Differenziale di una funzione, forme differenziali esatte

P A

connesso, in quanto il dominio non è tutto contenuto in esso. Concettualmente,

un insieme aperto e connesso può essere tale anche avendo “un buco”, mentre

con la definizione di insieme aperto semplicemente connesso si fa questa

distinzione. ( )

x x

Si prenda a tale esempio la forma differenziale , definita

+ −cos

ω= y e dx e y dy

2 1

in tutto , se si vanno a calcolare le derivate parziali

R , ω∈ C x

( )=b ( )=e , quindi la forma differenziale è chiusa, ricordando inoltre

a x , y x , y

y x

2

che è aperto e semplicemente connesso, dal teorema di sopra si evince

R ( )

2 1 2 2

che è esatta in , quindi in tutto . Se vogliamo

ω ∃ ∈ =ω

f C R : df

R R

trovare la funzione primitiva quindi, si deve integrare. Lo si può fare

indifferentemente rispetto a o ad , si prenda ad esempio in questo

x y

caso l’integrazione rispetto a :

x

∫ ∫ x x

( ) ( )

= + (

f x , y a x , y dx= y e dx= y e g y)

In questo caso si è aggiunta una funzione di come costante in quanto, se

y

derivata rispetto a darebbe 0 come risultato. Andiamo a derivare il

x

risultato rispetto a per ottenere :

y b(x , y)

x ' x ' x

( ) ( )=−cos ( ) ( )=

+ =e −cos =−sin +C −sin +C

e g y y → g y y → g y y → f x , y y e y

2

Con .

∈

C R

Dal teorema di sopra, altro modo per trovare la funzione è:

❑

∫

( ) =

f x , y ω

φ

Dato che la forma differenziale è esatta, si può prendere qualunque curva

)

Φ(P , P

appartenente a , si tende a prendere la più facile, quindi o una

1 2 { ( )=tx

x t

( ) ∈[0,

φ t : , t 1]

spezzata o una lineare tale che ( )=ty

y t

Dalla dimostrazione del primo teorema, si ha intuitivamente che se l’integrale è

calcolato su due punti identici, esso viene 0.

Si abbia adesso la seguente forma differenziale:

( )

2 2

+ +

2 xydx x y dy =2 =2

a x b x

Noto subito che e , quindi la forma differenziale è chiusa per il

y x

teorema del rettangolo ed è esatta, si calcoli adesso la sua primitiva.

Esistono due metodi per farlo: come primo metodo di sceglie un punto noto (a

=(0,

P 0)

seconda della curva) che in questo caso per semplicità è e un punto

0

generico , poi scelgo io la curva in modo da ottenere:

) γ

P=( x , y

❑

∫ +bdy =f (x

adx , y) , così si avrà una situazione del genere:

γ

È sempre meglio scegliere delle curve adatte alla funzione, in questo caso

parallele agli assi così si semplificano e negli integrali (poiché una

dx dy

variabile alla volta rimane costante) e si ha:

❑ ❑

∫ ∫ ( )

2 2

( ) = + +

f x , y 2 xydx x y dy

γ γ

1 2 { {

( )=t ( )=x

x t x t

∈[0, ∈[0,

] ]

γ : ,t x γ : ,t y

Le parametriche saranno e , quindi

1 2

( )=0 ( )=t

y t y t

l’integrale viene: x

y y 3

y

∫ ∫

2 2 2

(¿ ) + + +C

2 dt= x dt t dt=x y

¿ 2+t 3

0 0

x y

∫ ∫

( )= + ¿

f x , y 0 dt

0 0

Ho considerato la come costante e ho trasformato rispettivamente nei

x

differenziali (nel secondo integrale ). Quindi il differenziale si

(t) =dy =dt

y ' dt

calcola derivando il parametro nella curva rispetto a .

t

Adesso la traccia chiede di trovare la costante, considerando che nel punto

la funzione è uguale a 3, quindi andando a sostituire si trova .

(0, C=3

0)

Vi è poi un secondo metodo che si usa solo con le forme differenziali esatte in

quanto sfrutta le loro proprietà, ossia si considera:

=a =b

f , f

x y 2 2

=2

f xy

Quindi e , facendo l’integrale si ha

=x +

f y

x y

∫ ∫ 2 + , andando a derivare l’equazione ottenuta rispetto a

f dx= 2 xydx=x y g( y)

x 3

y

2 ' 2 2 ' 2

f ( )=x ( ) ( )

si ottiene , quindi , quindi .

y =x + + = = +C

f g y y g y y → g y

y y 3

Adesso si abbia la seguente forma differenziale:

( )

√ √

2

+1

4 xy y dx+ 3 x y dy

Si vede subito che l’insieme di definizione è , possiamo usare il teorema

y ≥ 0 1

di caratterizzazione in un aperto, dato che la funzione non è di classe ,

C

poiché non è derivabile nel punto . Adesso verifico se è esatta, si ha:

(0, 0)

√ √

=6 =6

a x y ,b x y

y x

Quindi la forma è esatta. Adesso adotto i due procedimenti come prima.

=(0,1)

P

Per prima cosa mi fisso un punto iniziale e un punto generico

0

avendo una situazione del genere:

)

P=(x , y