Derivata funzione composta

Derivata funzione composta

Regola di derivazione delle funzioni composte

Torniamo a parlare di derivate e regole di derivazione: dopo aver studiato la regola di derivazione di una somma, la derivata di un prodotto e la regola di derivazione di un quoziente, ci occuperemo della derivata di una funzione composta.

Partiamo subito col dire che la derivata di una funzione composta è il prodotto della derivata della funzione esterna calcolata nella funzione interna per la derivata della funzione interna. In formule questo concetto viene espresso così:

(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)

Insomma, quando componiamo due funzioni in una sola, la derivata del composto si ottiene moltiplicando le due derivate.

• f(x) = funzione esterna
• g(x) = funzione interna

Esempio pratico

Come esercizio, vediamo di calcolare la derivata della funzione: f(x) = log(sin(x)). Individuiamo le due funzioni componenti:

• Est. f(x) = log(x)
• Int. g(x) = sin(x)

Prendiamo la derivata di ciascuna funzione:

• f'(x) = 1/x
• g(x) = sin(x) → g'(x) = cos(x)

Calcoliamo il prodotto delle due derivate (sostituendo sin(x) al posto della x di f'(x) = 1/x):

f'(g(x)) = 1/sin(x) → f'(g(x)) · g'(x) = 1/sin(x) · cos(x) = cot(x)

Dunque, abbiamo trovato che la derivata di f(x) = log(sin(x)) è f'(x) = cot(x).

Derivata della funzione composta: formula

ℤ: → ₀ ∈ derivabile in ₀ → lim_x→x₀ () - (₀) / - ₀ = ′(₀)

₀ ∈ (₀) ⊂ derivabile in ₀ → lim_→₀ () - (₀) / - ₀ = ′(₀)

Th (()) è derivabile ((()),₀) = ′((₀)) ⋅ ′(₀)

((()),₀) = lim_x→x₀ ((₁)) - ((₀)) / - ₀ = (₁) - (₀) / (₁) - (₀)

lim_x→x₀ ((₁)) - ((₀)) / (₁) - (₀) ⋅ (₁) - (₀) / - ₀ = lim_→₀ () - (₀) / - ₀ ⋅ lim_x→x₀ (₁) - (₀) / - ₀ = ′(₀) ⋅ ′(₀)

Esempio avanzato

(ⁿ,₀) = ₀^-1 ,:ℤ() = ((⁴))³ ₀ = 3

() = ¹²′() = 12¹¹′(3) = 12 ⋅ 3¹¹

:() () = ⁴ (()) = ³

((()),₀) = ′((₀)) ⋅ ′(₀) = 3(² ⋅ 4³)

= 3(⁴)² ⋅ 4³= 12¹¹

(((),3) = 12 ⋅ 3¹¹)

() = log (()) =(³)′(()) = (₀) = 3/² ⋅ 1/ = 3 ⋅ 1/ℎ()

=(log³)′ℎ′() = 3 ⋅ log ⋅ 1/ℎ()

= (log √)²ℎ() = log(^1/2)ℎ′()= 1_2√= 1/2

ℎ() = log (√)^4−̅ℎ() = log ^−5/2 = −5/2 (log )ℎ′() = −5/2 ⋅ 1/