Definizioni, teoremi e dimostrazioni "Analisi I"

DEFINIZIONI

A A

MASSIMO: Sia un insieme di numeri reali. Si dice massimo di (Se

M A

esiste) un numero di che è maggiore o uguale di ogni altro elemento di

{

M ∈ A

M = ma x(A) ⇔

A

. Si scrive M ≥ ∀a ∈ A

A A

MINIMO: Sia un insieme di numeri reali. Si dice minimo di (Se esiste) un

m A A

numero di che è minore o uguale di ogni altro elemento di . Si scrive

{ m ∈ A

m = min(A) ⇔ m ≤ a ∀a ∈ A A

INSIEME LIMITATO: Un insieme non vuoto di numeri reali si dice limitato

L ∈ R L ≥ a ∀a ∈ A L

superiormente se esiste tale che . Un numero con

A

tale proprietà si dice un maggiorante di .

A

Un insieme non vuoto di numeri reali si dice limitato inferiormente se esiste

l ∈ R l ≤ a ∀a ∈ A l

tale che . Un numero con tale proprietà si dice un

A

minorante di . A

Si dice infine che è limitato se è limitato superiormente e inferiormente.

A R M ∈ R

ESTREMO: Sia un sottoinsieme non vuoto di . Diciamo che è

A M A

l’estremo superiore di se è il più piccolo dei maggioranti di . Si indica

M = sup(A) .

A R m ∈ R

Sia un sottoinsieme non vuoto di . Diciamo che è l’estremo

A m A m = inf (A)

inferiore di se è il più grande dei minoranti di . Si indica .

f : A → B

FUNZIONE INIETTIVA: Una funzione si dice iniettiva se non ci

A

sono due elementi distinti di con la stessa immagine o, in altre parole,

f (x ) = f (x ) ⇒ x = x .

1 2 1 2 f : A → B B

FUNZIONE SURIETTIVA: Una funzione si dice suriettiva su se

y ∈ B ∃x ∈ A y = f (x)

per ogni tale che .

f : A → B

FUNZIONE BIUNIVOCA: Una funzione iniettiva e suriettiva si dice

biunivoca. f : A → B A

FUNZIONE INVERSA: Se è biunivoca ad ogni punto di

B

corrisponde uno e un solo punto di e viceversa. Questo permette di definire

f y ∈ B

la funzione inversa di come la funzione che ad ogni punto associa

A y x

l’unico punto in del quale è immagine, cioè l’unico punto tale che

−1

f : B → A

y = f (x) . La funzione inversa viene indicata come e ha la

−1 −1

f ( f (x)) = x, ∀x ∈ A, f ( f (y)) = y, ∀y ∈ b

seguente proprietà: .

f A

FUNZIONE CRESCENTE: Una funzione è crescente in se per ogni

x , x ∈ A x < x f (x ) ≤ f (x )

coppia di punti con vale .

1 2 1 2 1 2

A x , x ∈ A

È invece strettamente crescente in se per ogni coppia di punti 1 2

x < x f (x ) < f (x )

con vale .

1 2 1 2 f A

FUNZIONE DECRESCENTE: Una funzione è decrescente in se per ogni

x , x ∈ A x < x f (x ) ≥ f (x )

coppia di punti con vale .

1 2 1 2 1 2

A

È invece strettamente decrescente in se per ogni coppia di punti

x , x ∈ A x < x f (x ) > f (x )

con vale .

1 2 1 2 1 2 f A

FUNZIONE PARI, DISPARI: Una funzione definita in un dominio

R

simmetrico rispetto all’origine della retta si dice pari se

f (x) = f (−x), ∀x ∈ A f A

. Una funzione definita in un dominio simmetrico

R f (x) = − f (−x), ∀x ∈ A

rispetto all’origine della retta si dice pari se .

f T

FUNZIONE PERIODICA: Una funzione si dice periodica di periodo se

f (x) = f (x + T ), ∀x ∈ A

. N R

SUCCESSIONE: Una successione è una funzione da in , cioè una legge

che ad ogni numero naturale fa corrispondere uno e un solo numero reale.

