Derivate di funzioni - Analisi matematica

Teorema di derivabilità e continuità

Teorema: Se una funzione è derivabile da destra e/o da sinistra, allora la funzione è continua da destra e/o da sinistra.

Punti di non derivabilità

I punti di non derivabilità sono punti in cui la funzione è continua ma non è derivabile. Ricorda, definizione di continuità: una funzione è continua se esiste finito il limite del suo rapporto incrementale.

Sia f: I → R, con x ∈ I ⊆ R, e sia f₀ continua in x₀. Supponiamo che:

• Punto di flesso a tangente verticale, se lim_x→x0 f(x) = ±∞.
• Punto angoloso, se esistono lim_x→x0- f(x) e lim_x→x0+ f(x) e almeno uno dei due è finito, ma sono comunque diversi tra loro.
• Cuspide, se lim_x→x0- f(x) = −∞ e lim_x→x0+ f(x) = +∞, o viceversa.

Esempi grafici

Gli esempi grafici includono il punto di flesso, il punto angoloso e la cuspide.

Derivata del prodotto

Siano f, g: I → R, con x ∈ I ⊆ R, e sia f, g derivabili in x₀. Allora anche f ⋅ g è derivabile in x₀ e si ha:

(f ⋅ g)'(x₀) = f'(x₀) ⋅ g(x₀) + f(x₀) ⋅ g'(x₀)

Dimostrazione

lim_x→x0 ((f ⋅ g)(x) - (f ⋅ g)(x₀)) / (x - x₀) = lim_x→x0 (f(x) ⋅ (g(x) - g(x₀)) + (f(x) - f(x₀)) ⋅ g(x₀)) / (x - x₀)

Abbiamo spezzato i limiti, considerando che f(x₀) è una costante.