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Lezione 10 88

×

Ora vogliamo definire il determinante di una matrice A n n supponendo di saper

già calcolare il determinante delle matrici (n−1)×(n−1). Chiameremo complemento

il numero A dato da

algebrico di un elemento a ij ij i+j

= (−1) det M

A ij ij

− × −

ossia il determinante della matrice (n 1) (n 1) ottenuta cancellando la i-esima

riga e la j-esima colonna, cambiato di segno se la somma degli indici (i e j) è dispari

−1

i+j è un modo “compatto” di dire questo - ci ricordiamo, ovviamente, che

((−1) −1).

elevato a un numero pari fa 1, mentre elevato a un numero dispari rimane

−3 − −7

= 4 = e quindi A = 7 (abbiamo

Nell’esempio di sopra si ha det M

23 23

cambiato il segno perchè “il posto” 2 3 è dispari, nel senso che 2 + 3 = 5 è dispari).

Siamo pronti per la definizione del deteminante di una matrice n×.

Definizione 76 Se A è una matrice quadrata il suo determinante è quel numero che

si ottiene sommando gli elementi di una riga (o di una colonna) moltiplicati per il loro

complemento algebrico.

Prima di spaventarci, mettiamo subito in pratica questa definizione con una matrice

×

3 3. Possiamo, per esempio, calcolare il determinante della matrice

 

−3

3 0

 

  .

1 4 2

A = −1

2 3

Sviluppiamolo per esempio usando la prima riga

det A = a A + a A + a A

11 11 12 12 13 13

4 2 1 2 1 4

· − ·

= 3 0 + (−3)

−1 −1

3 2 3 2

− −

= 3(12 + 2) 3(−1 8) = 42 + 27 = 69 .

Notate che è implicito nella definizione il fatto (che stiamo dando per buono) che

per calcolare il determinante si possa usare una qualsiasi riga o una qualsiasi colonna

(ottenendo sempre lo stesso risultato, ovviamente!). Per esempio il determinante che

abbiamo appena calcolato poteva essere calcolato anche sviluppandolo rispetto alla

seconda colonna, ottenendo

A + a A + a A

det A = a 12 12 22 22 32 32

−3 −3

1 2 3 3

· · · ·

= 0 (−1) +4 + (−1) (−1)

2 3 2 3 1 2

= 4(9 + 6) + (6 + 3) = 60 + 9 = 69 .

Meno male! Viene lo stesso risultato.

È quindi chiaro che di volta in volta sceglieremo per calcolare il determinante, la

riga o la colonna più conveniente, per esempio quella con il maggior numero di zeri.

Osservazione: Segue subito dalla definizione che il determinante di una matrice che

ha una riga (o una colonna) di zeri è sempre uguale a zero (basta svilupparlo rispetto

a quella riga o a quella colonna).

Come si diceva all’inizio, abbiamo ricondotto il calcolo del determinante di una

× ×

matrice 3 3 al calcolo di 3 determinanti di matrici 2 2. E cosı̀ per quelle di ordine

superiore...

Lezione 10 89

Per quanto riguarda il calcolo del determinante di matrici 3×3 (e solo per queste)

vale la seguente regola di Sarrus che è decritta dal seguente diagramma

+ + + 

 a a a a a

11 12 13 11 12

✑ ✑

✑ 

 ◗ ◗ ◗

◗ ATTENZIONE

 a a a a a

21 22 23 21 22

✑ ✑

✑ ◗ ◗ ◗

◗ ◗ ×

a a a a a Solo per le matrici 3 3 !!!

31 32 33 31 32

− − −

ossia si ripetono, a destra della matrice, le prime due colonne. Della tabella cosı̀ ottenuta

si sommano i prodotti degli elementi di ognuna delle tre diagonali discendenti e quindi si

sottraggono i prodotti degli elementi di ognuna delle tre diagonali ascendenti, il risultato

cosı̀ ottenuto coincide con il determinante della matrice A di ordine 3. Provatelo con la

×

matrice 3 3 dell’esempio precedente. Vedrete che se non sbagliate i conti anche cosı̀

vi viene 69.

