Derivate

L’introduzione del concetto di derivata è dovuto a:

La retta tangente al grafico di una funzione

 Sia f: [a,b]⟶R continua e sia x0∈]a,b[. Consideriamo la retta r congiungente i punti

(x0, f(x0)) e (x,f(x)) sul grafico di f. Al tendere di x a x0 essa si approssima sempre

più alla retta tangente al grafico di f nel punto (x0,f(x0)). In particolare il coefficiente

angolare m della retta tangente m=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0).

x⟶x0

La velocità di un punto in movimento

 Consideriamo sulla retta reale un punto P in movimento. Sia s(t) la sua posizione

rispetto all’origine al tempo t. Fissato il tempo t0, la quantità [s(t)-s(t0)]/(t-t0) può

essere interpretata come la velocità media del punto P sull’intervallo di tempo [t0,t].

Se t tende a t0, la velocità media approssimerà la velocità istantanea di P al tempo

t0: v(t0)=lim [s(t)-s(t0)]/(t-t0).

t⟶t0

I due problemi sopra esposti portano a considerare la quantità [f(x)-f(x0)]/(x-x0) detta

rapporto incrementale di f in x0.

Definizione di derivata e prime proprietà

Derivata in un punto

Siano I un intervallo, f:I⟶R e x0∈I. Se esiste lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0) indicheremo tale

x⟶x0

valore con f’(x0)/Df(x0) e lo diciamo derivata prima di f in x0. Diciamo che f è derivabile in x0

se f’(x0)∈R.

Ponendo x-x0=h si ha f’(x0)=lim [f(x0+h)-f(x0)]/h.

h⟶0

Funzioni derivabili e derivata prima

Siano I un intervallo e f:I⟶R. Diremo che f è derivabile su I se è derivabile in ogni punto di

I. La funzione f’:I⟶R è detta la funzione derivata prima di f.

Interpretazione geometrica della derivabilità

Se f è derivabile in x0 allora f’(x0)∈R è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico

di f in (x0,f(x0)) la cui equazione è y=f(x0)-f’(x0)(x-x0).

Notiamo che se f è derivabile in x0 lim [f(x)-f(x0)-f’(x0)(x-x0]/(x-x0)=0. Il grafico y=f(x) di f

x⟶x0

è ben approssimato da quello della retta tangente y=f(x0)+f’(x0)(x-x0) vicino a x0 a meno di

errori infinitesimi di ordine maggiori di uno, dal momento che lo scarto r1(x)=f(x)-f(x0)-f’(x0)

(x-x0) risulta essere un infinitesimo di ordine >1.

Interpretazione analitica della derivabilità

Se f è derivabile in x0 possiamo scrivere f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+r1(x). La formula analitica di

f vicino a x0 è approssimata tramite un polinomio di primo grado a meno di un errore

infinitesimo di ordine >1.

Derivate di ordine superiore

Siano I un intervallo, f:I⟶R e x0∈I. Diciamo che f è derivabile n-volte in x0 se f è derivabile

(n-1)-volte in I e se la sua derivata di ordine (n-1) è derivabile in x0 e scriveremo f^(n) (x0) o

D^n f(x0).

Leibnitz e Newton introdussero delle notazioni per il calcolo delle infinitesime:

Leibnitz usò per le derivate i simboli df/dx, d^2f/dx^2, …, d^nf/dx^n. La motivazione è

 di natura geometrica. Notiamo che detti Δf(x0)=f(x)-f(x0) e Δx=x-x0 gli incrementi che

compaiono nel rapporto incrementale si ha f’(x0)= lim Δf(x0)/Δx. Leibnitz

x⟶0

Δ

introdusse la notazione f’(x0)=df(x0)/dx=df/dx (x0) pensando al fatto che per x⟶x0

gli incrementi Δf(x0) e Δx divenissero infinitesimi. (a Leibnitz si attribuisce

l’invenzione del calcolo degli infinitesimi).

Differenziale

La formula f’(x0)=df(x0)/dx=df/dx (x0) porta alla scrittura df(x0)=f’(x0)dx. La quantità

df(x0) è detta il differenziale di f in x0; è da considerarsi come l’incremento

infinitesimo della funzione f quando la variabile x passa da x0 a x0+dx. Il differenziale

di f in x0 è dunque dato dalla quantità f’(x0)dx.

