Derivate (Parte 2): teoria ed esercizi

DERIVATE

f: I → ℝ

x₀ ∈ I

I intervallo

f è derivata in x₀ ⇔

1. lim_x→x0 Rf(x,x₀) = lim_x→x0 ^f(x)-f(x₀)/_x-x0 ∈ ℝ

oppure

1. ∃ l ∈ ℝ: f(x) = f(x₀) + l(x-x₀) + o(x-x₀) x → x₀

Oss: Scriviamo Rf(x, x₀) _{x ≠ x0} nel seguente modo:

• Poniamo h = x - x₀ cioè x = h + x₀

→ Rf(x₀ + h, x₀) = ^{f(x₀ + h) - f(x₀)}/_h

Derivata delle funzioni elementari

1. f(x) = e^x

   • f: ℝ → ℝ
   • ? f'(x₀)

   Considero (f(x₀+h) - f(x₀)) / h

   = (e^x₀+h - e^x₀) / h →

   = e^x₀ → (f'(x₀) = e^x₀) ∀ x₀ ∈ ℝ

   f(x) = e^x

2. f(x) = sen x

   • f: ℝ → ℝ
   • ? f'(x₀)

   _{f(x0+h) - f(x0)} / _h = _{sen(x0+h) - sen x0} / _h

   = sen x₀ cos h + sen h cos x₀ - sen x₀

   = sen x_{0 (cos h - 1)} / _h + _{sen h cos x0} / _h

   _{(cos h - 1)} / _h → 0 h → 0 cos x₀

   (sen(x₀) = cos x₀)

3. f(x) = cos x

   f'(x) = -sen x ∀ x ∈ ℝ

es

Calcolare f'(x) dove f(x) = cos (x⁵ + 2x + 3)

x ∈ ℝ

oss: f = g∘h, perché composizione di funzioni derivabili

f(x) = g (h(x))

f'(x) = -sen (x⁵ 2x + 3) ⋅ (5x⁴ + 2)

es

Calcolare f'1 dove f₁(x) = e^{cos (x5)}

x ∈ ℝ

f₁'(x) = e^cos(x5) ⋅ d/dx (cos(x⁵)) = e^{cos (x5)} ⋅ (-sen (x⁵) ⋅ 5x⁴) =

- e^cos(x5) (-sen (x⁵)) ⋅ 5x⁴

es

h(x) = √(x² + 1 / x² + 2)

x ∈ ℝ

h'(x) = ?

d/dx x^a = α ⋅ x^α-1 ∀ x > 0

α = 1/2

d/dx √x = 1/2√x ∀ x > 0

h'(x) = 1 / 2 √(x² + 1 / x² + 2) ⋅ d/dx ((x² + 1) / x² + 2) = 1 / 2 √(x² + 1 / x² + 2)

(2⋅x(x² + 2) - (x² + 1) ⋅ 2⋅x) / (x² + 2)²

(ES.) f(x) = √|log x|

• Stabilire dove f′ è calcolabile

Dominio: x > 0 f: ]0, +∞ [→ ℝ

Se x ≠ 1 ⇔ log x ≠ 0 allora f(x) perché f è composizione di funzioni derivabili

Inoltre f′(x) =

Se x = 1 ⇏ ∃ f′(1) ?

1. f è continua in 1
2. ? lim_x→1 f′(x)

lim_x→1 (↔ f(x) → ±∞ ↔ f′(x) = ∞

f′(x) = ¹/_{2√|log x|}

sgn(log x) . ¹/_x

sgn(log x) = { 1 log x > 0 -1 log x < 0 }

{ 1 x > 1 -1 x < 1 }

Se x ≠ 1 ∃ f′(x) Se x = 1 ∄ f′(1)

0, 1

√2

√2/5

Insieme delle soluzioni

D = [-√2, 0] ∪ [0, 1, √2/5] = [-√2, √2/5]

6) (2,5 punti) Limite

lim x→0⁺ (x log(1 + sen 1/x))

uso N

(1/x + 3)/3

-log(1+t) ~ t t→0

log (1 + sen 1/x) ~ sen 1/x ~ 1/x⁰

N: log (cos 1/x)² = log (1 + cos 1/x - 1)

~ x

cos 1/x - 1 ~ -1/x · 1 · cost · 1 · t²/2 t→0

~ -x²/2 ~ -1/2x²

N

D

x/-2x² · -3 ~ 3 = 3/2

7) (4,5 punti)

lim x→0 (e^(2x⁺) - e²)/e (cos(e^(x-1)) - 1 + x²/2 + x³)

e² + x

e² · e² (e² - 1) ~ x · e²

e^t - 1 ~ t t→0

e^x ~ 1 + x + o(x)

cost = 1 - t²/2 + o(t²)

cos(e^(x - 1) - 1 - x²/2 - x³/3

-cos(1 + x + o(x))

~ 1 - x + x²/2 + x³

-1 (x + o(x))²

+ o((1 + o(x))²) - 1 + x²/2 + x³ =

- o(x)² + x³ - o(x²)

-x e² · o((x)²) e² e² · o(x³)

o(x⁴) → NON è sufficiente!

ripetiamo con quella del 2^o ordine

Test di monotonia

1. si studia il dominio della funzione
2. si trova la derivata di f ➔ f'(x)
3. si studia il segno di f'(x)
4. si scrivono gli intervalli in cui è oppure