Concetto di derivata

Docente di analisi e fisica Falco Amedeo

Concetto di derivata

Nell’ambito dell’analisi matematica, un ruolo importante è senza dubbio rivestito dalle derivate di funzioni, strumenti necessari e altamente applicativi nella quasi totalità delle scienze applicate. Il concetto di derivata di una funzione, tuttavia, è possibile racchiuderlo in quello di rapporto incrementale.

Cosa si intende per rapporto incrementale?

Del rapporto incrementale esistono due tipi di notazioni: quella analitica e quella geometrica. Vediamo la prima.

Sia data una funzione f tale che f : R → R, definiamo il rapporto incrementale nel punto x₀, che rappresenta un punto di comodo per noi, proprio perché lì la funzione sarà di sicuro derivabile (dopo vedremo il concetto di derivabilità), come il rapporto tra la variazione di y su la variazione di x, ovvero la variazione di lunghezza dell’asse delle ascisse, rappresentata da un intervallo che chiameremo h:

Δy = f(x₀ + h) − f(x₀)
Δx = h

Prendendo un grafico, la derivata di una funzione è rappresentata dalla pendenza di una retta di equazione y = f(x), scopriamo il perché! Nel grafico si evidenziano come siano le ordinate della nostra retta (f(x₀ + h) − f(x₀))/h ovvero la variazione dell’intervallo all’interno del quale la funzione viene ad essere derivabile.

Interpretazione geometrica

L’interpretazione geometrica, allora, è più che intuitiva, perché guardando il grafico notiamo che Δx e Δy non sono nient’altro che i cateti del triangolo rettangolo che viene a generarsi. Se noi ci ricordiamo come viene espressa la pendenza in valore percentuale, ovvero:

h_percentuale = pendenza

Allora possiamo concludere, come anticipato prima, che la derivata di una funzione altro non è che la pendenza di una retta data dal rapporto incrementale Δy/Δx.

Definizione di derivata calcolata in un punto

La derivata di una funzione f in un punto x₀ la indichiamo con:

df/dx₀

Ed è espressa dal limite per cui Δx → 0. Ma ricordandoci che la variazione di x è l’intervallo h, allora scriviamo:

lim_h→0 (f(x₀ + h) − f(x₀))/h = df/dx₀

Quindi la derivata in un punto è espressa come il limite del rapporto incrementale quando h tende a zero. Dire che h tende a zero...