Differenziale di una funzione, forme differenziali esatte

Differenziale di una funzione, forme differenziali esatte

Data una funzione derivabile in un insieme aperto di R^d, il differenziale primo (o totale) della funzione si indica con:

df(x, y) = f_x dx + f_y dy

Se considero la funzione il cui differenziale è f_x dx, mentre se considero la funzione il cui differenziale è f_y dy.

Funzione e curva regolare

Data una funzione f(x, y), con A aperto di R e data una curva φ(t) = (x(t), y(t)) con t ∈ [a, b] regolare a tratti e con il sostegno della curva φ(a, b) ⊆ A, allora:

∫_a^b df = ∫_a^b (f_x dx + f_y dy) = ∫_a^b [f_x(φ(t)) x'(t) + f_y(φ(t)) y'(t)] dt

Che alla fine è uguale a:

f(φ(b)) - f(φ(a))

Forme differenziali esatte

Ricordando che se e solo se f ∈ C¹, la funzione composta è derivabile nei punti della curva. In generale una forma differenziale non è il differenziale della funzione (esempio sul libro).

Definizione di forma differenziale esatta

Dato un insieme aperto A di R, e data una forma differenziale ω = a(x, y) dx + b(x, y) dy continua in A, è esatta in A se e solo se:

∃ f ∈ C¹(A) : df = ω

Quindi, f è detta primitiva della forma differenziale, quindi di conseguenza due primitive di una stessa funzione differiscono a meno di una costante. Se l’insieme A è un aperto connesso, date primitive f, g di ω, allora:

∇f - ∇g = 0

Il differenziale di c è nullo in A.

Connessione e integrale curvilineo

Si prova che dato un aperto connesso, comunque si prendano due punti appartenenti all’insieme, esiste una curva regolare a tratti avente quei due punti come estremi con il sostegno incluso nell’insieme.

Dati due punti P₁, P₂ nell'aperto connesso A di R, l’insieme delle curve regolari a tratti con sostegno contenuto nell’insieme e con estremi P₁, P₂ si indica con Φ(P₁, P₂). Con ω esatta in A allora:

∀ φ ∈ Φ(P₁, P₂) : ∫_φ ω = f(P₂) - f(P₁)

Ovviamente, dato che vale per ogni curva appartenente a Φ, l’integrale curvilineo non dipende dalla curva e date due curve diverse dello stesso insieme Φ, l’integrale curvilineo del differenziale funzione legata alla forma differenziale calcolato su una curva è uguale al medesimo calcolato sull’altra curva. P₁ e P₂ hanno un orientamento.

Teorema: forme differenziali esatte

Teorema: dato un insieme aperto connesso A di R, continua nell’insieme, ω = a dx + b dy è esatta.