Calcolo Numerico – Determinante

Analisi della linearità dei vettori

−R →Rda b λb b λb bR 1 2 2−→bA = =c d λd d 0 0e quindi il rango sarebbe 1. Ovviamente per poter fare la riduzione che abbiamo appenadb ) dobbiamo supporre ch e sia d sia b sianofatto (e quindi moltiplicare una riga perdiversi da zero. Nel caso in cui d e/o b sono zero l’analisi è molto più semplice...(e latralasciamo), ma la conclusione di questo discorso varrà in generale.Il viceversa (cioè che se ha rango 1 allora i due vettori sono linearmente dipendenti)è altrettanto facile da verificare.Scriviamo in un altro modo cosa significa che due vettori sono linearmente dipen-denti. Se a = λbc = λdmoltiplicando la prima equazione per d e usando la seconda equazione si ha⇐⇒ −ad = λbd = bc ad cb = 0 .Quindi la conclusione è la seguente: a b ⇐⇒ − ha rango 2 (rango massimo) ad cb = 0 .A = c d 86Lezione 10 87−Questo numero ad cb lo chiamiamo il determinante della matrice A.

Il simbolo det A o la matrice con le barre piuttosto che con le parentesi rappresentano due modi alternativi di denotare il determinante di A:

a b

c d

Esempio 1:

Se A =

2 3

1 2

allora det A =

3 4

2 2

= 3*2 - 4*2 = -2

Esempio 2:

Se A =

1 4

2 2

allora det A =

8 2

1 4

= 8*4 - 2*1 = 30

Esempio 3:

Se A =

-3 6

-2 1

allora det A =

6 6

-3 6

= 6*1 - 6*(-3) = 24

In questo esempio la prima e la seconda matrice hanno determinante non nullo e quindi hanno rango 2 (le loro colonne sono vettori linearmente indipendenti), mentre la terza matrice ha determinante nullo e quindi ha rango 1.

Finora abbiamo definito il determinante di una matrice 2x2, cioè un'operazione che associa ad ogni matrice 2x2 un numero reale e abbiamo visto come questa nozione sia legata alla nozione di rango e di linearità indipendenza. Vedremo come questa operazione si può definire (a partire dal caso delle matrici 2x2) per tutte le matrici 3x3, e da queste alle matrici 4x4 e...

cosı̀ via....per tutte le matrici quadrate. E come anche nelcaso generale questa operazione ci dia informazioni sul rango. ×Come dicevo, l’idea è definire il determinante per le matrici n n riconducendolo− × −a quello delle matrici (n 1) (n 1). ×Per fare questo abbiamo bisogno di qualche definizione: data una matrice A, n n,− × −la matrice (n 1) (n 1) ottenuta dalla matrice A cancellandodenotiamo con Mij −la i-esima riga e la j-esima colonna (un minore di ordine n 1).Esempio 75 Se prendiamo la matrice 3 2 3  A = 1 4 1−12 5allora la matrice M si ottiene cancellando da A la seconda riga e la terza colonna e23quindi 3 2= .M −123 2Lezione 10 88×Ora vogliamo definire il determinante di una matrice A n n supponendo di sapergià calcolare il determinante delle matrici (n−1)×(n−1). Chiameremo complementoil numero A dato daalgebrico di un elemento a ij ij i+j= (−1)

det MA ij ij− × −ossia il determinante della matrice (n 1) (n 1) ottenuta cancellando la i-esimariga e la j-esima colonna, cambiato di segno se la somma degli indici (i e j) è dispari−1i+j è un modo “compatto” di dire questo - ci ricordiamo, ovviamente, che((−1) −1).elevato a un numero pari fa 1, mentre elevato a un numero dispari rimane−3 − −7= 4 = e quindi A = 7 (abbiamoNell’esempio di sopra si ha det M23 23cambiato il segno perchè “il posto” 2 3 è dispari, nel senso che 2 + 3 = 5 è dispari).Siamo pronti per la definizione del deteminante di una matrice n×.Definizione 76 Se A è una matrice quadrata il suo determinante è quel numero chesi ottiene sommando gli elementi di una riga (o di una colonna) moltiplicati per il lorocomplemento algebrico.Prima di spaventarci, mettiamo subito in pratica questa definizione con una matrice×3 3. Possiamo, per esempio, calcolare il

〈〉-33 0
-12 3
4 2

det A = -33 det 〈〉3 2
-12 2
4 3

det A = -12 det 〈〉-33 0
4 2
4 3

La riga o la colonna più conveniente, per esempio quella con il maggior numero di zeri.

Osservazione: Segue subito dalla definizione che il determinante di una matrice che ha una riga (o una colonna) di zeri è sempre uguale a zero (basta svilupparlo rispetto a quella riga o a quella colonna).

