Derivate di funzioni, significato geometrico - Analisi matematica

Lezione 25

Continuità di una funzione e suo grafico

Abbiamo visto che la continuità di una funzione in un intervallo implica che il suo grafico sia costituito da un'unica curva. Vogliamo essere in grado di distinguere in quali casi il grafico di una funzione continua è una curva “liscia”, come nel primo esempio, e in quali casi sono presenti invece dei punti “spigolosi”, come nel secondo esempio.

Retta tangente e punti spigolosi

Osserviamo che in un punto qualsiasi del grafico del primo esempio è sempre possibile disegnare la retta tangente al grafico nel punto, mentre ciò non è vero nei punti “spigolosi” del secondo grafico.

Definizione della retta tangente

Come definire la retta tangente al grafico nel punto \((x_0, f(x_0))\)?

Fissiamo il punto sulla curva \(y = f(x)\). Consideriamo un incremento dell’ascissa \(h \neq 0\). Consideriamo ora la retta passante per i punti \((x_0, f(x_0))\) e \((x_0 + h, f(x_0 + h))\). Tale retta è detta secante (poiché interseca il grafico in due punti).

La retta tangente al grafico nel punto \((x_0, f(x_0))\) è la retta che si ottiene a partire dalla retta secante quando si fa tendere \(h\) a 0 (cioè quando il punto \((x_0 + h, f(x_0 + h))\) tende al punto \((x_0, f(x_0))\)).

Posizione limite della retta tangente

Questa retta “posizione limite” deve esistere. Dal punto di vista grafico, dobbiamo immaginare una rotazione della retta secante provocata dall’avvicinamento dei due punti nel grafico.

Osserviamo che il coefficiente angolare della retta secante (retta passante per due punti – coefficiente angolare è la differenza delle ordinate fratto la differenza delle ascisse) è:

\[ m = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]

E quindi l'equazione della retta secante è:

\[ y = f(x_0) + m(x - x_0) \]

Se \(h \to 0\) e se esiste la posizione limite della retta secante, tale retta (cioè la retta tangente) avrà coefficiente angolare:

\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0} m = t \]

Definizione di derivata

Definizione: Sia \( f: I \to \mathbb{R} \), con \( I \subset \mathbb{R} \) intervallo. \( f \) si dice derivabile in \( x_0 \in I \) se esiste finito il limite:

\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \]

e in tal caso si dice derivata di \( f \) in \( x_0 \).