Spiegazione della derivata

Derivate: significato geometrico

Se ho una funzione f(x) definita in [a, b] e un punto P appartenente a questo intervallo, voglio determinare l’equazione della retta tangente in questo punto P. Prendo una curva y=f(x) e il punto P e traccio la sua tangente e la chiamo t.

Mediamo che si forma un angolo α con l’asse delle x. Prendo Q sulla curva e unisco PQ con una retta che chiamo secante s. Mediamo che si forma un angolo β con l’asse delle x. Allora si ha che:

lim_Q→P s = t, e cioè: lim_Q→P β = α

Poiché la tangente è una funzione continua posso scrivere:

lim_Q→P tgβ = tgα

Ma se Q→P significa che h→0 e quindi:

lim_h→0 tgβ = tgα

Traccio per P le parallele all’asse delle x e per Q la parallela all’asse y fino ad incontrarsi in R. Considero il triangolo PQR.

tg β = ^QR⁄_PR = ^{f(x₀+h) - f(x₀)}⁄_h

Quindi:

lim_h→0 ^{f(x₀+h) - f(x₀)}⁄_h = tg α = m = f’(x₀) coefficiente angolare della tangente

Derivata prima

Derivata: significato geometrico

Se ho una funzione f(x) definita in [a,b] e un punto P appartenente a questo intervallo, voglio determinare l'equazione della retta tangente in questo punto P. Prendo una curva y=f(x) e il punto P e traccio la sua tangente e la chiamo t. Notiamo che si forma un angolo α con l'asse delle x. Prendo Q sulla curva e unisco PQ con una retta che chiamo secante s. Notiamo che si forma un angolo β con l'asse delle x.

Allora scritto che lim Q→P s = t, e cioè: lim Q→P β = α, poiché la tangente è una funzione continua posso scrivere:

lim Q→P tg β = tg α

Ma se Q→P significa che h→0 e quindi:

lim h→0 tg β = tg α

Traccio per P le parallele all'asse delle x, e per Q la parallela all'asse y fino ad incontrarsi in R. Considero il triangolo PQR.

tg β = ^QR⁄_PR = ^{f(x₀+h) - f(x₀)}⁄_h

Quindi:

(lim h→0 (f(x₀+h)-f(x₀))/h) = tg α = m = f'_(x0) coefficiente angolare della tangente

Derivata prima