Definizioni, teoremi e dimostrazioni "Analisi I"

CONFRONTO DIRETTO PER INTEGRALI IMPROPRI IN INTERVALLI

+

f, g : [a, b] → R [a, b]

ILLIMITATI: Siano integrabili secondo Riemann in

a < b 0 ≤ f (x) ≤ g(x) x ∈ [a, + ∞)

per ogni e tali che per ogni . Allora:

+∞ +∞

∫ ∫

g(x)d x f (x)d x

Se converge, allora converge

1. a a

+∞ +∞

∫ ∫

f (x)d x g(x)d x

Se diverge, allora diverge.

2. a a b

∫

F(b) = f (x)d x

DIMOSTRAZIONE: Consideriamo le funzioni e

a

b

∫

G(b) = g(x)d x

. Sono funzioni crescenti e positive e tali che

a

F(b) ≤ G(b) ∀b > a per la proprietà di monotonia dell’integrale. Da questa

disuguaglianza segue la tesi:

+∞

∫ g(x)d x lim G(b)

Se converge, allora esiste finito , quindi anche

1. b→+∞

a +∞

∫

lim F(b) F f (x)d x

(che esiste per la monotonia di ) è finito cioè

b→+∞ a

converge

lim F(b) = + ∞ lim G(b) = + ∞

Se , allora anche .

2. b→+∞ b→+∞

CONFRONTO DIRETTO PER INTEGRALI IMPROPRI DI FUNZIONI

+

f, g : (a, b] → R

ILLIMITATE: Siano integrabili secondo Riemann in

[a + ϵ, b] 0 < ϵ < b − a x → a

per ogni , illimitate per e tali che

0 ≤ f (x) ≤ g(x) x ∈ (a, b]

per ogni . Allora:

b b

∫ ∫

g(x)d x f (x)d x

Se converge, allora converge

1. a a

b b

∫ ∫

f (x)d x g(x)d x

Se diverge, allora diverge.

2. a a

CONFRONTO ASINTOTICO PER INTEGRALI IMPROPRI IN INTERVALLI

+

f, g : [a, b] → R [a, b]

ILLIMITATI: Siano integrabili secondo Riemann in

f (x)

lim = l

b > a

per ogni e tali che esista . Allora:

g(x)

x→+∞

+∞ +∞

∫ ∫

0 < l < + ∞ f (x)d x g(x)d x

Se , allora e hanno lo stesso

1. a a

carattere +∞ +∞

∫ ∫

l =0 g(x)d x f (x)d x

Se e converge, allora anche converge

2. a a

+∞ +∞

∫ ∫

g(x)d x f (x)d x

l =+ ∞

Se e diverge, allora anche diverge.

3. a a

DIMOSTRAZIONE: f (x) l

− l <

k > 0 ∀x > k

Per definizione di limite esiste tale che ,

1. g(x) 2

l 3l

g(x) < f (x) < g(x)

g ∀x > k

cioè data la positività di si ha che . Si

2 2

può usare allora il teorema di confronto diretto per concludere che se

+∞

∫ f (x)d x converge allora, per la prima disuguaglianza, anche

k

+∞ +∞

l

∫ ∫

g(x)d x g(x)d x

e quindi converge. D’altra parte, per la

2

k k +∞ +∞ 3l

∫ ∫

f (x)d x g(x)

seconda disuguaglianza, se diverge anche e

︎

2

k k

+∞ +∞ +∞

∫ ∫ ∫

g(x) f (x)d x g(x)d x

quindi divergono. In pratica e

k k k

+∞ +∞

∫ ∫

f (x)d x g(x)d x

hanno lo stesso carattere. Ma allora anche e

a a

hanno lo stesso carattere. f (x) < 1

k > 0 ∀x > k

Per la definizione di limite, esiste tale che

2. g(x)

g f (x) < g(x) ∀x > k

quindi, per la positività di , . Si può applicare quindi

[k, + ∞)

il confronto diretto ala semiretta .

Si dimostra come la 2.

3.

