Dimostazioni analisi 2, prof. Andreucci

Teorema delle derivate parziali

Sia f : A → ℝ con A ⊆ ℝ^N aperto, con N = 2. Se f è differenziabile in x₀ ∈ A, allora le sue derivate parziali a = ∂f(x,y)/∂x e b = ∂f(x,y)/∂y.

Dimostrazione

Se f è differenziabile in x₀, allora ∃ lim_x→x0 (f(x,y) - f(x₀,y₀) - a(x-x₀) - b(y-y₀))/(x-x₀) . Poniamo x = x₀, y = y₀ + hξ. Allora |x - x₀| = |(x₀,y₀ + hξ) - (x₀,y₀)| = |(0,hξ)| = k→ lim_h→0 (f(x,y) - f(x₀,y₀))/hξ = a. Poiché il limite allora ∃ ∂_yf(x,y).

Poniamo x = x₀ + hξ, y = y₀ → lim_h→0 (f(x,y) - f(x₀,y₀))/h = a. Poiché il limite ∃ ∂_xf(x,y).

Teorema delle derivate parziali

Sia f : A ⊆ ℝ^N → ℝ, con A ⊆ ℝ^N aperto, con N=2. Se f è differenziabile in x₀ ∈ A, allora le sue derivate parziali a = ∂f/∂x e b = ∂f/∂y.

Dimostrazione

Se f è differenziabile in x₀, allora ⇒ lim_x→x₀ (f(x,y) - f(x₀,y₀) - a(x-x₀) - b(y-y₀)) / |x-x₀| = 0. Poniamo: x = x₀, y = y₀ + ɧ. Allora |x-x₀| = |(x₀,y₀ + ɧ) - (x₀,y₀)| = |(0,ɧ)| = ɧ ⇒ lim_ɧ→0 (f(x,y) - f(x₀,y₀)) / ɧ = ay. Poiché il lim = b allora ∃ ∂y f(x,y).

Poniamo: x = x₀ + ɧ, y = y₀ ⇒ lim_ɧ→0 (f(x,y) - f(x₀,y₀)) / ɧ = az. Poiché il limite 1/ɧ esiste = ∂x f(x,y).

Teorema di Fermat

Sia f: A → ℝⁿ con A aperto A ⊆ ℝⁿ⁺¹. Sia f derivabile in x₀, allora x₀ è un estremo (max o min) locale.

Dimostrazione (minimo)

Sia f(x₀ k) f(x y)(x y) = (x₀ k, y₀ t) ∀h, k = C. h²+k² ≤ ε²

f(x₁, y₀) ≠f(x₁ t, y₀+k) prendendo X_oε x₀ l'unico una retta e mantenendo uno dei due costante (x_o, y_o) = (x_o, y_o+K)= (x_o, y₀+t)k>0

y_i = (x_i+t, y_i+t ε) + t ≥ ε[ε² = l² |l|≤ ν + tε = L Ottiungo che g(t) = f(x y) g(0) ≤ g(t) = f(x y) lim g(t) - g(o) - lim Δf(x₀ y₀+q) - f(x₀, y₀) = q - q - q = lim Δf(x₀, y₀) = O

Teorema: il gradiente ad una curva

f(x, y) = 0: in un punto è normale alla curva stessa in quel punto. g(t) = F(x(t), y(t)) ḡ(t) = ∂F (x(t), y(t))/∂x ẋ(t) + ∂F (x(t), y(t))/∂y ẏ(t) ẏ(t) = (x(t), y(t)) => ẋ(t) = ∇f(x(t)) ẋ(t) Poichè g(t) = f(x(t), y(t)) = 0. Allora ḡ(t) = 0 −ḡ(t) = 0 da cui ∇F( ẏ(t)) ẏ(t) = 0 => ∇F(y(t)) ⊥ ẏ(t)

Sviluppo di Taylor con il metodo di Lagrange

Voglio sviluppare la funzione g(x₀ + th) → uso g(t) = g(x₀ + th) ottengo che g(0) = g(x₀). Devo trovare g'(t): g'(t) = (d/dt) ∫g(x₀ + th) = ∑ (d/dxᵢ) ∫(x₀) hᵢ

Devo trovare g''(t): g''(t) = (d/dt) (∑ (d/dxᵢ) fᵢ(x₀ + th) hᵢ) = ∑ (d²/dxᵢ dxⱼ) fᵢ(x₀ + th) hᵢ hⱼ

g(t) = f(x₀) + ∑ (d/dxᵢ) f(x₀) hᵢ + 1/2 ∑ (d²/dxᵢ dxⱼ) fᵢ(x₀ + th) hᵢ hⱼ

La Serie

∑_{n = 0} a_n converge Per Lim a_n∋ 0. Poiché per hp ∑_n=0 a_n converge, all’infinito tende al suo sommo S_n = S; poiché le serie hanno lo stesso comportamento delle loro code deve anche S_n+1 = S; ∴ n convergendo all’infinito = S ∅ come sappiamo, le successioni per ricorrenza sono definite (come su _n+1 = S_n, S_n-1).

