Definizioni, teoremi e dimostrazioni "Analisi I"

Definizioni matematiche

Massimo e minimo

Massimo: Sia un insieme di numeri reali. Si dice massimo di un insieme, se esiste, un numero che è maggiore o uguale di ogni altro elemento di esso. Si scrive M = max(A) se M ∈ A e M ≥ a ∀a ∈ A.

Minimo: Sia un insieme di numeri reali. Si dice minimo di un insieme, se esiste, un numero che è minore o uguale di ogni altro elemento di esso. Si scrive m = min(A) se m ∈ A e m ≤ a ∀a ∈ A.

Insieme limitato

Un insieme non vuoto di numeri reali si dice limitato superiormente se esiste L ∈ R tale che L ≥ a ∀a ∈ A. Un numero con tale proprietà si dice un maggiorante di A.

Un insieme non vuoto di numeri reali si dice limitato inferiormente se esiste l ∈ R tale che l ≤ a ∀a ∈ A. Un numero con tale proprietà si dice un minorante di A.

Si dice infine che un insieme è limitato se è limitato superiormente e inferiormente.

Estremi

Sia un sottoinsieme non vuoto di R. Diciamo che M è l'estremo superiore di A se è il più piccolo dei maggioranti di A. Si indica M = sup(A).

Sia un sottoinsieme non vuoto di R. Diciamo che m è l'estremo inferiore di A se è il più grande dei minoranti di A. Si indica m = inf(A).

Funzione iniettiva, suriettiva e biunivoca

Funzione iniettiva: Una funzione si dice iniettiva se non ci sono due elementi distinti di A con la stessa immagine, ovvero f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂.

Funzione suriettiva: Una funzione si dice suriettiva su B se per ogni y ∈ B esiste x ∈ A tale che y = f(x).

Funzione biunivoca: Una funzione iniettiva e suriettiva si dice biunivoca.

Funzione inversa

Se f : A → B è biunivoca, ad ogni punto di B corrisponde uno e un solo punto di A e viceversa. Questo permette di definire la funzione inversa di f come la funzione che ad ogni punto y ∈ B associa l'unico punto x in A del quale è immagine, cioè l'unico punto tale che y = f(x). La funzione inversa viene indicata come f^-1 e ha la seguente proprietà: f^-1(f(x)) = x, ∀x ∈ A, f(f^-1(y)) = y, ∀y ∈ B.

Funzione crescente e decrescente

Funzione crescente: Una funzione è crescente in A se per ogni coppia di punti x₁, x₂ ∈ A con x₁ < x₂ vale f(x₁) ≤ f(x₂).

È invece strettamente crescente se per ogni coppia di punti x₁, x₂ ∈ A con x₁ < x₂ vale f(x₁) < f(x₂).

Funzione decrescente: Una funzione è decrescente in A se per ogni coppia di punti x₁, x₂ ∈ A con x₁ < x₂ vale f(x₁) ≥ f(x₂).

È invece strettamente decrescente se per ogni coppia di punti x₁, x₂ ∈ A con x₁ < x₂ vale f(x₁) > f(x₂).

Funzione pari e dispari

Una funzione definita in un dominio simmetrico rispetto all'origine della retta si dice pari se f(x) = f(−x), ∀x ∈ A.

Una funzione si dice dispari se f(x) = −f(−x), ∀x ∈ A.

Funzione periodica

Una funzione si dice periodica di periodo T se f(x) = f(x + T), ∀x ∈ A.

Successione

Una successione è una funzione da N in R, cioè una legge che ad ogni numero naturale fa corrispondere uno e un solo numero reale.

Successione monotona

Una successione è crescente se a_n ≤ a_n+1 per ogni n ∈ N ed è strettamente crescente se a_n < a_n+1 per ogni n ∈ N.

Limite successione convergente

Sia L ∈ R. Diciamo che la successione a_n converge ad L se per ogni ε > 0 esiste un N tale che |a_n − L| < ε per ogni n > N. Ogni successione che ha limite si dice una successione convergente.

Limite successione divergente

Diciamo che la successione diverge a +∞ e scriviamo lim_n→+∞ a_n = +∞ se per ogni M > 0 esiste un N tale che a_n > M per ogni n > N.

