Matematica generale - Appunti

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] 0.1 Il Numeri

dei

Campo Reali

Il procedimento di di

costruzione ampliamento Raaionali

del dei numeri

come molto

Q,

ca,mpo

IR è

procedimeno per di

dal visto Z, di

la costruzione

diverso e Q.

quella

possibile introduzione

Una nel supporre

consiste di

è "assiomatica", un

che esista insieme

che

indicati cui proprietà

possibile

numeri, iu

operare consennndo già

le

con su sia nello

valide

IR, e

Q,

proprietà.

tempo aggiungendo nuove

stesso

0.1.1 Gli dei numeri reali

assiomi

A@

1'l di S)

un insieme.

Sia Introduciamo (indicata

una operazione con

somma e di

un'operazione

IR. .)

prodotto (indicato proprietà

per

con cui valgano le seguenti (Vo, e

c lR):

A,

,: +h

1. (o+è)

Proprietà a.ssociativa: + +

(a A) :

a*

2. commutativa:

Proprietà + a;

b b

:

3. distributiva: ] a.

Proprietà a- a.

+ c)

(b c;

b

4. gli rispetto

neutri

Esistano elementi alle operaaioni, Vo distinti,

€ esistano

due elementi

cioè due

IR.

: :

t

tali a.

indicati con e a

0 che a 0 e

1, L a. :

*

5. (-a)

ur

gli opposti:

Esistano (che indicheremo

e con

Vo esista elemento taìe

lR che

-o) o 0;

€

gli a +

6. inversi: 0 un

Vo cor a-1)

Esistano (che

esista elemento indicheremo tale che

IR,

' :

4.0, l.

-1 I quella

Osservazione si

struttum ottenuto

Una corne che abbiamo appena dice Campo.

il ,il

2 ilei

Campi:

Osservazione dli ilei

numeri

Sono raz'ionali

esemp'i campo numeri

Q, campo

i p,

C, di

delle resti in

complessi si

un nunlero

campi classi pri,mo

mod,ulo come aedrà

fi,niti seguito.

2.] relativi

Assiomi alltordinamento

(

in tale

Si una relazione

definisce IR che:

(

7. sia d'ordine,

relazione

( ( à(

8. elRsiverifichiche

cioè

siarelazioned'ordinetotale, boppure

Vo,A o a;

( ( I

* *

9. sia

la d'ordine la

relazione somma', o

con

"compatibile cioè, c

ò che a

se segua c

b

Vc e lR.

( ( <

10. allora

0 a 0 0

se e ò oA.

3 a*b.

e0<b

se01a allora0l

per

Osservazione la In

l'analoga somma,

Vale relaz'ione c'ioè

proprietà

si

questo tratta pud

la

una si dedurre

caso preced,enti,

dagli, (uedi

d'i e assi,omi esercizio 1).

4 il

di ordinati:

Osservazione Sono Campi questo

numeri razionali

esempi campo ilei, Q e che s,i

C

numeri

sta non un

dei

d,efinendo. Inuece ordinato.

'il campo complessi è campo

3.] P."prt.ta q.lrm"agg (nb.

§[

11. o, n tale a

V € e

un

esista

b IR cbe

12. B per

vuoti i quali proprietà

sottoinsiemi di numeri reali A

Siano due non la che

,4 e valga e

Vo

(

o

B di

e sia ò. completezza

e Yb gara"ntisce rìumero

che

L'a.ssioura un

esiste almeno reale c

I 4b

che A

tale per € B.

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