Differenziale di una funzione

Calcolo differenziale

Il differenziale

Il differenziale di una funzione è fondamentale per comprendere le variazioni delle funzioni rispetto ai cambiamenti nei loro argomenti. Sia data una funzione f: I → R con x ∈ I. Per definire il differenziale in un punto x ∈ I dobbiamo supporre che per ogni h ∈ R risulti: x + h ∈ I. Ciò significa che dobbiamo limitare la definizione di differenziale al dominio della funzione alla quale ci stiamo riferendo.

Il differenziale della funzione f è una funzione: df: I x R → R definita come df (x, h) = f′(x)h. Il differenziale puro: df (x) esprime la variazione della funzione f(x) al variare del suo argomento x nei dintorni di un punto x ∈ I in cui la funzione è differenziabile, e quindi continua e derivabile in x.

Rappresenta il contributo della sola variabile f alla variazione della funzione y = ax, nel passare da un argomento x a un argomento differente di dx, ritenendo nulle le altre variabili che esprimono la differenza iniziale rispetto all'origine, rispetto al parametro x.

La rappresentazione della funzione differenziale

La rappresentazione della funzione differenziale di y = f(x) è data dalla seguente espressione:

dy = f′(x) dx + f″(x) dx²/2!

Il termine: f″(x) dx²/2! è trascurabile rispetto al primo ad nessi incrementali. Questo termine può risultare differente dall'incremento di f(x), e nelle prove di esami è utile il formalismo dato dai differenziali.

Differenziale di una funzione

Il differenziale è un concetto utilizzato per semplificare le espressioni contenenti funzioni difficili da analizzare. Esso consente di sostituire la variazione di una funzione con la valutazione di un polinomio di primo grado che rappresenta la retta tangente alla curva nel punto in cui si vuole approssimare la funzione.

Determinare i limiti dell'approssimazione

Per determinare i limiti per cui l'approssimazione è valida si esplicita la definizione nella maniera seguente:

f'(xo) = lim x → xo (f(x) - f(xo)) / (x - xo)

∀ ε > 0 ∃ δε > 0 tale che ∀ x ∈ D(x) |x - xo| < δε implica:

• | (f(x) - f(xo)) / (x - xo) - f'(xo) | < ε

La funzione ε(x - xo) è un infinitesimo di ordine superiore al nullo, pertanto la variazione della funzione f può essere espressa come:

Δ f_{pote lineare} = f'(xo) (x - xo) + o (x - xo)

Per x → xo / Δx = x - xo → o / Δ f > o

La formula precedente conserva la sua validità e consente di definire il concetto di differenziale come limite dell'espressione precedente per x → xo, sintetizzando questo concetto con l'utilizzo dei simboli:

d_f = f'(xo) dx

Dove dx indica l'elemento infinitesimo di variazione della funzione.