Derivate, regole di derivazione e punti di non derivabilità

Derivata di una Funzione

Definizione:

Equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto x₀.

y - f(x₀) = m(x - x₀).

Come lo trovo?

m_sec = ^Δy/_Δx = ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_{x0 + h - x0} = ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h

Rapporto Incrementale

m_TG = lim_{h → 0} ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h

• Se questo limite esiste ed è finito, la funzione y = f(x) si dice derivabile nel punto di ascissa x₀ e il valore che il limite assume prende il nome di derivata di f in x₀.
• [f'¹(x₀)]

Derivate Particolari:

y = [f(x)]^g(x)

y' = e^g(x)ln[f(x)].

y = f[g(x)]

y' = f'¹[g(x)]·g'¹(x).

Derivata di una funzione

Definizione:

Equazione della retta tangente al grafico di f(x) nel punto x₀.

y - f(x₀) = (x - x₀). Come lo trovo?

m_sec = Δy/Δx = [f(x₀ + h) - f(x₀)]/(x₀ + h - x₀) = [f(x₀ + h) - f(x₀)]/h Rapporto incrementale

m_TG = lim_{h → 0} [f(x₀ + h) - f(x₀)]/h

Se questo limite esiste ed è finito, la funzione y = f(x) si dice derivabile nel punto di ascissa x₀ e il valore che il limite assume prende il nome di derivata di f in x₀ [f'(x₀)].

Derivate particolari:

y = [f(x)]^g(x)

y' = e^g(x)ln[f(x)].

y = f[g(x)]

y' = f'[g(x)] · g'(x).

Derivate di funz. elementari

• y = K
• y = xⁿ
• y = x
• y = √x
• y = senx
• y = cosx
• y = tgx
• y = a^x
• y = e^x
• y = lga x
• y = lnx
• y = arcsenx
• y = arccosx
• y = arctgx
• y = [f(x), g(x)]
• y = [_f(x)/_g(x)]

• y' = 0
• y' = n x^n-1
• y' = 1
• y' = 1/2√x
• y' = cosx
• y' = -senx
• y' = 1/cos²x = 1 + tg²x
• y' = a^x ln a
• y' = e^x
• y' = 1/x ln a
• y' = 1/x
• y' = 1/√1-x²
• y' = -1/√1-x²
• y' = 1/1+x²
• y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
• y' = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)]/[g(x)]²

DERIVATE di FUNZ. COMPOSTE

• y = [f(x)]ⁿ

  y' = n [f(x)]^n-1 ⋅ f'(x)

• y = √f(x)

  y' = 1 / (2√f(x)) ⋅ f'(x)

• y = sen [f(x)]

  y' = cos [f(x)] ⋅ f'(x)

• y = cos [f(x)]

  y' = -sen [f(x)] ⋅ f'(x)

• y = tg [f(x)]

  y' = 1 / (cos²[f(x)]) ⋅ f'(x)

• y = a^f(x)

  y' = a^f(x) ⋅ f'(x) ⋅ lna

• y = e^f(x)

  y' = e^f(x) ⋅ f'(x)

• y = lga [f(x)]

  y' = 1 / (f(x) ⋅ lna) ⋅ f'(x)

• y = ln [f(x)]

  y' = 1 / f(x) ⋅ f'(x) = f'(x) / f(x)

• y = arcsen [f(x)]

  y' = 1 / √(1 - [f(x)]²) ⋅ f'(x)

• y = arccos [f(x)]

  y' = -1 / √(1 - [f(x)]²) ⋅ f'(x)

• y = arctg [f(x)]

  y' = 1 / (1 + [f(x)]²) ⋅ f'(x)

Punti di non derivabilità

La continuità della funzione è una condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità della funzione nel punto in esame.

Se f(x) non è continua in x₀, sicuramente non è nemmeno derivabile in x₀.

f_b(x) = { sin x / x x≠0 0 x=0 }

È derivabile in x=0? No! Infatti f(x) non è continua in x₀.

lim f(x) = lim sin x / x = 1 x→0

Se f(x) è continua in x₀, non è detto che sia derivabile in x₀.

Come fare:

lim f'(x) x→x₀^- e lim f'(x) x→x₀⁺

1) Se esistono, uguali e finiti ⇒ f(x) è derivabile in x₀ e il valore comune dei due limiti coincide con f'(x₀).

y = { cos x x≥0 x²+1 x