{ }

a

SUCCESSIONE MONOTONA: Una successione è crescente se

n

a ≤ a n ∈ N a < a

per ogni ed è strettamente crescente se per

n n+1 n n+1

n ∈ N

ogni . L ∈ R

LIMITE SUCCESSIONE CONVERGENTE: Sia . Diciamo che la

a L lim a = L ϵ >0

successione converge ad e scriviamo se per ogni

n n

n→+∞

| |

n a − L < ϵ n > n

esiste un tale che , per ogni . Ogni successione che

ϵ n ϵ

L ∈ R

ha limite si dice una successione convergente. a

LIMITE SUCCESSIONE DIVERGENTE: Diciamo che la successione n

+∞ lim a = + ∞ M > 0 n

diverge a e scriviamo se per ogni esiste

n M

n→+∞

a > M n > n

tale che per ogni .

n M a −∞

Diciamo invece che la successione diverge a e scriviamo

n

lim a = − ∞ M > 0 n a < − M

se per ogni esiste tale che per ogni

n M n

n→+∞

n > n .

M ( ) n

1 n ∈ N

a = 1 +

NUMERO DI NEPERO: La successione per è

n n

( ) n

1

lim 1 + = e

convergente e il suo limite , che è un numero compreso

n

n→∞

tra 2 e 3 e si chiama numero di Nepero. A x

PUNTO DI ACCUMULAZIONE: Dato un insieme , diciamo che è punto

0

A ∃x ∈ A lim x = x

di accumulazione per se tale che .

0 n 0

n→+∞

x A

LIMITE FUNZIONI (SUCCESSIONI): Sia un punto di accumulazione per

0

f A lim f (x) = L x

e sia definita in . Allora, se per ogni successione tale che

n

x→x 0

x ∈ A − x n ∈ N lim x = x lim f (x ) = L

per ogni e si ha .

n 0 n 0 n

n→+∞ n→+∞

ϵ δ x A f

LIMITE FUNZIONI ( - ): Sia un punto di accumulazione per e sia

0

A lim f (x) = L ϵ > 0 δ > 0

definita in . Allora, se per ogni esiste

x→x 0 | |

ϵ f (x) − L < ϵ, ∀x ∈ A

(Dipendente da ) tale che tale che

| |

0 < x − x < δ .

0 A ⊂ R x A

FUNZIONE CONTINUA IN UN PUNTO: Sia e sia un punto di che

0

A f : A → R x

sia di accumulazione per . La funzione è continua in se

0

lim f (x) = f (x ) .

0

x→x 0 f : A → R x ∈ A A

La funzione è continua in e punto di accumulazione per

0

| |

∀ϵ > 0 ∃δ > 0 f (x) − f (x ) < ϵ, ∀x ∈ A

se, , tale che con

0

| |

x − x < δ

.

0 f

FUNZIONE CONTINUA IN UN INTERVALLO: La funzione è continua in

(a, b) ([a, b]) (a, b) ([a, b])

se è continua in ogni punto di .

DISCONTINUITÀ DI FUNZIONE: lim f (x)

1. ELIMINABILE: E’ il caso in cui esiste finito, ma non coincide con

x→x 0

f (x )

.

0 lim f (x)

SALTO (PRIMA SPECIE): E’ il caso in cui non esiste perché i

2. x→x 0

limiti destro e sinistro esistono e sono entrambi finiti ma

lim f (x) = lim f (x)

.

− +

x→x x→x

0 0

SECONDA SPECIE: Sono tutte le altre discontinuità: è sufficiente che

3. limite destro e sinistro non esistano oppure siano infiniti.

f : (a, b) → R x ∈ (a, b)

FUNZIONE DERIVABILE: Sia e sia . Chiamiamo

0

f x h

rapporto incrementale di in (Con incremento ) il rapporto

0

f (x + h) − f (x )

Δf 0 0

= f x

. Diciamo che la funzione è derivabile in se

0

Δx h f (x + h) − f (x )

0 0

lim f

esiste finito il limite . Tale limite si chiama derivata di

h

h→0

x f′

(x )

in e si indica con il simbolo .

