¹ y: I → B_R in dianrico definisce locale di y' = F(x, y(x)) → y' = F(x, y(x))   bx ∈ I

Soluzione Locale di Cauchy:

Prefissato (α, B₁) è dato il problema di Cauchy f(y = F(xy)) una soluzione locale y(O) = B di Cauchy è una soluzione locale t.c. d ∈ I → y(α) = B₁

Continuità per Cauchy: Una funzione si diga A si perde con continuità alc dato y(α) = B₁ se ∀ α(α, B₁) fissati e ε > 0 si ha:

• Scegliendo il punto iniziale abbastanza vicino al punto (α, B₁) prefissato le solutioni avranno un intervallo di definizione piccolo comune
• In tale intervallo è possibile avvicinarsi uniformemente le solutioni perchendo il punti  inziali abbastanza vicini tra loro.

Problemi con Ritardo:

• y'(x) = F(x, y(x-r)) a≤x_ea+f
• y'(x_o)=b a-r_ea