Spiegazione della derivata

DERIVATE

SIGNIFICATO GEOMETRICO

Se ho una funzione f(x) definita in [a,b] e in punto P appartenente a questo intervallo, voglio determinare l'equazione della retta tangente in questo punto P.

• Prendo una curva y=f(x) e il punto P e traccio la sua tangente e la chiamo t. Vediamo che si forma un angolo α con l'asse delle x.
• Prendo Q sulla curva e unisco PQ con una retta che chiamo secante s. Vediamo che si forma un angolo β con l'asse delle x.
• Abbiamo scritto che _{lim Q→P} s=t, e cioè: _{lim Q→P} β=α
• Poiché la tangente è una funzione continua posso scrivere: _{lim Q→P} tgβ=tgα

Ma se Q→P significa che h→0 e quindi: _{lim h→0} tgβ=tgα

Traccio per P le parallele all'asse delle x e per Q le parallele all'asse y fino ad incontrarsi in R. Considero il triangolo PQR.

tgβ=QR/PR = (f(x₀+h) - f(x₀))/h

Quindi: _{lim h→0} (f(x₀+h) - f(x₀))/h = tgα = m = f'(x₀) coefficiente angolare della tangente

DERIVATA PRIMA