Come si diceva all'inizio, abbiamo ricondotto il calcolo del determinante di una matrice 3x3 al calcolo di 3 determinanti di matrici 2x2. E così per quelle di ordine superiore...

Per quanto riguarda il calcolo del determinante di matrici 3x3 (e solo per queste) vale la seguente regola di Sarrus che è decritta dal seguente diagramma:

+ + + 
 a a a 
a11 12 13 
11 12✑✑✑ ✑✑✑ 
 ◗ ◗ ◗
 a a a 
a21 22 23 
21 22✑✑✑ ✑✑✑ 
◗ ◗ ◗◗ 
a a a 
31 32 33 
31 32− − −

Ossia si ripetono, a destra della matrice, le prime due colonne. Della tabella così

ottenutasi sommano i prodotti degli elementi di ognuna delle tre diagonali discendenti e quindi si sottraggono i prodotti degli elementi di ognuna delle tre diagonali ascendenti, il risultato così ottenuto coincide con il determinante della matrice A di ordine 3. Provatelo con la matrice 3x3 dell'esempio precedente. Vedrete che se non sbagliate i conti anche così vi viene 69.

Usando il determinante si può dare una definizione alternativa di rango.

Definizione 77: Chiameremo sottomatrice di una matrice data A una matrice ottenuta da A cancellando alcune righe e/o alcune colonne e chiameremo minore della matrice A una sua sottomatrice quadrata.

Esempio 78: Se A è la seguente matrice

1 2 0 2
0 1 0 2
-5 1 0

allora

1 2 0 2
-5 1 0

è una sua sottomatrice (ottenuta cancellando la seconda riga), mentre

1 2 2
0 1 2
1 1 0

è la sottomatrice quadrata (ossia un minore) ottenuta cancellando la terza colonna.

Data una qualsiasi matrice A, m n (ossia con m righe e n colonne), il rango di A è l'ordine del più grande minore (ossia del minore di ordine più grande) con determinante diverso da zero.

Se volessimo quindi determinare il rango della matrice dell'esempio precedente bisognerebbe calcolare il determinante dei minori più grandi che essa contiene, in questo caso quelli di ordine 3 (essendo la matrice 4x3).

Proviamo a calcolare il determinante del minore ottenuto, nell'esempio, cancellando la terza colonna. Si ha (e si verifica facilmente) che:

1 2 2
0 1 2
1 1 0

ma questo non basta per concludere che il rango sia inferiore a 3. Se calcoliamo infatti il determinante del minore ottenuto cancellando la prima colonna otteniamo:

2 0 2
1 0 2
-5 1 0

Questo basta per dedurre che il rango è 3 (ossia al primo minore a determinante non nullo che si trova, ci si può fermare e quello determina il rango). Se invece avessimo trovato...

che anche questo aveva determinante nullo e cosı̀ anche gli altri minori di ordine3, avremmo concluso che il rango era minore di 3.

Per esempio data la matrice

 
1 0 1
 
0 1 1
 
 
 
1 2 3
2 0 2

si verifica che tutti i minori di ordine 3 hanno determinante nullo (fatelo per esercizio).

Quindi per decidere se il rango sia 2 o 1, dobbiamo analizzare i minori di ordine 2.

Se ne troviamo almeno uno a determinante diverso da zero possiamo concludere che il rango è 2.

Per esempio il minore

1 0
0 1

ottenuto cancellando la terza colonna e la terza e la quarta riga, ha determinante nonnullo.

Quindi il rango è 2.

Per cercare di convincerci che questa nozione di rango (definita facendo uso del determinante) è coerente con quella data all'inizio attraverso il metodo di riduzione di Gauss, facciamo un paio di esempi istruttivi:

Esempio 80 Prendiamo una speciale matrice ridotta della forma

 
1 2 3 10√
 
3 790 2
 
 
 
0 0 3 1150 0 0

Matrici di questa forma (cioè quadrate con gli elementi sotto la diagonale tutti nulli e gli elementi della diagonale non nulli) si chiamano matrici triangolari. E ora calcoliamo il determinante di questa matrice usando la definizione. Evidentemente la cosa più conveniente è svilupparlo usando la prima colonna (in cui ci sono quasi tutti zeri):

√ 2 3 7

det A = 1 .0 3

1 1 5

0 0 7

Dobbiamo ora calcolare questo determinante 3x3 che, ancora una volta, ci conviene sviluppare lungo la prima colonna e quindi:

det A = 1 2 = 1 2 3 7 = 42 .0 7

Quindi il determinante è semplicemente dato dal prodotto di tutti