Concetto di derivata

Prendendo un grafico la derivata di una funzione è rappresentata

y=f x)

(

dalla pendenza di una retta di equazione , scopriamo il

f x e f

( )

+h (x )

perché! Nel grafico si evidenziano come siano le

0

x

0+h)−x]

[(¿¿ ,

ordinate della nostra retta e che ovvero la variazione

Δ =¿

x

dell’intervallo all’interno del quale la funzione viene ad essere

derivabile

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L’interpretazione geometrica, allora è più che intuitiva, perché

Δ e Δ

guardando il grafico notiamo che non sono nient’altro che i

x y

cateti del triangolo rettangolo che viene a generarsi. Se noi ci

ricordiamo come viene espressa la pendenza in valore %, ovvero:

h percentuale

=pendenza

l

Allora possiamo concludere, come anticipato prima, che la

derivata di una funzione altro non’è che la pendenza di una

Δ y

retta data dal rapporto incrementale Δ x

Definizione di derivata calcolata in un punto

x

La derivata di una funzione f in un punto la indichiamo con:

0

df

d x 0

Docente di Analisi e Fisica Falco Amedeo Δ → 0

Ed è espressa dal limite per cui . Ma ricordandoci che la

x

variazione di x è l’intervallo h, allora scriviamo:

f x

( )

+h −f (x ) df

0 0

lim =

h dx

h→ 0 0

Quindi la derivata in un punto espressa come il limite del rapporto

incrementale quando h tende a zero. Dire che h tende a zero

significa che stiamo riducendo a mano a mano la distanza tra

x h e x x con x

+ , quindi stiamo andando a far coincidere . Quindi

❑

0 0

se esiste ed finito quel limite possiamo dire che la funzione è

x

derivabile in un punto cimato .

0

Attenzione per far si che una funzione sia derivabile in un punto non

basta verificare solo il limite destro, ovvero quello indicato sopra,

esista e sia finito ma occorre verificare che sia il limite destro che

sinistro siano entrambi esistenti e finiti e uguali tra di loro, perché se

ciò non fosse potremmo nel primo caso avere la presenza di

asintoti e nel secondo caso pur essendo finiti ma diversi avere una

discontinuità di 3°specie, ciò implica che la funzione è discontinua

in un punto e per questo non derivabile.

f x h

( )

+ −f (x )

0 0

−¿

h →0 ∞

=c<

h

f x h x

+ −f ( )

( )

0 0 lim

=¿ ¿

h ¿

+¿

h →0 ¿

lim ¿

¿

Tutte le funzioni discontinue e che quindi presentano un punto di

cuspide, un punto di sella o flessi non sono derivabili in quei

specifici punti, ma lo potranno essere in tutti gli altri punti, purchè

sia verificata la condizione sopra descritta.

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Nel PUNTO ANGOLOSO, risolvendo il limite destro e sinistro della

funzione, troveremo due risultati diversi per entrambi, finiti sì, ma

che ci dicono che siamo in presenza di una discontinuità di

3°specie

Nel FLESSO A TANGENTE ORIZZONTALE, troveremo, risolvendo

i due limite che, o entrambi sono uguali a

o a−∞ ,quindi discontinuità di2 ° specie.

+∞

Nel CUSPIDE, sia il limite destro che sinistro sono uguali

∞ ∞

rispettivamente a + e - o può capitare l’inverso.

Dimostrazione che la derivata è la pendenza di

una retta

Dall’algebra lineare sappiamo che una retta ha equazione, scritta in

forma normale: y=mx +q

'

y=f x e che mx=f x

( ) ( )

Se diciamo che , vogliamo perl’appunto

dimostrare che la derivata sia uguale al coefficiente angolare della

retta!

Procediamo:

f x

( ) =mx+q

0

Considerando il limite del rapporto incrementale, quanto più piccolo

si fa l’intervallo h, la retta tangente si comporta come la funzione

f x

( )

+h

stessa. In altri termini posso sostituire più precisamente

0

l’argomento di questa funzione nell’ascissa del coefficiente

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angolare. In pratica noi siamo talmente vicini ad x che potremmo

x x

≅ +h

scrivere 0

f x x h)+q

( ) =m( +

0 0

Ricordando che il limite del rapporto incrementale, quando h tende

a zero è uguale alla derivata della funzione nel punto considerato

m x h

( )

+ +q−f (x )

0 0 '

+¿

h →0 x

=f ( )

0

h

lim ¿

¿

m x h

( )

+ +q−mx −q

0 0 '

+¿

h →0 =f (x )

0

h

lim ¿

¿ mh

+¿

h →0 =m

h

'

f x

( )

=lim ¿

0 ¿

Ecco che otteniamo che la derivata è la pendenza della retta!!.

Come ricavare la retta tangente al grafico della funzione in un

punto

Spesse volte viene richiesto di calcolare la retta tangente al grafico

di una funzione, si ma come si fa?!

Vediamo subito!

Calcoliamo la derivata della funzione y = f(x)

1) Valutiamo la funzione f(x) nel punto x=x , ottenendo così

2) 0

y =f(x ), ovvero ascissa ed ordinata della nostra retta

0 0

Ci ricordiamo che una retta ha equazione generica y=mx+q

3)

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Valutiamo la derivata y=f’(x) nel punto x=x , ottenendo così un

4) 0

numero

Al posto di m mettiamo f’(x ) e scriviamo

5) 0 '

f x x x

( ) ( )

=f +q

0 0 0

'

q=f x x x

( ) ( )

−f

0 0 0

' '

y=f x x+ f x x x

( ) ( ) ( )

−f

0 0 0 0

Quella ottenuta è la retta ricercata!

Derivate fondamentali e teoremi base