Diciamo invece che la successione diverge a −∞ e scriviamo lim_n→+∞ a_n = −∞ se per ogni M > 0 esiste un N tale che a_n < −M per ogni n > N.

Numero di Nepero

La successione a_n = (1 + 1/n)ⁿ è convergente e il suo limite è e, che è un numero compreso tra 2 e 3 e si chiama numero di Nepero.

Punto di accumulazione

Dato un insieme A, diciamo che x₀ ∈ A è punto di accumulazione per A se ∃ x_n ∈ A tale che lim_n→+∞ x_n = x₀.

Limite funzioni (successioni)

Sia x₀ un punto di accumulazione per A e sia f definita in A. Allora, f ha limite L in x₀ (lim_x→x0 f(x) = L) se per ogni successione {x_n} tale che x_n ∈ A − {x₀} e lim_n→+∞ x_n = x₀, si ha lim_n→+∞ f(x_n) = L.

Limite funzioni (ε-δ)

Sia x₀ un punto di accumulazione per A e f definita in A. Allora lim_x→x0 f(x) = L se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che |f(x) − L| < ε, ∀x ∈ A con 0 < |x − x₀| < δ.

Funzione continua in un punto

Sia A ⊂ R e sia x₀ un punto di A. La funzione f : A → R è continua in x₀ se lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

f è continua in x₀, punto di accumulazione per A, se, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tale che |f(x) − f(x₀)| < ε, ∀x ∈ A con 0 < |x − x₀| < δ.

Funzione continua in un intervallo

La funzione f è continua in (a, b) ([a, b]) se è continua in ogni punto di (a, b) ([a, b]).

Discontinuità di funzione

• Eliminabile: Esiste finito lim_x→x0 f(x), ma non coincide con f(x₀).
• Salto (prima specie): Non esiste lim_x→x0 f(x) perché i limiti destro e sinistro esistono e sono entrambi finiti ma lim_x→x0^- f(x) ≠ lim_x→x0⁺ f(x).
• Seconda specie: Sono tutte le altre discontinuità: è sufficiente che limite destro e sinistro non esistano oppure siano infiniti.

Funzione derivabile

Sia f : (a, b) → R e sia x₀ ∈ (a, b). Chiamiamo rapporto incrementale di f in x₀ (con incremento h) il rapporto Δf/Δx = [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h.

Diciamo che la funzione è derivabile in x₀ se esiste finito il limite lim_h→0 [f(x₀ + h) − f(x₀)]/h. Tale limite si chiama derivata di f in x₀ e si indica con il simbolo f′(x₀).

Polinomio di Taylor

Se f è derivabile n volte in x₀, si chiama Polinomio di Taylor di grado n centrato in x₀ il polinomio:

P(x, x₀) = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) + f′′(x₀)(x − x₀)²/2! + ... + f^(k)(x₀)(x − x₀)^k/k!.

O piccolo

Date due funzioni f e g definite in un intorno di x₀, si dice che f è un "o piccolo" di g per x → x₀ se f(x) = o(g(x)) se lim_x→x0 f(x)/g(x) = 0.

Ordine di infinitesimo

Sia f una funzione derivabile infinite volte nel punto x₀ e tale che lim_x→x0 f(x) = 0. Diciamo che f è un infinitesimo di ordine n in x₀ se per qualche a ≠ 0, f(x) = a(x − x₀)ⁿ + o((x − x₀)ⁿ).

Primitiva

Sia f : (a, b) → R. La funzione F è una primitiva di f in (a, b) se F′(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b).

Partizione, somma inferiore e superiore

Sia f : [a, b] → R una funzione limitata in [a, b], cioè supponiamo che esista una costante L > 0 tale che −L ≤ f(x) ≤ L per ogni x ∈ [a, b].

Chiamiamo partizione di [a, b] una collezione finita di punti ordinati di [a, b], cioè P = {a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b}. La partizione divide l’intervallo [a, b] in un numero finito di intervalli [x_k, x_k+1] per k = 0,...,n−1.