lim al lim (S_n S_n+1) = SⁿS = 0. La controesempio delle non validità della doppia implicazione è dato da: ∑_n=1 ¹/_√n ∢ ¹/_√2 + ¹/_{√2² + ¹/√n → ±∞ una lim ¹/n¹/√5}

Criterio del rapporto

Sia {a_n} la successione, se lim (^a_n+1/_an) = L la serie converge per L 1. Dimostrazione: Sia L ∈ (0,1). Se L = 0 la dimostrazione è banale in quanto le serie converge per h_{e la} CONVERGENZA NECESSARIA; Se L ∈ (0,1) ^{a_n+1 + b n=1 + a_n → a_n+1 ≤_an ≥ 0 =} n → ∞

È possibile ricondurre alla SERIE GEOMETRICA ∑_n=0 a_n ∂ non converge per N ∈ (0,1) Se L > 1 a_n+1 a_n + ∏ a_n+1 ≥ ∑ a_n. Allora Ɵ serie è coscunta e Ø_Ø

Raggio di convergenza per serie di potenze

Sia ∑_n=0^∞ a_n(x-x₀)ⁿ una serie di potenze. Posto x_r = x-x₀ ottengo ∑_n=0^∞ a_n x_rⁿ. Il raggio di convergenza della serie di potenze vale:

• R = {   +∞   L = 0   1/L    L ∈ (0,+∞)   0   L = +∞}

Dimostrazione

Applicando il criterio della radice ad ∑_n=0^∞ a_n x_n otteniamo lim_n→∞ ⁿ√a_n x_n = |x| L. Il raggio di convergenza è uguale a 1/L percè sappiamo che la serie:

• converge   |x| L < 1
• diverge   |x| L > 1   } |X| ≤ 1/L

Una funzione analitica ha lo sviluppo in serie che coincide con lo sviluppo di Taylor f(x) = ∑_h=0^∞ b_h x^h = b₀ + b₁ x+ (b₂ x² + b₃ x³ + b₄ x⁴)

f'(x) = b₁ + 2b₂ x + 3b₃ x² + 4b₄ x³     f'(0) = b₁

f''(x) = 2b₂ + 6b₃ x +12 b₄ x²     f''(0) = 0b₂

f'''(x) = 6b₃ + 12d₄ x     f'''(0) = 6b₃ => f^(h)(0) = b_h => f(x) = ∑_n=0^∞ f^(h)(0) ^xη/_h!       Serie di Taylor

Soluzione Locale

Una funzione di classe C¹ y: I → Rⁿ si chiama soluzione locale di ẏ = F(x,y(x)) e y(i) = F(x,y(x)), x Є I.

Soluzione Locale di Cauchy

Prefissato (α, B), è dato il problema di Cauchy ẏ = F(x,y) una soluzione locale t. c. α Є I, e y(α) = B.

Continuità per Cauchy

Una soluzione si dice che ei perde di continuità dal dato y(α) = B se ∀ т (α, B) fissato e ε ЬОЛ si ha:

1. Scegliendo il punto iniziale abbastanza vicino al punto (α, B) prefissato e definendo vicino un intervallo di definizione, piccola varia. In tale intervallo è possibile assicurare nu formatene le soluzioni purchendo i punti iniziali abbastanza vicini fra loro.

Problemi con Ritardo

• { ẏ(х) = F(x, y(x-r)) α ≤ x ≤ α+ϑ { y(x) = b a-r ≤ x ≤ a+ϑ ai rido e ϑо dipindente da F. В їunove le dolerminazione di y'(x) dipende dallavale di y di un punto posto a distanza г da x.

Sia F: R×Rⁿ→Rⁿ continua, il problema con ritardo ammette una soluzione su [α,α+δ] dove δ=min {b, k/h₂}.

Esistenza

È possibile trovare una partizione di [α,α+δ] in sottintervalli tutte di ampiezza <r. Definiamo poi i punti di questa partizione come 0 = x₀ ≤ x₁ ≤ ... ≤ x_n+1 = α+δ. È possibile trovare una soluzione γ con x ∈ [α,x₂] t.c. (γ(t)-b) ≤ h∫F(z,t,γ(t-τ)) dz. È possibile poi trovare una soluzione w con x ∈ [α,x_n+1] t.c. ≤ 1 w(x) = b + ∫_t^t+(x-t) F(t,γ(t,γ(t-τ))) dt ≤ γ(t).

