→ x2+3 log sen x ∼ 1⁄x2- ( -x2⁄6 ) - 1⁄6
→ 1⁄x log ( sen⁄x) ⊵ 1⁄6
→ lim ( sen x⁄x ) = e1⁄6
oss ( x0)
limx > 0 sen x⁄x2- ( -1⁄2 )
DERIVATE
Ip: f: I → R x0 ∈ I I intervallo
. f e deviata in x0 ⇔
1) limx → x0 R f ( x , x0) = limx → x0 f(x)-f(x0)⁄x-x0] ∈ R
oppure
7) l e ∈ R: f(x) - f(x0) + l( x-x0) + o(x-x0) x → x0
oss: scriviamo Rf (x , x0)
x ≠ x0
nel seguente modo:
- poniamo h = x - x0 cioè x = h + x0
- ⇒ Rf (x0 + h, x0) = f( x0 + h ) - f( x0)⁄h
⇒ 1⁄x2+x3 logsenx⁄x ∼ 1⁄x2 - (-x2)⁄6 - 1⁄6
1⁄x2+x3 log senx⁄x ➟ e1⁄6
x→0
RS limes esenx⁄x2 o xx - 1⁄2 o
x → x0
DERIVATE
p: I → IR x0 ∈ I I intervallo
f è derivata in x0 ↔
- limes Rf(x,x0) = limes f(x) - f(x0)⁄x-x0 ∈ IR
- 3 l ∈ IR: f(x) - f(x0) + l(x-x0) + o(x-x0)
Oss: Scriviamo Rf(x,x0)
x ≠ x0
nel seguente modo:
- poniamo h=x-x0 cioè x=h+x0
⇒ Rf(x0+h,x0) = f(x0 + h) - f(x0)⁄h
Derivata delle Funzioni Elementari
1) f(x) = ex
- f: ℝ → ℝ
- ∃ f'(x)
x0∈ℝ
Considero R(f(x0+h), x0) = f(x0+h) - f(x0) / h = ex0(eh - 1)/h
h → 0 (eh - 1)/h → 1
ex = f'(x)
f'(x) = ex ∀ x ∈ ℝ
f(x) = ex
2) f(x) = sen x
- f: ℝ → ℝ
- ∃ f'(x)
f(x0+h) - f(x0) / h = sen(x0+h) - sen x0 / h = sen x0 cos h + sen h cos x0 - sen x0
sen x0 h (cos h -1) / h → 0
sen h cos x0 → 1
h → 0 cos x0
f'(x) = cos x
3) f(x) = cos x
f'(x) = -sen x ∀ x ∈ ℝ
polinomi
f (costante) = 0
∀ x ∈ ℝ
f (x) = x
Rt (f (x), x0) = f (x)
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