Derivate di funzioni - Analisi matematica

Lezione 26

Teorema: se una funzione è derivabile da destra e/o da sinistra, allora la funzione è continua da destra e/o da sinistra.

Punti di non derivabilità

I punti di non derivabilità sono punti in cui la funzione è continua ma non è derivabile.

Ricorda, definizione di continuità: una funzione è continua se esiste finito il limite del suo rapporto incrementale.

Sia f: I → R, con I intervallo e sia x₀ un punto in I. Supponiamo che f sia continua in x₀.

1. Punto di flesso a tangente verticale, se lim_x→x0 f(x) = ± ∞
2. Punto angoloso, se esistono lim_x→x0 f(x) e almeno uno dei due è finito, ma sono comunque diversi tra loro.
3. Cuspide, se esistono lim_x→x0 f(x) e lim_x→x0 f'(x) e sono entrambi diversi da zero.

0x−x x−x0 0viceversa.Esempi grafici: punto di flesso, punto angoloso e cuspide:Derivata del prodottoSiano , con e sia . Se e sono∈x I⊆f , g : I → R I R f g0derivabili in , allora anche è derivabile in e six x⋅f g0 0ha: ' ' '( ) ( ) ( ) ( )( )⋅ =f +ff g x g x x g x0 0 0 0Dimostrazione:( ) ( ) −( ) ( ) ( )−f( ) ( ) ( )⋅ ⋅lim f g x f g x lim f x g x x g x0 0 0x → x x → x' ( )( )⋅ = =f g x 0 00 −xox x−x 0Obiettivo: far comparire il rapporto incrementale della efdella .g ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )−f ( ) ( )−f+lim f x g x x g x f x g x x g x0 0 0 0x→ x¿ =¿0 x−x 0( )( ) −gg x x0( )( ) ( )( ) −f + (¿)f x x f x0 0¿ )¿g( x¿ ¿limx → x0Stiamo raccogliendo e ( )f xg( x) 0( ) ( )( )−f ( )−glim f x x lim g x x0 0x → x x → x( )( ) +lim g x f x0 00 −xx−x xx → x 0

Abbiamo spezzato i limiti (è una costante).
f(x) = lim_x→0 g(x)
Dove, poiché f è continua in x=0, g(x) è continua in x=0.
lim_x→0 f(x) = lim_x→0 g(x) = 0
f(x) è derivabile in x=0 e g(x) è derivabile in x=0.
f'(0) = g'(0) = 0
In conclusione: f'(0) + g'(0) = 0

Derivata del quoziente
Siano f, g : I → R, I⊆x e y e siano x, y∈I, f e g derivabili in x e y, allora anche f/g è derivabile in x e y e si ha:
(f/g)'(x) = (f'(x)g(y) - f(x)g'(y))/(g(y))^2