Poiché per Hp x ∈ [α,x_n+1] ∫_α^x F(z,t,γ(x-τ)) dt ≤ γ(t) ∀z ∈ [α,x_n+1] ∫_xn+1^t |F(z,t,γ(x-τ))| dt ≤ M ∫_α^x F(z,t,γ(t-τ)) dt ≤ γ(x). Dobbiamo quindi dimostrare che w(x) ∈ B uno |x(x)-b| ≤ M|x-α|≤^A b| ∃ h ≤ K → ABBIAMO DIM. ESISTENZA UNICITÀ?

Lemma di Gronwall

Sia y ∈ C'( [α-δ/2,α/2] ). Se vale che |y| ≤ L/|y| Affecta vale. ∫_α^x (|γ(y)|+1)^σα = |z = δ| > ∫₁(|y(α)+ο(z)| o a i α∈α |l(|γ(y)| + 1 + ο(z)^γ) ≤ a Θ^1-al|ot.c. (|y(t)| + 1 + σ) < 2aδ + α1(|γα

Dimostrazione

∀^d t.c. γ(y(t) + z) = 0 si ha che i   ∀ t.c. |y| è derivabile. Dunque |(1/αdt|y(t)| = |dt/ t(y(τ))| ≤ |2γ^-2Σ(y(τ))t∫_α^x| Poniamo z ≥0 ∀t.c. g^-1(z) ≠ 0 ∀(α) t ≤ t|y(x)| = 1/y(τ)=|y(t) ≤ l |y(τ)|+0 ≤ ξ(t)^1+σ / |δ(t)+σ| Integrando in [a,t] otteniamo:|y(t)|+σ ≤ λ(t−σ) da cui per tesi≤|y(σ)|+σ

Se y(t)=0 non c’è nulla da dimostrare. Se y(t)≠0 allora prendiamo τ come supκ∈[a,τ] t.c. y(κ)=0, Va. de y’(σ)= f(τ,y(τ)), y(κ)=0: in ε[σ−ε,τ]τίntegrando in talintervallo otteniamo:|y(t)+σ|≤λ1+τ−ε|y(t+ξ)|+σ

Per ξ=σ. |y(t)+σ ≤ ελ1+τ(σ)≤ε|l(σ)+1Hp.

Lipschitzianitá

Dato F(x,y)∈LO s.t.∀F(x,z)−F(x,y)≤/L/(z,z)∈Br ∀x∈I Siano y(α,β) e 2 y(α’,β’) due soluzioni dei rispettivi problemi di Cauchy. Se sono definite entrambe su un intervallo I con (α,β)∈S e σ∈ℓ. dim |y(x,α,β)−y(x,α’β’)| ≤/Ɛl(x−α’) [(β−β’)+M|ασ−α|]

Dimostrazione

Siano u=u(x)=y(α,b) e v=v(x)=y(α,β). |u’−v’|=|F(x,u)−F(x,v)|≤|L|(u−v)|u(π)−v(χ)|≤/Λ/Ε/ (|v(α’)−v(α’)≤/L(α)|u(ξ)−v(χ)|≤/[/i>Λ/Ε(|v(α)−v(α’)≥|Λ|e(x−α’)] [(β−β’)+M|χ−α|] con |v’|=|f(x,v)|≤H

Se u’≠v sol. dello stesso prob. di Cauchy e ƒ è lip. allorá u≠ν’uis

Soluzione Massimale

È una soluzione locale definita per _ogni altra soluzione locale definita, si ha che. Localmente Lipschitziana Sia g: A → ℝⁿ con A e valga la condizione di Lipschitzianità. Sia compatto A allora una soluzione si dice L(2) ∀. Sia F: ℝ → ℝⁿ aperto, localmente Lipschitziana nelle ultime N variabile. Allora due soluzioni. Sia J' è l'intervallo di intersezione: Sia A coincidesse con l’estremo destro di J, esisterebbe un intervallo. Poiché le due soluzioni coincidono A. Contraddice la dopo. Sia F: ℝ → ℝⁿ aperto, localmente lip, e non soluzione locale definita con x,∞. ∃ defnito come (x₀, x₀).

Dimostrazione

Sia y_i = y(x_i), ∀. Per il teorema otteniamo che: ù_ω(x) = F(x, y₁), ho soluziona locale. w(x₁) = y₁. La funzione ÿ(x) = y(x) _{x ∈ (x0,x1)}: Dimostriamo che ha derivata continua in x = x₁: lim _{x→x0, x→x1} = lim _x→x0+.

Siano y_i, i = 1, 2, ..., p soluzioni del sistema. Allora anche ∑_i=1^p c_iy_i è. E vale ∀ c_i ∈ ℝ

Dimostrazione

^d/_dt ∑_i=1^p (c_i y_i) = ∑_i=1^p c_i y_i = ∑_i=1^p c_i (A(t) y_i = A(t) ∑_i=1^p c_i y_i ∈ Uno spazio vettoriale S è una suo base sono l’indipetità costruito con la dimensione dello spazio zedelsimo—Siano y_i, i = 1, ..., p soluzioni. Allora le y_i sono