Usando il determinante si può dare una definizione alternativa di rango.

Definizione 77 Chiameremo sottomatrice di una matrice data A una matrice ot-

tenuta da A cancellando alcune righe e/o alcune colonne e chiameremo minore della

matrice A una sua sottomatrice quadrata.

Esempio 78 Se A è la seguente matrice

 

1 2 0 2

 

 

0 1 0 2

A = −5

1 1 0

allora

1 2 0 2

−5

1 1 0

è la una sua sottomatrice (ottenuta cancellando la seconda riga), mentre

 

1 2 2

 

 

0 1 2

1 1 0

è la sottomatrice quadrata (ossia un minore) ottenuta cancellando la terza colonna.

×

Definizione 79 Data una qualsiasi matrice A, m n (ossia con m righe e n colonne),

il rango di A è l’ordine del più grande minore (ossia del minore di ordine più grande)

con determinante diverso da zero.

Se volessimo quindi determinare il rango della matrice dell’esempio precedente

bisognerebbe calcolare il determinante dei minori più grandi che essa contiene, in questo

×

caso quelli di ordine 3 (essendo la matrice 4 3). Proviamo a calcolare il determinante

del minore ottenuto, nell’esempio, cancellando la terza colonna. Si ha (e si verifica

facilmente) che

1 2 2

= 0,

0 1 2

1 1 0

Lezione 10 90

ma questo non basta per concludere che il rango sia inferiore a 3. Se calcoliamo infatti

il determinante del minore ottenuto cancellando la prima colonna otteniamo

2 0 2

= 10 = 0.

1 0 2

−5

1 0

Questo basta per dedurre che il rango è 3 (ossia al primo minore a determinante non

nullo che si trova, ci si può fermare e quello determina il rango). Se invece avessimo

trovato che anche questo aveva determinante nullo e cosı̀ anche gli altri minori di ordine

3, avremmo concluso che il rango era minore di 3.

Per esempio data la matrice  

1 0 1

 

0 1 1

 

 

A =  

1 2 3

2 0 2

si verifica che tutti i minori di ordine 3 hanno determinante nullo (fatelo per esercizio).

Quindi per decidere se il rango sia 2 o 1, dobbiamo analizzare i minori di ordine 2.

Se ne troviamo almeno uno a determinante diverso da zero possiamo concludere che il

rango è 2. Per esempio il minore

1 0 ,

0 1

ottenuto cancellando la terza colonna e la terza e la quarta riga, ha determinante non

nullo. Quindi il rango è 2.

Per cercare di convincerci che questa nozione di rango (definita facendo uso del

determinante) è coerente con quella data all’inizio attraverso il metodo di riduzione di

Gauss, facciamo un paio di esempi istruttivi:

Esempio 80 Prendiamo una speciale matrice ridotta della forma

 

1 2 3 10

 

3 79

0 2

 

  .

A =  

0 0 3 115

0 0 0 7

Matrici di questa forma (cioè quadrate con gli elementi sotto la diagonale tutti nulli

e gli elementi della diagonale non nulli) si chiamano matrici triangolari. E ora cal-

coliamo il determinate di questa matrice usando la definizione. Evidentemente la cosa

più conveniente è svilupparlo usando la prima colonna (in cui ci sono quasi tutti zeri)

2 3 79

·

det A = 1 .

0 3 115

0 0 7

×

Dobbiamo ora calcolare questo determinante 3 3 che, ancora una volta, ci conviene

sviluppare lungo la prima colonna e quindi

3 115

· · · · ·

det A = 1 2 = 1 2 3 7 = 42 .

0 7

Quindi il determinante è semplicemente dato dal prodotto di tutti gli elementi della

diagonale. Ovviamente questo è vero per qualsiasi matrice triangolare (non importa di

che ordine sia).


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AUTORE

Sara F

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Calcolo NumericoDeterminante. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: per determinare i possibili valori del rango di una matrice in cui compare un parametro `e necessario esaminare i valori del parametro in modo da essere sicuri di volta in volta che la matrice trovata sia in forma ridotta...


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Calcolo Numerico e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Fantechi Alessandro.

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