0 0

f n x

POLINOMIO DI TAYLOR: Se è derivabile volte in si chiama Polinomio

0

n x

di Taylor di grado centrato in il polinomio

0 n

(n) (k)

f′

′

(x ) f (x ) f (x )

0 0 0

2 n k

∑

P(x, x ) = f (x ) + f′

(x )(x − x ) + (x − x ) + . . . + (x − x ) = (x − x )

0 0 0 0 0 0 0

2 n! k!

k=0

f g x

O PICCOLO: Date due funzioni e definite in un intorno di si dice che

0

f = o(g) f g x → x x → x f

( è un “o piccolo di per ), per , se è un

0 0

g lim g(x) = 0

infinitesimo di ordine superiore rispetto a , vale a dire se e

x→x 0

f (x)

lim = 0

.

g(x)

x→x 0 f

ORDINE DI INFINITESIMO: Sia una funzione derivabile infinite volte nel

x lim f (x) = 0 f n

punto e tale che . Diciamo che è un infinitesimo di ordine

0 x→x 0 n n

x a ≠ 0 f (x) = a(x − x ) + o(x − x ) ) x → x

in se per qualche , per .

0 0 0 0

f : (a, b) → R F f (a, b)

PRIMITIVA: Sia . La funzione è una primitiva di in se

(a, b) F′

(x) = f (x), ∀x ∈ (a, b)

è derivabile in e se . f : [a, b] → R

PARTIZIONE, SOMMA INFERIORE E SUPERIORE: Sia un

[a, b] L > 0

funzione limitata in , cioè supponiamo che esista una costante

−L ≤ f (x) ≤ L x ∈ [a, b] [a, b]

tale che per ogni . Chiamiamo partizione di

P [a, b]

una collezione finita di punti ordinati di , cioè

{ }

P = a = x < x < x < . . . < x = b . La partizione divide l’intervallo

0 1 2 n

[a, b] [x , x ] k = 0,...,n − 1

in un numero finito di intervalli per .

k k+1

m = inf f M = sup f

Chiamiamo e che sono numeri finiti per ogni

k k

[x ,x ] [x ,x ]

k k+1 k k+1

k = 0,...,n − 1 e definiamo la somma di Riemann inferiore come

n−1

∑

s( f, P) = m (x − x ) e la somma di Riemann superiore come

k k+1 k

k=0

n−1

∑

S( f, P) = M (x − x )

.

k k+1 k

k=0 f : [a, b] → R

INTEGRALE SECONDO RIEMANN: Una funzione limitata si

[a, b] sup s( f, P) = inf S( f, P)

dice integrabile secondo Riemann in se . In

P

P

b

∫ f (x)d x := sup s( f, P) = inf S( f, P)

tal caso il numero si dice integrale

P

P

a

f [a, b]

di Riemann di in . a b f

INTEGRALE DEFINITO: Siano e due numeri reali e sia una funzione

{ } { }

I = [min a, b , ma x a, b ]

limitata nell’intervallo e integrabile secondo

I a b

Riemann su . Definiamo l’integrale definito tra e come:

a < b

integrale di Riemann se

b

∫ 0 a = b

f (x)d x = se .

a

∫

− f (x)d x a > b

a se

b

INTEGRALI IMPROPRIO IN INTERVALLI ILLIMITATI: Sia

f : [a, + ∞) → R f [a, b]

tale che è integrabile secondo Riemann in per

b > a f

ogni . Si dice che la funzione ha integrale improprio convergente in

[a, + ∞) [a, + ∞)

