Appunti di Derivate, concavità e convessità

Lezione 19    30/11/20

Def: (Funzione in un punto)Se: f: (a,b) → &R;       b ε (a,b)      si è f: (a,b) → &R;     con b ε (a,b)Allora, chiamiamo limite finito f(x) per x che tende (a,b) esiste: f(x)_{x→ x0} = L ε &R;

OSS:   Si rimanda all'analisi float,dicesi, detto un suo utilizzo possibile, f(x) definita in questa formula finita in un punto.

OSS: Si rimanda all'analisi

Def: (Funzione derivata)Se: b ε (a,b)    q ε (a,b)    si è f: (a,b) → &R;Allora, chiamiamo funzione derivata (primo) la funzione: y = f(x)₁ = q

Significato Geometrico della DerivataDef: Sei f(x)_yf(ty)         detto y₁L'equazione della retta t è passante per (s_x1, f(s_x1))                         e                     k                      y_f = f(s_x)

se la funzione è derivabile in s:allora la retta secante di superficie attorno d si divide in hard

Def: (Retta tangente)Se: f: (a,b) → &R;     si a, b ε fSe f è derivabile in x₁, allora X si avvicina segnanti della forza di s  in (x₀, x) 

Se (f(x)) negativo f₂(x, a)                allora dans un fonctendumon 黃                 _f(x)

OSS: Pronti per la derivata facente suparata  e^x, e^x, e^x, e^o, e^xexa

Sinonimo:• Se (f^x)   →   cons.• (x^f(x)) demi  Cheg  è Inchts et perche fa intendere l• √ &exists;(f¹x) cosine proc  ≤

Teorema (caratterizzazione delle funzione a decrescere solo in un intervallo)

Sia _a,_b ∈ ^ab, derivabile in ^ab

• f è costante in ^ab
• ∀c,d ∈ ^ab, extremale in [c,d]

Idea: se m=arb, cioè sup{f'(x)}=0 allora

1. f'(x) ≤ 0 in ^ab
2. f(x) = k in ^ab

Allora ∀c x₀ ∈ [c, a]:(1) x₀ = h o x₀ = k^f ∈ [c, a]:f(x₀) = m e f'(x) ≤ 0 in ^bacTesi: ∀c x₀ ∈ (a + δ, b): = 0, ∀x₀ ∈ [c, a]

In incremento tra i sottospazi non possiede tale idea di sviluppo

Estremo Debole Rappresentato quando:∀x,y,z ∈ [a,b] allora∀x₀ ∈ [a,b] ⋂ ∃y

(1) Su ∈ ∃λ ∈ [a,b], che per un unico ∃x

Comunicative e Commessi (per derivare derivati)

Def.

Sia f:(c,a)→b

c ≤ ba,b,c ∈ ℝ

a ^♂ b: f(T) è commesso (minori estremi derivano) a:

• a = x₀
• f(x,y) = v_x in ^aba
• ∀x x _x ∈ [a,b] ⋂ a ∈ [a,∞)

Comuni e f onra (ossa)

Teorema (caratteristiche comuni, converte limite in parametri, alla seconda prova)

^a ∩ f:(a,b) → derivabile in (α,β)

• f:[a,b]→b invariato
• ∞ secondo v

Limop:

{ come, quando } = {inter, comm, ο, più}_ab

∀a,a', ∃β: a _real giorno:

• i = inferiore flesso quali verdi di corte, fanda [attitude: ca, 2β,β+A_msp]

Definizione 4

Sia f : (a,b) → ℝ derivabile su (a,b). Diciamo che c ∈ (a,b) è un punto di flesso se f cambia concavità in c, cioè se esiste un intorno sinistro di c in cui f è convessa (concava) e un intorno destro di c in cui f è concava (convessa).

Osservazione: Poiché la curva cambia concavità nel punto di flesso, essa deve necessariamente attraversare la retta tangente in detto punto.

Si parla anche di flesso a tangente verticale nel caso in cui la retta tangente esista ma sia verticale (e dunque la funzione non sia derivabile nel punto di flesso) e la funzione cambi di concavità in detto punto.

Vale la seguente

Proposizione 5

Sia f : (a,b) → ℝ derivabile su (a,b) e sia c ∈ (a,b). Se f ammette derivata seconda in c punto di flesso, allora f''(c) = 0.

Dimostrazione: Per ipotesi, sappiamo che f cambia concavità in c. Dunque esiste un δ > 0 tale che f è, ad esempio, convessa nell'intervallo (c - δ,c) e concava in (c,c + δ).

Per il Teorema 2, f' è crescente in (c - δ,c). Allora per ogni x e y tali che c - δ < x < y < c si ha

f'(x) - f'(y) ≤ 0.

Poiché f' è derivabile in c, f' è anche continua in c. Dunque

lim_y→c^- (f'(x) - f'(y)) = f'(x) - f'(c).

Per il teorema di permanenza del segno, avremo quindi

f'(x) - f'(c) ≤ 0.

Allo stesso modo si dimostra che anche per ogni x ∈ (c,c + δ) si ha

f'(x) - f'(c) ≥ 0.

Dunque c è un punto di massimo relativo per f', che è una funzione derivabile in c. Per il teorema di Fermat,

f''(c) = (f')'(c) = 0.

Osservazione: non vale il viceversa, cioè non è detto che se f''(c) = 0 allora x = c è un punto di flesso.

Esempio: la funzione y(x) = x⁴ verifica y''(x) = 12x², dunque y''(0) = 0. Tuttavia y''(x) ≥ 0 su ℝ quindi la funzione è convessa su ℝ e x = 0 non è un punto di flesso.

Applicazione Teorema Weierstrass

lim_n→∞(n³sin²(π√n))=0

Proposizione

lim_n→∞n³sin²(π√n)

= lim_n→∞n³(1-cos(2π√n))²/2

con g(x)=√x ⇒ x=g(y)=y²

lim_x→∞n³(1-cos(2π√x))²/2

1. lim_x→∞ x^3/2 con g(x)=√x ⇔ x=g(y)=y²
2. con y=√n → x=n_k=k
3. con lim_x→0 ¹_x=∞
4. lim_x→∞ ¹_x=∞