Newton usò i simboli ė, ë, … (al posto della e la f e), usando cioè i punti sopra la f in

 numero pari all’ordine della derivata in questione.

Verifichiamo la derivabilità di due funzioni molto semplici:

Le funzioni costanti sono derivabili e hanno derivata nulla. f(x)=c costante. lim [f(x)-f(x0)]/

x⟶x0

(x-x0)= lim [c-c]/(x-x0)= lim (0)/(x-x0)=0.

x⟶x0 x⟶x0

La funzione identica f(x)=x è derivabile su R e f’(x)=1. f(x)=x. lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=

x⟶x0

lim (x-x0)/(x-x0)=1.

x⟶x0

La derivabilità implica la continuità

Siano I un intervallo, f:I⟶R e x0∈I. Supponiamo che f sia derivabile in x0. Allora f è continua

in x0.

OSS. la derivabilità⇒la continuità, ma la continuità⇏la derivabilità. Esistono anche funzioni

continue su intervalli aperti che non sono derivabili in nessun punto: il primo esempio è

dovuto a Weierstrass.

Derivate destre e sinistre

Siano I un intervallo, f:I⟶R e x0∈I. I limiti lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0) e lim [f(x)-f(x0)]/(x-

x⟶x0+ x⟶x0-

x0) verranno detti le derivate destra e sinistra di f in x0 e si indicano con f’+(x0) e f’-(x0). Se

esse coincidono, allora f ammette derivata in x0 ed il loro valore comune è la derivata di f in

x0.

Una classe notevole di punti di non derivabilità è contenuta nella seguente definizione.

ઠ>0

Ǝ

Diremo un punto x0 è interno ad I se : ]x0-ઠ, x0+ઠ[ ⊆I.

Punti notevoli di non derivabilità

Siano I un intervallo, f:I⟶R continua in x0∈I.

Diciamo che x0 interno ad I un punto angoloso per f se esistono le derivate destra e

 sinistra e almeno una delle due appartiene a R e f’+(x0)≠f’-(x0).

Diciamo che x0 è un punto a tangente verticale se f’+(x0)=+∞ o f’-(x0)=-∞.

 Diciamo che x0 interno a I è un punto di cuspide se f’+(x0)=+∞ e f’-(x0)=-∞ oppure f’+

 (x0)=-∞ o f’-(x0)=+∞.

OSS. nel caso di un punto angoloso, il grafico di f in (x0,f(x0)) ammette “due tangenti”.

OSS. esempi analitici tipici delle tre tipologie:

la funzione y=|x| presenta punto angoloso in x0=0

 la funzione y=∛x presenta un punto a tangente verticale in x0=0

 la funzione y=√|x| presenta un punto di cuspide in x0=0



Regole di derivazione

Derivata di somme, prodotti e quozienti

Siano I un intervallo, f,g:I⟶R derivabili in x0∈I. Valgono i seguenti fatti:

● la somma f+g è derivabile in x0 e si ha (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)

consideriamo il rapporto incrementale di f+g in x0:

lim [f(x)+g(x)-f(x0)-g(x0)]/(x-x0)=

x⟶x0

lim {[f(x)-f(x0)/(x-x0)]+[g(x)-g(x0)/x-x0]} dove

x⟶x0

◼ ◼=f’(x0) ◼ ◼=g’(x0)

lim / e lim /

si ha per il teorema della somme dei limiti che

lim [f(x)+g(x)-f(x0)-g(x0)]/(x-x0)=f’(x0)+g’(x0)

x⟶x0

● il prodotto fg è derivabile in x0 e si ha (fg)’(x0)=f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0)

consideriamo il rapporto incrementale di fg in x0

[f(x)•g(x)-f(x0)•g(x0)]/(x-x0)=

f(x)g(x)-f(x0)g(x)+f(x0)g(x)-f(x0)g(x0)/(x-x0)=

[f(x)-f(x0)/(x-x0)]g(x)+f(x0)[g(x)-g(x0)/x-x0].

