Derivate, Teoremi sulle derivate, concavità e convessità, studio delle funzioni - Analisi 1

INDICE DOCUMENTO

• Derivate
• Derivabilità
• Derivabilità e continuità
• Derivate elementari
• Derivate composte
• Punti stazionari
• Asintoti
• Punti di non derivabilità
• Teorema di Fermat
• Teorema di Rolle
• Teorema di Cauchy
• Teorema di Lagrange
• Monotonia
• Derivazione delle funzioni composte
• Derivazione delle funzioni inverse
• Teorema di De L'Hopital
• Convessità e concavità
• Proprietà funzioni convesse e concave
• Punti di flesso
• Schema studio funzioni

DERIVATE

Consideriamo f: I ⊆ ℝ R x₀ ∈ I

Immetre la funzione

R(x) = f(x) - f(x₀) / x - x₀

DEF:

Diciamo che f è derivabile in x₀ se Il limite per x tendente a x₀ del rapporto incrementale e questo è uguale alla sua derivata in x₀.

lim_x->x₀ f(x) - f(x₀) / x - x₀ = f'(x₀)

SIGNIFICATO GEOMETRICO

Se x si avvicina a x₀, la retta che prima era secante diventa tangente (t).

Quindi il limite per x che tende a x₀ del rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto x₀.

Questo limite si chiama DERIVATA PRIMA.

EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE

y-f'(x₀) = f'(x₀)(x-x₀)

y-y₀ = m(x-x₀)

IL RAPPORTO INCREMENTALE SI PUÒ ESPRIMERE PURE COSÌ:

Poniamo h = x-x₀

R_x₀(x) = f(x₀+h) - f(x₀) / h

f è derivabile in x₀ se ∃ lim_h->0 = f'(x₀)

Funzione esponenziale

f(x) = a^x

f'(x) = a^x log a

In particolare

f(x) = e^x

f'(x) = e^x

REGOLE DI DERIVAZIONE

Somma

y = f(x) ± g(x)

y' = f'(x) ± g'(x)

Prodotto

y = f(x) · g(x)

y' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)

In particolare

y = k · f(x)

y' = k · f'(x)

Rapporto

y = ^f(x)/_g(x)

y' = ^{f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)}/_[g(x)]²

In particolare

y = ¹/_f(x)

y' = ^-f'(x)/_[f(x)]²

Funzione di funzione

y = f[g(x)]

y' = f'[g(x)] · g'(x)

In particolare

y = [f(x)]ⁿ

y' = n[f(x)]^n-1 · f'(x)

Funzioni goniometriche inverse

f(x) = arcsen x

f'(x) = ¹/_{√1 - x²}

f(x) = arccos x

f'(x) = ^-1/_{√1 - x²}

f(x) = arctg x

f'(x) = ¹/_{x² + 1}

f(x) = arcctg x

f'(x) = ^-1/_{x² + 1}

Teorema di Lagrange

Sia f: [a,b] → ℝcontinua in [a,b]derivabile in ]a,b[

Allora ∃ c ∈ ]a,b[ :

       f'(c) = ^f(b)-f(a)                          (b-a)

Dimostrazione

Basta applicare il teorema di Cauchy alla funzione f e g,tale che g(x) = x^{∀x ∈ [a,b]}

Esiste almeno una retta p delle funzionitale che tale retta sia parallelaalla corda AB

Conseguenze del teorema di Lagrange

• Teorema (Funzione a derivata nulla)

  Sia f: (a,b) → ℝcontinua in (a,b)e derivabile in ]a,b[

  Supponiamo che f'(x) = 0 ∀ x ∈ ]a,b[

  Allora f è costante in (a,b)

  Dimostrazione

  Siano x₁, x₂ ∈ (a,b)       x₁ < x₂

  Per provare la tesi dimostriamo che       f(x₁) = f(x₂)Supponiamo che l’unica restrizione sia                          x₁lo ]x₁, x₂[ si muovendouna funzione f'       ∀ fiffero condizioni

  → ∃ c ∈ ]x₁,x₂[        ^{f(x₁) - f(x₂) = f'(c)(x₁-x₂) = 0 = f'(x)}

  → f(x₂) = f(x₁)

• Corollario (Teor)

  Siano f,g: [a,b] → ℝcontinue e derivabili in ]a,b[

  Supponiamo f'(x) = g'(x) ∀x ∈ ]a,b[

  Allora ∃ k ∈ ℝ       ∀x ∈ [a,b]  f(x) = g(x) + k

  Dimostrazione

  Basta applicare il teorema precedente       f(x) - g(x)

  OSS = tutte le ipotesi sono le stesse

• Teorema (Funzione Lipschitziana)

  Sia f: (a,b) → ℝcontinua in [a,b] e derivabile in ]a,b[f è Lipschitziana solo se^{|f(x₁) - f(x₂)| ≤ l |x₁ - x₂| ∀x₁, x₂ ∈ (a,b)}m con l non negativo ^{restrizione →dimostrato da dombas prima e liminal class(1,|f(x₁)|) ≤ |y||v|∀x,dice:}

9. Derivate e studio segno derivata

• x > 0 convessa ∪ ascendete
• x < 0 concava ∩ discendente
• x = 0 flesso a tg non orizzontale

10. Invertibilità

Una funzione è invertibile se è continua e monotona

11. Codominio (dominio dell'inverso)

f(x) = y

12. Grafico

LOGlog_aa = 1log_a1 = 0log_aa^u = u

ESPa^x > 0 ∀x∈Ra^x > -n ∀x∈Ra^x < -n ∅