Determinante e inversa di una matrice

Una generica matrice quadrata di ordine è invertibile se e solo se il suo

n

determinante non è nullo!

Proposizioni: = = 0

Dato un sistema di equazioni lineari del tipo , se allora si ha



A

x b det(A)

−1 −1

=

che esiste una matrice inversa tale che , e che quindi la soluzione

A x A b

al sistema è unica.

Corollario: se il sistema in questione è un sistema omogeneo, ovvero del tipo

= 0 = 0 = 0

, allora se si ha la soluzione è , dato che

A

x det(A) x



quest’ultima è sempre una soluzione ad un qualsiasi sistema omogeneo.

⊆ =

Data una generica matrice , allora se e solo se esiste

A Mat(m, n) rk(A) k

almeno un minore di ordine con determinante diverso da zero e se tutti i minori di

k

+ 1

ordine hanno determinante uguale a zero.

k

Corollario: per poter affermare che il rango della matrice non sia più di , allora

k

+ 1

basta dimostrare che il determinante di tutti i minori di ordine sia zero

k

Date due generiche matrici e , se entrambe sono invertibili allora anche il loro

A B

⋅

prodotto righe per colonne è invertibile.

A B

Proprietà del determinante:

1. Se due righe (o colonne) di una matrice generica sono uguali o se,

A

equivalentemente, una riga (o una colonna) della matrice è nulla, il

determinante della matrice è nullo.

−1

= = −det(B)

2. Date due matrici e , allora .

A B A det(A)

R

= ∀λ ∈ =

3. Date due matrici e , allora

A B λA, det(A) λ det(B)

4. Date due matrici e dove è uguale alla matrice aggiungendo a una

A B B A =

riga (o colonna) una combinazione lineare delle altre, allora det(A) det(B)

= )

t

5. det(A) det(A

= =

6. det(AB) det(BA) det(A)det(B)

−1 −1

) =

7. det(A det(A)

Determinante e inversa di una matrice 2