Prendendo il lim, utilizzando le proprietà sulle somme e prodotti di limiti e il fatto che

g è continua in xo si ottiene

lim [f(x)g(x)-f(x0)g(x0)]/(x-x0)=f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0)

x⟶x0

sia g(x)≠0 per ogni x∈I, allora il quoziente f/g è derivabile in x0 e si ha

● (f/g)’(x0)=[f’(x0)g(x0)-f(x0)g’(x0)]/[g(x0)]^2

Notiamo che

{[f(x)/g(x)]-[f(x0)/g(x0)]}/(x-x0)=

1/[g(x)g(x0)] • {[f(x)g(x0)]-[f(x0)g(x)]}/(x-x0)=

1/[g(x)g(x0)] • [f(x)g(x0)-f(x0)g(x)+f(x0)g(x0)-f(x0)g(x)]/(x-x0)=

1/[g(x)g(x0)] • [f(x)-f(x0)/(x-x0)]g(x0)-f(x0)[g(x)-g(x0)/x-x0].

Mandando x⟶x0, utilizzando il fatto che g è continua in x0 e che i limiti

dei rapporti incrementali esistono si ha

lim [f(x)/g(x)]-[f(x0)/g(x0)]}/(x-x0)=[f’(x0)g(x0)-f(x0)g’(x0)]/[g(x0)]^2.

x⟶x0

OSS. due conseguenze importanti della derivazione di un prodotto:

se c∈R e f è derivabile in x0 si ha (cf)’(x0)=(c’f+cf’)(x0)=cf’(x0): le

● costanti possono essere portate fuori dal segno di derivata.

● la derivata del prodotto di tre funzioni derivabili in x0:

(fgh)’(x0)=[(fg)h]’(x0)=

(fg)’(x0)h(x0)+(fg)(x0)h’(x0)=

[f’(x0)g(x0)+f(x0)g’(x0)]h(x0)+f(x0)g(x0)h’(x0)=

f’(x0)g(x0)h(x0)+f(x0)g’(x0)h(x0)+f(x0)g(x0)h’(x0).

Generalizzando, la derivata di una funzione prodotto f=f1•f2•…•fn con fi derivabile in

x0 è data da

(f1f2•fn)’(x0)=

f’ (x0)f (x0)···f (x0)+f (x0)f’ (x0)f (x0)···f (x0)+···+f (x0)f (x0)···f (x0)f’ (x0).

1 2 n 1 2 3 n 1 2 n-1 n

Derivata della funzione composta

Siano I, J intervalli in R, f:I⟶R e g:J⟶R tali che f(I)⊆J e x0∈I. Supponiamo che f

sia derivabile in x0 e che g sia derivabile in f(x0). Allora la composizione gof è

derivabile in x0 e (gof)’(x0)=g’(f(x0))f’(x0).

Continuità e invertibilità

Siano I⊆R, f:I⟶R continua e invertibile.

Allora f è strettamente monotona e f^-1: f(I)⟶R è continua.

Derivata della funzione inversa

x0∈I e sia f:I⟶R continua e invertibile.

Siano I un intervalli,

Supponiamo che f sia derivabile in x0 e che f’(x0)≠0.

Allora la funzione inversa f^-1: f(I)⟶R è derivabile in y0=f(x0) e (f^-

1)’(y0)=1/f’(x0).

Derivate delle funzioni elementari

● Derivate di polinomi e funzioni razionali fratte

Utilizzando la regola di derivazione del prodotto, vediamo subito che le

funzioni potenza x↦x con n∈N e n≥1 sono derivabili e possiamo calcolarne

n

la derivata.

Basta notare che x^n=x•x•…•x n-volte e applicare la regola della

derivazione del prodotto ricavando (x^n)’=nx^(n-1).

La derivata delle funzioni potenza e le regole di derivazione permettono di

concludere che i polinomi sono funzioni derivabili su R con derivata prima

pari ancora a un polinomio.

Grazie alla regola di derivazione di un quoziente ed al fatto che i polinomi sono funzioni

derivabili, ricaviamo che anche le funzioni razionali fratte sono derivabili nel loro dominio

e che la loro derivata prima `e ancora una funzione razionale fratta.

● Derivate delle funzioni trigonometriche

seno: si ha che la derivata in x0∈R è data da

○ lim [sen(x0+h)-senx0]/h.

h⟶0

Poiché si ha

sen(x0+h)=sinx0xosh+cosx0sinh

si ha lim [sen(x0+h)-senx0]/h=

h⟶0

lim [sen(cosh-1)+cosx0senh]/h=

h⟶0

lim [senx0(cosh-1/h)+cosx0(senh/h)].

h⟶0

Poiché lim◼=0 e lim◼=1 ricaviamo

lim [sen(x0+h)-senx0]/h=cosx0.

h⟶0

Quindi la funzione seno è derivabile su R e la sua derivata è la funzio