Appunti derivate e studio di funzione

DERIVATE

f'(x), Df(x), ^df/_dx (x)

RAPPORTO INCREMENTALE

sia f : I → ℝ, con x₀ ∈ I

_{f(x) - f(x0)}/_{x - x0}

_{f(x0+h) - f(x0)}/_h

DERIVATA

lim_{x→x0 f(x) - f(x0)}/_{x - x0} = m

lim_{h→0 f(x0+h) - f(x0)}/_h

Retta tangente al grafico:

y - y₀ = m (x - x₀) ⟹ y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀) ⟹ y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

DERIVATE

f'(x), Df(x), ^df⁄_dx (x)

RAPPORTO INCREMENTALE

sia f: I → ℝ, con x₀ ∈ I

f(x) - f(x₀) ⁄ (x - x₀)

f(x₀ + h) - f(x₀) ⁄ h

DERIVATA

lim

x → x₀

f(x) - f(x₀) ⁄ x - x₀ = m

lim

h → 0

(f(x₀ + h) - f(x₀)) ⁄ h = m

Retta tangente al grafico :

y - y₀ = m (x - x₀) ⇒ y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀) ⇒ y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

DISCONTINUITÀ:

• PUNTO ANGOLOSO

  sia f:(a,b)→ℝ derivabile da sx e dx in x₀ e f'_-(x₀) ≠ f'₊(x₀)

• PUNTO DI CUSPIDE

  f è continua e f'_-(x₀) ≠ f'₊(x₀) e almeno uno è ∞

• FLESSO A TANGENTE VERTICALE

  f'_-(x₀) = f'₊(x₀) = ±∞

CALCOLO:

D[x^α] = α ⋅ x^α-1

D[b^x] = b^x ⋅ ln b

D[log_b x] = ¹/_{ln b}

Regole Derivazione :

(f+g)'(x_o) = f'(x_o) + g'(x_o)

(fg)'(x_o) = f'(x_o)g(x_o) + f(x_o)g'(x_o)

(f/g)'(x_o) = [f'(x_o)g(x_o) - f(x_o)g'(x_o)]/[g(x_o)]²

Teoremi:

Lagrange:

se f è continua in [a,b] e derivabile in (a,b) allora esiste c ∈ (a,b) tale che

f'(c) = [f(b) - f(a)]/(b - a)

Rolle:

se f è continua in [a,b], derivabile in (a,b) e se f(a) = f(b) allora esiste c tale che f'(c) = 0

Cauchy:

Se f,g continuie in [a,b] e derivabili in (a,b) ∃ c:

f'(c)/g'(c) = [f(a) - f(b)]/[g(a) - g(b)]

Derivate successive

Dⁿ⁺¹f = D[Dⁿf] ⇐⇒ sia f:I → ℝ, e sia f′:I → ℝ

Cⁿ(I) = classe di tutte le f:I → ℝ che hanno derivata n-esima continua in I

C^∞(I) = classe f:I → ℝ che hanno infinite derivate

Convessità & Concavità

sia E ⊂ ℝ², diciamo che E è convesso se ∀ x,y ∈ E il segmento [x,y] ⊆ E (concavità è il contrario)

una f :I → ℝ si dice convessa se il suo epigrafo

E_f = {(x,y) ∈ ℝ² : x ∈ I, y ≥ f(x)}

f si dice concava se -f è convessa in I

INOLTRE

sia I aperto e f: I ⟶ ℝ derivabile

1. f è CONVESSA SE E SOLO SE ∀x ∈ I si ha f(x) ≥ f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀)
2. f è CONVESSA se e SOLO SE f' è NON DECRESCENTE
3. se f è DERIVABILE due volte, allora f è convessa se e solo se f''(x) > 0 ∀x ∈ I

STUDIO DI FUNZIONE

1. DOMINIO
2. INTERSEZIONE CON GLI ASSI
3. SEGNO
4. ANDAMENTO ALL' INFINITO

ASINTOTO VERTICALE

lim_{x → x0} f(x) = ±∞

ASINTOTO ORIZZONTALE

lim_{x → ±∞} f(x) = l

ASINTOTO OBLIQUO

y = mx + q

m = lim_{x → ±∞} f(x)/x

q = lim_{x → ±∞} [f(x) - mx]

5. CONCAVITÀ E CONVESSITÀ