Analisi matematica - derivata

Derivata: misura del tasso di variazione di una funzione quantitativa

Definizione: data f(n) si costruisce il rapporto incrementale ossia

Δf = f(n+h) - f(n)Δn = (n+h) - n = h

Rapporto incrementale = ^Δf⁄_Δn = ^{f(n+h) - f(n)}⁄_h

Poiché Δn = h = tg θ => ^Δf⁄_h = tg θ

Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta che passa per i punti di coordinate (n, f(n)), (n+h, f(n+h))

Derivata

Misura del tasso di variazione di una funzione (quantità).

Definizione

Data \( f(n) \) si costruisce il rapporto incrementale ossia:

\( \Delta f = f(n+h) - f(n) \)

\( \Delta n = (n+h) - n = h \)

Rapporto incrementale: = \( \frac{\Delta f}{\Delta n} = \frac{f(n+h) - f(n)}{h} \)

Siccome \( \Delta f = h \cdot \tan \theta \Rightarrow \frac{\Delta f}{h} = \tan \theta \)

Il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta che passa per i punti di coordinate \( (n, f(n)) \) e \( (n+h, f(n+h)) \).

Dato f(m), si definisce derivata della f(m) nel punto m il limite per h-0 del rapporto incrementare e si indica con f'(m), ovvero

f'(m) = lim_h-0 (f(m+h)-f(m)) / h

Il lim il coefficiente angolare della retta secante (ossia la retta che passa per (m,f(m)) e (m+h,f(m+h))) tende a coincidere col valore del coefficiente angolare della retta tangente alla funzione f(m) nel punto (m,f(m)).

Esempio

f(m) = a*n+b

lim_h-0 (f(n+h)-f(n)) / h = lim_h-0 a(n+h)+b-(an+b) / h =

= lim_h-0 an+ah+b-an-b / h = lim_h-0 ah / h = a

f'(m) = b

f'(n) = lim_h-0 (f(n+h)-f(n)) / h = lim_h-0 b-b / h = 0

La derivata di una curva e’ il coeff. angolare

f(n)=n²

lim_h→0 (f(n+h)-f(n))/h = lim_h→0 ((n+h)² - n²)/h = lim_h→0 (n² + 2nh + h² - n²)/h = lim_h→0 (2n + h) = 2n

f(n)=n³ f’(n)=3n²

In generale e` facile dimostrare che f(n)=n^s

f(n)=s.n^s-1 ∀s∈ℝ

f(n)= 1/n² = n^-2

f(n)= -2.n^-3 = -2/n³

f(n)= n^3/5 = n^5/3-1

f(n)= 5/B.n^-2/3 = 5/3 n^-2/3 = 5/3.1/n^2/3

Proprietà di derivazione della somma

Se siano f(n) e g(n)

1. d/dn [f(n) + g(n)] = df/dn + dg/dn

2. d/dn (c) = 0

3. d/dn (an^s) = d/dn (a) n^s = a (dn^s/dn)

4. d/dn [a · f(n)] = a · df/dn

5. d/dn (n^s) = s n^s−1

   Se s = 1

6. d/dn [f(n) · g(n)] = df/dn · g(n) + f(n) · dg/dn

7. d/dn (e^kn) = c₀ a₁ e^kn

8. d/dn (e^kn) = c₀ c₁ a_e a^kn

9. d/dn (cosn) = -senn

10. d/dn (senn) = cosn

11. d/dn [f(n)/g(n)] = [f'(n)· g(n)−f (n)g'(n)] / [g(n)]²

12. d/dn aⁿ = e^ln

13. d/dn (f(g(n))) = df/dn · f(g(n)) · dg/dn

DERIVATA SECONDA:

y = (ln)

PASSI:

1. Campo di esistenza (dominio)
2. Simmetria e (pari) dispari (ne' pari ne' dispari)

_{(Simmetrico rispetto a y) (Simmetrico rispetto a dell’origine)}

3. Intersezione con gli assi: y=0
4. Limiti
5. Derivata prima (max e min)
6. Derivata seconda (fuoco)

Data f(n) di _dm fornisce tasso di variazione di _f(n)

di (df/ _dn) fornisce il tasso di variazione della variazione

Derivata seconda

< sub>Concavità verso il basso >

< sub>Concavità verso l’alto >