(O anche che è integrabile in ) se esiste finito il limite

b

∫ f

lim f (x)d x . Si dice che ha integrale improprio divergente se

b→+∞ a

b b

∫ ∫

lim f (x)d x = + ∞ lim f (x)d x

. Se invece non esiste si dice

b→+∞ b→+∞

a a

f [a, + ∞)

che la funzione ha integrale improprio indeterminato su .

f : (a, b] → R

INTEGRALE IMPROPRIO DI FUNZIONI ILLIMITATE: Sia

f [a + ϵ, b]

tale che è integrabile secondo Riemann in per ogni

+

0 < ϵ < b − a f x → a

, ma è illimitata quando . Si pone allora

b b

∫ ∫

f (x)d x = lim f (x)d x e si dice che l’integrale improprio è

ϵ→0

a a+ϵ ± ∞

convergente se tale limite esiste finito, è divergente se è ed è

indeterminato se il limite non esiste.

CARATTERE INTEGRALE IMPROPRIO: Distinguere se un integrale

converge o diverge.

{ } k ∈ N

a

SERIE: Sia una successione numerica. Definiamo per ogni

n n∈N +∞

∑

k s = a + . . . + a = a

la ridotta parziale -esima .

k 1 k n

n=1 +∞

{ } ∑ a

s

Se la successione ha limite finito, diciamo che la serie è

︎ n

k k∈N n=1

lim s

convergente e si dice somma della serie.

k

k→+∞

{ }

s

Se la successione diverge diciamo che la serie è divergente.

k k∈N

{ }

s

Se la successione non ha limite, diciamo che la serie è

k k∈N

indeterminata. TEOREMI

P(n) n ∈ N

INDUZIONE: Sia una proposizione che dipende da un indice e

n ∈ N

sia . Se si verifica che:

0

P(n ) è vera;

0

1. n ≥ n , n ∈ N P(n) P(n + 1)

Per ogni , supposta vera , allora anche è

0

2. vera,

P(n) n ≥ n , n ∈ N

allora è vera per ogni .

0

PROPOSIZIONE : Non esistono numeri razionali il cui quadrato è 2.

1 A B R

ASSIOMA DI COMPLETEZZA: Siano e due sottoinsiemi di non vuoti

∀a ∈ A ∀b ∈ B a ≤ b R

e ordinati (Cioè tali che e sia ). Allora esiste in un

A B c ∈ R

elemento separatore di e , cioè esiste tale che

a ≤ c ≤ b, ∀a ∈ A, ∀b ∈ B

.

ESISTENZA DI INF E SUP: Ogni insieme non vuoto limitato superiormente

ha l’estremo superiore. Ogni insieme non vuoto limitato inferiormente ha

l’estremo inferiore.

PROPOSIZIONE : Ogni funzione strettamente monotona è iniettiva e quindi è

2 f A

invertibile. In altre parole se è strettamente monotona su , esiste

−1

f : f (A) → A .

UNICITÀ LIMITE: Una successione convergente non può avere due limiti

distinti. a

DIMOSTRAZIONE: Supponiamo per assurdo che la successione n

L L L > L

converga sia a che a con .

1 2 1 2

ϵ > 0

Allora per ogni

n a ∈ (L − ϵ, L + ϵ) ∀n > n

Esiste tale che

1 n 1 1 1

n a ∈ (L − ϵ, L + ϵ) ∀n > n

Esiste tale che .

2 n 2 2 2

{ } a ∈ (L − ϵ, L + ϵ) ∩ (L − ϵ, L + ϵ)

n > ma x n , n

Per si ha .

1 2 n 1 1 2 2

L − L

1 2

ϵ <

ϵ

Per grande questo è possibile ma per è assurdo perché

2

(L − ϵ, L + ϵ) ∩ (L − ϵ, L + ϵ) = Ø

.

1 1 2 2

LIMITATEZZA DELLE SUCCESSIONI CONVERGENTI: Ogni successione

convergente è limitata. lim a = a > 0 a

PERMANENZA DEL SEGNO: Se la successione &eg