Appunti di "Geometria Differenziale"

Geometria differenziale locale delle curve

Equazioni parametriche di curve regolari

a) Per dare la definizione di curve consideriamo i seguenti esempi:

• Una retta nel piano R² è una curva degenerata e si può rappresentare come grafico di un polinomio di 0-simo grado.
• Un arco di una curva continua di 1-simo grado è un'immagine di un'applicazione f : R → R².
• Tutte le funzioni continue f : I = R → R si dicono grafiche e corrispondono all'idea intuitiva di curve.
• Le concavente e le curve di equazioni x²-2x+y²-3y=3, pur essendo già grafici.
• In termini Whitney, qualche sottoinsieme chiuso è il luogo di zeri di una funzione.

b) Una curva parametrizzata di classe C^k in R^m con k ∈ N, m ≥ 2, è una funzione vettoriale di classe C^k, α : I ⊂ R → R^m, α(t) = (x₁(t), ..., x_m(t)). L’immagine α(I) è chiamata sostegno della curva e la variabile t ∈ I parametro della curva. Se I = [a, b] c’è un (a), diversamente la curva è chiusa. La curva α non è semplice se α è iniettiva su R.

c) Un omeomorfismo fra due spazi topologici X e Y è una funzione continua f : X → Y che è anche biunivoca e la cui inversa f^-1 : Y → X è continua. In altre parole: f è una corrispondenza biunivoca di X e Y. A ff : X → Y un intorno A di X aperto secondo la topologia di X ↔ l'f(A) di Y aperto secondo la topologia di Y.

d) Non tutte le curve parametrizzate forniscono un omeomorfismo fra l’intervallo di definizione I ed il sostegno α(I).

e) Una curva α : I → R^m è rettificabile se esiste un estremo superiore per l’insieme Λ delle lunghezze delle poligonali inscritti nella curva. Si definisce allora sup(Λ) = ℓ(α), le lunghezze della curve.

f) Se α : I è una curva parametrizzata di classe l allora α è rettificabile.

g) Poiché curve parametrizzate distinte come applicazioni possono descrivere le stesse immagini geometriche, ma anche un loro sostegno può essere percorso in modi geometrici diversi, occorre introdurre una relazione di equivalenza sulla classe delle curve parametrizzate.

h) Un diffeomorfismo fra due insiemi aperti ed omorni U in Rⁿ e V in R^m è una funzione f : U → V di classe C^∞ invertibile e f^-1, le sue inversa f^-1 : V → U e f sono psicazionik.

k) Due curve parametrizzate α : J → R^m e β : J → R^m sono equivalenti se esiste un diffeomorfismo fra α : J ⊂ R e α : J ⊂ R. β è una rappresentazione di α e J nell'cambio di parametri, σ: u → σ = σ(u), σ(u) ∈ J ∀u ∈ J.

i) Una curva di classe C^k in R^m è una classe di equivalenza di curve parametrizzate di classe C^k.

Geometria differenziale locale delle curve

Equazioni parametriche di curve regolari

• Una retta nel piano R² è una curva degenerata e si può rappresentare come grafico di un polinomio di 1^o grado.
• Un arco parabolico è il grafico di un polinomio di 2^o grado.
• Date le funzioni continue f : E → R, il cui grafico corrisponde all'idea intuitiva di curva.
• Le coinvolenze e le curve di equazioni x² + (y − 3)² = 1.
• In termini Whitney, qualora sottraiamo chiuso ... il luogo di zeri di una funzione ...

b) Una curva parametrizzata di classe C^k in R^m con k ∈ N, m ≥ 2, è una funzione vettoriale α di classe ℝ^k, α : I ⊂ ℝ → R^m, α(t) = (x₁(t), ..., x_m(t)).

d) Non tutte le curve parametrizzate forniscono un omomorfismo tra l'intervallo di definizione I di I, sostegno α(I).

e) Una curva α : I → R^m è rettificabile se esiste un estremo superiore per l'insieme L della lunghezza della poligonali inscritte nelle curve.

f) Se α è una curva parametrizzate di classe l^o allora α è rettificabile.

g) Date curve parametrizzate α, β : I → R^m, si dice che α e β sono equivalenti se esiste un differomorfismo φ : J → I di c. di K + α equivalente a β tramite il cambiamento di parametro t → t + u(t).

i) Una curva di classe C^k in R^m è una classe di equivalenza di curve parametrizzate di classe C¹ in Rⁿ, ogni elemento della classe di equivalenza è detta parametrizzazione della curva.

1. Due curve parametrizzate α: I → Rⁿ e β: J → Rⁿ sono equivalenti con la stessa orientazione se esistono un cambio di parametro h: J → I con derivata sempre positiva, i.e. h′> 0 e α(t) = β(h).
2. Due curve orientate è una classe di equivalenze di curve parametrizzate con la stessa orientazione.

Per costruire il versore tangente alle curve in α(t₀) si prende il limite per t→0 del versore secante le curve per i punti α(t₀ + t) e α(t₀ - t), ottenendo:

lim t→0 (1)/(‖α(t₀ + t) - α(t₀)‖) (α(t₀ + t) - α(t₀)) = T(s).

Si definisce α′(t) il vettore tangente alla curva α in un punto α(t); α’ t ∈ I, dice α’(t₀) ≠ 0 allora α’ raggiunto la retta per le rette passanti per α(t₀) e parallela α’(t₀), si parla di rette tangenti. La lunghezza del vettore tangente dipende dalla parametrizzazione scelta, ma la sua direzione no. Infatti, siano α: I → Rⁿ e β: J → Rⁿ un parametrizzazione equivalenti, ∃ ρ.