CONFRONTO ASINTOTICO PER INTEGRALI IMPROPRI DI FUNZIONI

+

f, g : (a, b] → R

ILLIMITATE: Siano positive e integrabili secondo

[a + ϵ, b] 0 < ϵ < b − a x → a

Riemann in per ogni , illimitate per e tali che

f (x)

lim = l

esista . Allora:

g(x)

x→+∞ +∞ +∞

∫ ∫

f (x)d x g(x)d x

0 < l < + ∞

Se , allora e hanno lo stesso

1. a a

carattere +∞ +∞

∫ ∫

l =0 g(x)d x f (x)d x

Se e converge, allora anche converge

2. a a

+∞ +∞

∫ ∫

l =+ ∞ g(x)d x f (x)d x

Se e diverge, allora anche diverge.

3. a a

+∞ q ≥ 1

se

+∞ 1 | |

q < 1

n

∑ q → se

CARATTERE SERIE GEOMETRICA: 1 − q

n=0 ∃

/ q ≤ − 1

se

2 k k+1

(1 + q + q + . . . + q )(1 − q) = 1 − q

DIMOSTRAZIONE: , e per

k+1

1 − q

2 k

q ≠ 1 s = 1 + q + q + . . . + q =

, possiamo scrivere ; Mentre

k 1 − q

2 k

q = 1 s = 1 + q + q + . . . + q = 1 + . . . + 1 = k + 1

per scriviamo .

k

Quindi abbiamo la tesi. +∞

∑ a

CONDIZIONE NECESSARIA CONVERGENZA: Se la serie è

n

n=1

lim a = 0

convergente, allora .

n

n→+∞ +∞

∑ a

DIMOSTRAZIONE: Se la serie è convergente, allora la successione

n

n=1

{ }

s s lim a =

delle ridotte è convergente alla somma . Quindi

k n

n→+∞

= lim (s − s ) = s − s = 0

.

n n−1

n→+∞ { } { }

a b

CONFRONTO DIRETTO SERIE: Siano e due successioni

n n

n∈N n∈N

0 ≤ a ≤ b n ∈ N

tali che per ogni , allora

n n

+∞

∑ b

a

Se diverge, anche diverge

n

n

1. n=1

+∞

∑ b a

Se diverge, anche diverge.

n n

2. n=1 s t

DIMOSTRAZIONE: Siano e le somme parziali rispettivamente delle serie

k k

+∞ +∞

∑ ∑

a b a b

e . Poiché le successioni e sono non negative, la

︎ ︎

n n n n

n=1 n=1

s t a ≤ b

successioni e sono crescenti. Inoltre, da segue che

k k n n

+∞

∑ a lim s = + ∞ lim t = + ∞

Se diverge, allora e, quindi, il e

n k k

1. k→+∞ k→+∞

n=1 +∞

∑ b

quindi diverge

n

n=1 +∞ +∞

∑ ∑

b a

Supponiamo che converga. Se per assurdo non

︎ ︎

n n

2. n=1 n=1

+∞

convergesse, dovrebbe divergere a essendo a termini positivi,

+∞

∑ b

quindi, per il caso precedente anche convergerebbe

︎ n

n=1

contraddicendo le ipotesi. { } { }

a b

CONFRONTO ASINTOTICO SERIE: Siano e due

n n

n∈N n∈N a

n

a > 0,b > 0 n ∈ N l = lim

successioni tali che per ogni . Sia . Allora

n n b

n→+∞ n

+∞ +∞

∑ ∑

0 < l < + ∞ a b

Se , la serie ha lo stesso carattere della serie

n n

1. n=1 n=1

+∞ +∞

∑ ∑

b a

l =0

Se e converge, anche converge.

n n

2. n=1 n=1

+∞ +∞

∑ ∑

l =+ ∞ a b

Se e converge, anche converge.

n n

3. n=1 n=1 l

ϵ =

DIMOSTRAZIONE: 1. Per la definizione di limite con si ha che esiste

2

a

l 3l

n

≤ ≤

N n ≥ N b > 0

tale che per ogni . Siccome si deduce che

n

2 b 2

n

l 3l n ≥ N

≤ a ≤ per ogni . Allora utilizzando il criterio del confronto

n

2 2 N

diretto sulle serie resto (da in poi) si dimostra che le due serie sono

entrambe convergenti o entrambe divergenti.

