Derivata seconda

Derivata seconda

Definizione di convessità/concavità

Diciamo che f: I → ℝ (I intervallo) si dice che f è convessa (concava) in I se, presi ogni coppia di punti x₁, x₂ ∈ I, si ha che il segmento di estremi (x₁, f(x₁)) (x₂, f(x₂)), sta sotto (sopra) il grafico di f.

Teorema

f: (a, b) → ℝ

• Se f è derivabile in (a, b), allora f è convessa (concava) se e solo se f'^' è crescente (decrescente) in (a, b).
• Se f è derivabile due volte in (a, b), allora f è convessa (concava) in (a, b) se e solo se f''≥ 0 (≤ 0) per ogni x ∈ (a, b).

Definizione di flesso

Sia f: (a, b) → ℝ una funzione e x₀ ∈ (a, b) un punto di derivabilità per f, oppure con f(x₀) = 0. Il punto x₀ si dice di flesso se esistono punti A che separano un intorno destro (x₀ + h) e Ax₀ in cui f è convessa (concava) e un intorno sinistro (x₀ - h) in cui f è concava (convessa).

Derivata seconda

Definizione: Data I ⊆ ℝ (intervallo), si dice che f è convesso (concavo) in I se per ogni coppia di punti x₁, x₂ ∈ I e ogni λ ∈ [0,1] ho che punti del segmento di estremi (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)) stanno sotto (sopra) il grafico di f.

Teorema

f: (a, b) → ℝ

• Se f è derivabile in (a, b), allora f è convesso (concavo) in (a, b) se f' è crescente (decrescente) in (a, b).
• Se f è derivabile due volte in (a, b), allora f è convesso (concavo) in (a, b) se f'' ≥ 0 (≤ 0) per ogni x ∈ (a, b).

Definizione di flesso

Sia f: (a, b) → ℝ una funzione e x₀ ∈ (a, b) un punto di derivabilità per f, oppure con f(x₀) ≠ ⊥. Il punto x₀ si dice di flesso per f se esiste un intorno destro (x₀, x₀+h) e un intorno sinistro (x₀−h, x₀) in cui f è convesso (concavo) e in cui f è concavo (convesso).