Calcolo Numerico – Determinante

Lezione 10: Il determinante

Abbiamo notato nell’esempio della lezione precedente come può essere macchinoso studiare la compatibilità di un sistema al variare di un parametro utilizzando la riduzione di Gauss. Infatti, per determinare i possibili valori del rango di una matrice in cui compare un parametro è necessario esaminare i valori del parametro in modo da essere sicuri di volta in volta che la matrice trovata sia in forma ridotta. C’è un altro strumento che può essere usato per determinare il rango di una matrice quadrata: il determinante.

Determinante e rango di una matrice

Torniamo all’osservazione che il rango di una matrice è il numero di colonne (o righe) linearmente indipendenti che essa contiene. Consideriamo una matrice:

Qui il rango può essere 0, 1 o 2. Ovviamente il rango è zero solo se sono tutti nulli gli elementi della matrice. È facile vedere che il rango è 2 se e soltanto se i vettori a b e c d sono linearmente indipendenti.

Infatti, se fossero linearmente dipendenti (cioè proporzionali), avremmo:

a b = λ c d

Si avrebbe:

R₁ → R₁ - λR₂

A = a b - λb b → 0 0

A = c d λd d

e quindi il rango sarebbe 1. Ovviamente, per poter fare la riduzione che abbiamo appena fatto (e quindi moltiplicare una riga per d), dobbiamo supporre che d sia diverso da zero. Nel caso in cui d e/o b siano zero l’analisi è molto più semplice (e la tralasciamo), ma la conclusione di questo discorso varrà in generale.

Il viceversa (cioè che se ha rango 1 allora i due vettori sono linearmente dipendenti) è altrettanto facile da verificare. Scriviamo in un altro modo cosa significa che due vettori sono linearmente dipendenti. Se:

a = λb

c = λd

Moltiplicando la prima equazione per d e usando la seconda equazione si ha:

ad = λbd = bc
ad - cb = 0

Quindi la conclusione è la seguente:

←→ ha rango 2 (rango massimo) se e solo se ad - cb ≠ 0.

Il determinante

Questo numero ad - cb lo chiamiamo il determinante della matrice A. Il simbolo det A o la matrice con le barre piuttosto che con le parentesi rappresentano due modi alternativi di denotare il determinante di A.

Esempi di calcolo del determinante

• Se A =

  1	2
  3	4

  allora det A = (1)(4) - (2)(3) = -2;
• Se A =

  2	3
  1	4

  allora det A = (2)(4) - (3)(1) = 5;
• Se A =

  6	-3
  2	1

  allora det A = (6)(1) - (-3)(2) = 0.

In questi esempi, la prima e la seconda matrice hanno determinante non nullo e quindi hanno rango 2 (le loro colonne sono vettori linearmente indipendenti), mentre la terza ha determinante nullo e quindi ha rango 1.

Estensione del calcolo del determinante

Finora abbiamo definito il determinante di una matrice 2×2, cioè un'operazione che ad ogni matrice 2×2 associa un numero reale e abbiamo visto come questa nozione sia legata alla nozione di rango e di lineare indipendenza.

Vedremo come questa operazione si può definire (a partire dal caso delle matrici 2×2) per tutte le matrici 3×3, e da queste alle matrici 4×4 e così via... per tutte le matrici quadrate. E come anche nel caso generale questa operazione ci dia informazioni sul rango.

Come dicevo, l’idea è definire il determinante per le matrici n×n riconducendolo a quello delle matrici (n-1)×(n-1). Per fare questo abbiamo bisogno di qualche definizione: data una matrice A, n×n, denotiamo con M_ij la matrice (n-1)×(n-1) ottenuta dalla matrice A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna (un minore di ordine n-1).

Esempio di minore

Se prendiamo la matrice:

Allora la matrice M₂₃ si ottiene cancellando da A la seconda riga e la terza colonna, quindi: