Derivate di funzioni, significato geometrico - Analisi matematica

La curva liscia e gli spigoli

Vogliamo essere in grado di distinguere in quali casi il grafico di una funzione continua è una curva "liscia", come nel primo esempio, e in quali casi sono presenti invece dei punti "spigolosi", come nel secondo esempio.

Osserviamo che in un punto qualsiasi del grafico del primo esempio è sempre possibile disegnare la retta tangente al grafico nel punto, mentre ciò non è vero nei punti "spigolosi" del secondo grafico.

Come definire la retta tangente al grafico nel punto (x, f(x)):

Fissiamo il punto sulla curva. Consideriamo un incremento dell'ascissa Δx ≠ 0.

Consideriamo ora la retta passante per i punti (x, f(x)) e (x+Δx, f(x+Δx)). Tale retta è detta secante (poiché interseca il grafico in due punti) il grafico di f nei punti (x, f(x)) e (x+Δx, f(x+Δx)).

La retta tangente al grafico nel punto (x, f(x)) è la retta che passa per il punto (x, f(x)) e ha la stessa pendenza della secante quando Δx tende a 0.

limite∈x I0( ) ( )+h −flim f x x0 0 , e in tal caso si dice derivata di' ( ) ff xh →0 ' ( )=f x 00hin .x 0

Geometricamente la derivata è il coefficiente angolaredella retta tangente, non verticale, al grafico della funzionenel punto .( )( )x , f x0 0

Definizione: Sia , con intervallo. Sia e∈x I⊆f : I→R I R 0( ) ( )+ −ff x h xtale che . Allora si dice rapporto0 0+x h∈ Ih≠ 0 0 hincrementale di in .( )( )x , f xf 0 0

Quindi, la derivata di una funzione è anche il limite perdel rapporto incrementale mentre il coefficienteh →0angolare della retta secante il grafico della funzione neipunti e è proprio il rapporto( ) ( )( ) ( )+h +hx , f x x , f x0 0 0 0incrementale.

[Svolgimento pratico] – Come stabilire l’equazione dellaretta tangente al grafico di una funzione data in undeterminato punto ( )( )x , f x .0 01. Si calcola la derivata prima nel punto (quindi six 0calcola )' ( )f x 02. Si sostituisce

Al posto della x il valore di x 0 nell'equazione della derivata prima calcolata nel precedente passaggio. Abbiamo trovato il valore del coefficiente angolare della retta tangente m.

Per calcolare l'intercetta q si sostituiscono i valori di e di m nella seguente formula: y = mx + q, dove x è il valore di x 0.

Si ottiene sostituendo al posto della x il valore di f(x 0).

L'equazione della retta tangente sarà quindi y = mx + q.

Definizione: Una funzione f definita in un intervallo reale I si dice derivabile in I se è derivabile. Se una funzione f è derivabile in I, si può definire una nuova funzione f' (x) che si chiama derivata prima di f.

La derivata prima di f(x) si calcola come limite della differenza tra f(x + h) e f(x) diviso h, quando h tende a 0.

Quindi f'(x) = lim (f(x + h) - f(x))/h quando h tende a 0.

Teorema sulla continuità di funzioni derivabili:

Definizione: Sia f una funzione definita in un intervallo I e sia x un punto in I. Se f è derivabile in x, allora f è continua in x.

Dimostrazione: lim (f(x) - f(x))/x - x 0.

Sia è derivabile in x. Allora f(x) → x' (0) ∈ R.
0x−x 0 non in termini di h, ma di δ), allora:
x 0 (f(x)−f(0)) / (x−0) = f'(0).
Lim x 0 (x−0) / (x−0) = 1 (non in termini di h, ma di δ), per x → 0.
f'(0) = Lim x 0 (f(x)−f(0)) / (x−0) = Lim x 0 (f(x)−f(0)) / (x−0) = f'(0).