a a

n n

N

lim = 0 ≤ 1

2. Se invece. allora esistite tale che per ogni

b b

n→+∞ n n

n ≥ N n ≥ N 0 < a < b

, quindi per vale e si può utilizzare sulle serie

n n

resto il criterio del confronto diretto.

a

n

3. Come nel caso precedente per .

b

n

f : [1, + ∞) → R

CRITERIO DI MC LAURIN: Sia una funzione decrescente

+∞

+∞

∫ ∑ f (n)

f (x)d x

lim f (x) = 0

tale che . Allora, e hanno lo stesso

x→+∞ 1 n=1

carattere. f (x) ≥ 0 x ≥ 1

DIMOSTRAZIONE:Dalle ipotesi risulta chiaro che per ogni

quindi sia la serie che l’integrale improprio possono solo convergere o

+∞ f

divergere a . Inoltre la decrescenza di garantisce l’integrabilità in ogni

k ∈ N f

intervallo limitato. Fissato , per la decrescenza di si ha che

f (k + 1) ≤ f (x) ≤ f (k) x ∈ [k, k + 1]

per ogni e quindi, per la monotonia

dell’integrale di Riemann

k+1 k+1 k+1

∫ ∫ ∫

f (k + 1) = f (k + 1)d x ≤ f (x)d x ≤ f (k)d x = f (k) .

k k k k 1 n

Sommando tutti i termini di questa disuguaglianza per da a si ha

n n n

k+1

∫

∑ ∑ ∑

f (k + 1) ≤ f (x)d x ≤ f (k) che possiamo scrivere

k

k=1 k=1 k=1

n

∫ s n

s − f (1) ≤ f (x)d x ≤ s dove indica la ridotta -esima della serie

n

n+1 n

1

+∞ n

∫

∑ f (n) f (x)d x

s

. E’ chiaro quindi che diverge se e solo se diverge e

n 1

n=1

viceversa. a ≥ 0 n ∈ N

CRITERIO DELLA RADICE: Sia per ogni e sia

n

L = lim a

n . Allora

n

n→+∞ +∞

∑

0 ≤ L < 1 a

Se la serie converge

n

1. n=1

+∞

∑ a

L > 1

Se la serie diverge.

n

2. n=1 L < 1 q ∈ R L < q < 1

DIMOSTRAZIONE: 1. Siccome esiste tale che . Per

ϵ = q − L N ∈ N

la definizione di limite (prendendo ) esiste un indice tale

n

a ≤ q n ≥ N a ≤ q n ≥ N

n

che per ogni cioè per ogni . Possiamo allora

n n

utilizzare il criterio del confronto diretto (sempre per le serie resto) perché la

n

q 0 < q < 1

serie geometrica che ha per termine è convergente perché .

L > 1

2. Se invece , sempre per la definizione di limite (prendendo

ϵ = L − 1 N a > 1 n ≥ N

n

) esiste un indice tale che per ogni , quindi.

n

a > 1 n ≥ N

per ogni , e la condizione necessaria non è soddisfatta quindi

n

la serie diverge. a

n+1

L = lim

a > 0

CRITERIO DEL RAPPORTO: Sia e sia , allora

n a

n→+∞ n

+∞

∑ a

0 ≤ L < 1

Se la serie converge

n

1. n=1

+∞

∑ a

L > 1

Se la serie diverge.

n

2. n=1 +∞ n

∑ a ≥ 0

(−1) a

CRITERIO DI LEIBNITZ: Si consideri la serie dove per

n

n

n=1

{ }

n ∈ N lim a = 0

a

ogni . La serie è decrescente e , allora la serie

n

n n∈N n→+∞

S s n

converge. Inoltre, detta la somma della serie e indicata con la ridotta -

n

| |

S − s ≤ a

esima, si ha .

n n+1

CONVERGENZA ASSOLUTA: Se una serie converge assolutamente allora

converge. ESEMPI n

a = (−1)

SUCCESSIONE LIMITATA NON CONVERGENTE: n n

a = n(&m