Derivate, Teoremi sulle derivate, concavità e convessità, studio delle funzioni - Analisi 1

Indice Documento

• Derivate
• Derivabilità
• Derivabilità e continuità
• Derivate elementari
• Derivate composte
• Punti stazionari
• Asintoti
• Punti di non derivabilità
• Teorema di Fermat
• Teorema di Rolle
• Teorema di Cauchy
• Teorema di Lagrange
• Monotonia
• Derivazione delle funzioni composte
• Derivazione delle funzioni inverse
• Teorema di De L'Hopital
• Convessità e concavità
• Proprietà funzioni convesse e concave
• Punti di flesso
• Schema studio funzioni

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• Derivabilità e continuità
• Derivate elementari
• Derivate composte
• Punti stazionari
• Asintoti
• Punti di non derivabilità
• Teorema di Fermat
• Teorema di Rolle
• Teorema di Cauchy
• Teorema di Lagrange
• Monotonia
• Derivazione delle funzioni composte
• Derivazione delle funzioni inverse
• Teorema di De L'Hopital
• Convessità e concavità
• Proprietà funzioni convesse e concave
• Punti di flesso
• Schema studio funzioni

DERIVATE

Consideriamo f: I

Imito la funzione

Def: Diciamo che f è derivabile in x₀ se il limite (o lim x e...) del rapporto incrementale a questo punto è uguale alla sua derivata in x₀.

EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE

• y = F'(x₀) = F'(x₀)(x-x₀)
• y-y₀ = m(x-x₀)

Il RAPPORTO INCREMENTALE SI PU ESPRIMERE PURE COSÌ:

Derivabilita in un Intervallo

Sia F:(a,b) ⊆ R

Diciamo che F e derivabile in (a,b) se è derivabile in ogni punto di (a,b)

In questi ipotesi diciamo che esiste la funzione F':(a,b) ⊆ R tale che ogni x appartenente ad (a,b) assegna il punto derivabile F'(x) ∈ R

In simboli, F:(a,b) ⊆ R tale che F:(a,b) ⊆ R e che ∀ x, F'(x) ∈ R

Derivabilita in un Punto

Sia F:(a,b) ⊆ R x₀ ∈ (a,b)

Diciamo che F e derivabile dalla destra se ∃ finito lim _x->x₀⁺ F(x) - F(x₀)----------------------- = F'(x₀) x - x₀

Analogamente, diciamo che F e derivabile dalla sinistra se∃ finito lim _x->x₀^- F(x) - F(x₀)----------------------- = F'(x₀) x - x₀

Quindi F e derivabile in x₀ se e solo se.........

∃ i limiti finiti e uguali .....(vedi figura)

Derivabilita agli Estremi

Sia F:[a,b] -> R è derivabile in ω se∃ .... (vedi figura)

Analogamente è derivabile in β se∃ .... (vedi figura)

Esempio f(x) = |x| x ∈ R

F(x)= { x x > 0{ -x x < 0

_{∴ { x₀ > 0 x₀ < 0 x₀ ≠ 0 ≠ x₀}

....... (vedi figura) .......

lim _{x -> x₀⁺} ........

• Se _Xx_o, _xo, X≠x_o

|x| - |x_o| = ^{x - x_o}/_{X - xo} - ^{x + x_o}/_{X - xo} = ¹/_{X - xo} lim _x→xo

X - x_o = f(x) = ¹/_{X - xo}

• Se _X x=0

|x| - |x_o| ^{x| - 0 = _{|x| - 1}} X=0, ^{|x| - 0 = _{x < 0|}}

In questo caso Il limite della destra e della sinistrasono diversi Non esiste il limitenon è derivabile

in x_o=0

Questa funzione è continua in IR ma non è derivabilein tutto R

Teorema derivabilità impica continuità

(Non vale il viceversa) vedi esempio precedenteSia f: [a;b] IR x_o [a;b]Se f è derivabile in X_o

F_x continuo in X_o

DIMOSTRAZIONE

Fissiamo X [a ; b] FSe x x_o si ha

F(x) - F_o = ^{F'(x) - F(x_o)}/_{x - xo} moltiplichiamo e dividiamo per (x - x_o)

Quindi lim_x→xo F(x)_{x - xo} = ^F(x)_o, x→x_o

(X) = ⁰ = ⁰

lim F(x) = F(x) => f è continuo in x_o

DERIVATE SUCCESSIVE

Supponiamo F: [a;b]→ J_b IRF_o derivabile due volte in x_o se

lim F'(x) - F(x)_o

Derivate Elementari

Funzione costante

f(x) = k    f'(x) = 0

Funzione potenza

f(x) = xⁿ    f'(x) = n x^n-1

In particolare

• f(x) = x    f'(x) = 1
• f(x) = 1/x    f'(x) = - 1/x²
• f(x) = √x    f'(x) = 1/2√x
• f(x) = n√x    f'(x) = 1/n x^1/n-1

Funzioni goniometriche

• f(x) = sen x    f'(x) = cos x
• f(x) = cos x    f'(x) = -sen x