Chiamiamo m_k = inf f[x_k,x_k+1] e M_k = sup f[x_k,x_k+1] che sono numeri finiti per ogni k = 0,...,n−1 e definiamo la somma di Riemann inferiore come:

• s(f, P) = ∑_k=0^n-1 m_k(x_k+1 − x_k).
• S(f, P) = ∑_k=0^n-1 M_k(x_k+1 − x_k).

Integrale secondo Riemann

Una funzione limitata si dice integrabile secondo Riemann in [a, b] se sup s(f, P) = inf S(f, P) per ogni partizione P di [a, b]. In tal caso il numero:

∫_a^b f(x)dx := sup s(f, P) = inf S(f, P)

si dice integrale di Riemann di f in [a, b].

Integrale definito

Siano a e b due numeri reali e sia f una funzione limitata nell’intervallo I = [min{a, b}, max{a, b}] e integrabile secondo Riemann su I. Definiamo l’integrale definito tra a e b come:

• ∫₀^a f(x)dx = 0 se a = b
• ∫_a^b f(x)dx = −∫_b^a f(x)dx se a > b

Integrali impropri in intervalli illimitati

Sia f : [a, +∞) → R tale che è integrabile secondo Riemann in [a, b] per ogni b > a. Si dice che la funzione ha integrale improprio convergente in [a, +∞) se esiste finito il limite:

lim_b→+∞ ∫_a^b f(x)dx.

Si dice che ha integrale improprio divergente se:

lim_b→+∞ ∫_a^b f(x)dx = +∞.

Se invece non esiste si dice che la funzione ha integrale improprio indeterminato su [a, +∞).

Integrale improprio di funzioni illimitate

Sia f : (a, b] → R tale che è integrabile secondo Riemann in [a + ε, b] per ogni 0 < ε < b − a, ma è illimitata quando x → a.

Si pone allora: ∫_a^b f(x)dx = lim_ε→0 ∫_a+ε^b f(x)dx e si dice che l’integrale improprio è convergente se tale limite esiste finito, è divergente se è ±∞ ed è indeterminato se il limite non esiste.

Carattere integrale improprio

Distinguere se un integrale converge o diverge.

Serie

Sia {a_n} una successione numerica. Definiamo per ogni n ∈ N la somma ridotta parziale s_n = a₁ + ... + a_n.

Se la successione {s_n} ha limite finito, diciamo che la serie è convergente e si dice somma della serie.

Se la successione {s_n} diverge diciamo che la serie è divergente.

Se la successione {s_n} non ha limite, diciamo che la serie è indeterminata.

Teoremi

Induzione

Sia P(n) una proposizione che dipende da un indice n ∈ N. Se si verifica che:

• P(n₀) è vera;
• Per ogni n ≥ n₀, n ∈ N, supposta vera P(n), allora anche P(n + 1) è vera;

allora P(n) è vera per ogni n ≥ n₀, n ∈ N.

Proposizione

Non esistono numeri razionali il cui quadrato è 2.

Assioma di completezza

Siano A e B due sottoinsiemi di R non vuoti e ordinati (Cioè tali che ∀a ∈ A ∀b ∈ B, a ≤ b). Allora esiste in R un elemento separatore c di A e B, cioè esiste c ∈ R tale che a ≤ c ≤ b, ∀a ∈ A, ∀b ∈ B.

Esistenza di inf e sup

Ogni insieme non vuoto limitato superiormente ha l’estremo superiore. Ogni insieme non vuoto limitato inferiormente ha l’estremo inferiore.

Proposizione

Ogni funzione strettamente monotona è iniettiva e quindi è invertibile. In altre parole, se f è strettamente monotona su A, esiste f^-1 : f(A) → A.

Unicità limite

Una successione convergente non può avere due limiti distinti.

Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che la successione a_n converga sia a L₁ che a L₂ con L₁ > L₂. Allora per ogni ε > 0 esiste n₁ tale che a_n ∈ (L₁ − ε, L₁ + ε), ∀n > n₁ ed esiste n₂ tale che a_n ∈ (L₂ − ε, L₂ + ε), ∀n > n₂. Per n > max{n₁, n₂} si ha L₁ − L₂ < ε, il che è assurdo perché (L₁ − ε, L₁ + ε) ∩ (L₂ − ε, L₂ + ε) = Ø.

Limitatezza delle successioni convergenti

Ogni successione convergente è limitata.