Definizioni e teoremi principali Analisi Matematica 1

Definizione di funzione

Siano A, B due insiemi non vuoti; una funzione da A a B è una legge che assicura ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

A è detto dominio della funzione ed è l’insieme su cui la funzione agisce. B è detto codominio della funzione ed è un insieme che deve contenere almeno tutti gli elementi di f.

A, B ≠ ∅ una legge → ∀ x ∈ A ∃ y ∈ B : f ( x ) = g_i

Definizione di restrizione di f

A, B, A' ≠ ∅ f: A → B; A' ⊆ A

Chiamiamo restrizione di f ad A' la funzione f

g è f |_A' : A' → B ∀ x ∈ A', y = g ( x ) = f ( x ) ∈ R

Definizione di immagine

A, B, A' ≠ ∅ f: A → B; chiamiamo immagine di f il sottoinsieme del codominio contenente tutti e soli i trasformati degli elementi di A tramite f.

Im ( f ) = { y ∈ B : y = f ( x ), x ∈ A } im ( f ) = f ( A ) = { f ( x ) : x ∈ A }

Definizione di intorno

u₀ ∈ R, ε > 0: si chiama intorno di centro u₀ e raggio ε l’intervallo aperto (u₀ - ε, u₀ + ε) = { u ∈ R: u₀ - ε < u < u₀ + ε }

Definizione punto isolato

A ⊆ R, u₀ ∈ A: u₀ è isolato se ∃ ε > 0 : I_ε (u₀) ∩ A = { u₀ }

Definizione punto di accumulazione

A ⊆ R, u₀ ∈ R ∪ {±∞}

u₀ è punto di accumulazione di A se: ∀ ε > 0, I_ε (u₀) ∩ A ≠ ∅ dové ha può non appartere all’intorno.

Definizione Punto di Frontiera:

A ⊆ ℝ, x₀ ∈ ℝ. x₀ è punto di frontiera se ∀I(x₀), ∃ u in I(x₀)\{x₀} ∈ A e u ∉ A oppure ∃ u in I(x₀)\{x₀} ∉ A e u ∈ A.

Definizioni Limite:

lim_u→x₀ f(u) = l ∈ ℝ ⇔ ∀ε>0 ∃δ>0: ∀u ∈ dom(f) ∩ I(x₀, δ), si ha che: |f(u) - l| < ε

lim_u→x₀ f(u) = +∞ ⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃δ>0: ∀u ∈ dom(f) ∩ (x₀-δ, x₀+δ), si ha che: f(u) > A

lim_u→x₀ f(u) = -∞ ⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃δ>0: ∀u ∈ dom(f) ∩ (x₀-δ, x₀+δ), si ha che: f(u) < A

lim_u→m⁻ f(u) = l ∈ ℝ ⇔ ∀ε>0 ∃m ∈ ℝ: ∀u ∈ dom(f) ∩ (m, x₀), si ha che |f(u) - l| < ε

lim_u→m⁺ f(u) = l ∈ ℝ ⇔ ∀ε>0 ∃m ∈ ℝ: ∀u ∈ dom(f) ∩ (x₀, m), si ha che |f(u) - l| < ε

lim_u→x⁺ f(u) = +∞ ⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃m ∈ ℝ: ∀u ∈ dom(f) ∩ (m, +∞), si ha che: f(u) > A

lim_u→x⁻ f(u) = +∞ ⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃m ∈ ℝ: ∀u ∈ dom(f) ∩ (-∞, m), si ha che: f(u) > A

lim_u→x⁺ f(u) = -∞ ⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃m ∈ ℝ: ∀u ∈ dom(f) ∩ (m, +∞), si ha che: f(u) < A

lim_u→x⁻ f(u) = -∞ ⇔ ∀A ∈ ℝ, ∃m ∈ ℝ: ∀u ∈ dom(f) ∩ (-∞, m), si ha che: f(u) < A

Definizione Generale di Limite:

f: dom(f) ⊆ ℝ → ℝ, x₀ ∈ ℝ ∨ {±∞}, l ∈ ℝ ∪ {±∞}

∀I(x) ∃I(x), ∀x ∈ dom(f) ∩ I(x₀): ∃V₃: f(x) ∈ I(ε)

Quindi per qualunque intorno di l esiste un intorno di x₀ in cui f(x) ∈ I(ε)

PRIMO TEOREMA DEL CONFRONTO

A ⊆ ℝ, A ≠ ∅

f,g : A → ℝ

x₀ ∈ ℝ ∪ {±∞} ed è punto di accumulazione per A

1. esistono ^lim_x→x₀ f(x) = l e ^lim_x→x₀ g(x) = m con x₀ ≠ l ∈ ℝ ∪ {±∞}
2. ∀x ∈ (A ∩ I(x₀)) f(x) ≤ g(x)

allora l ≤ m

DIMOSTRAZIONE

Se l = -∞ oppure m = +∞ è sostanzialmente uguale al teorema di del confronto.

l, m ∈ ℝ

h: A → ℝ n(x) = f(x) - g(x)

Poiché ∀x ∈ (A ∩ I(x₀))(x₀) f(x) ≤ g(x)

allora ∀x ∈ (A ∩ I(x₀))(x) h(x) ≤ 0

per cui ^lim_x→x₀ f(x) - g(x) = l - m

l - m ≤ 0 → l ≤ m

SECONDO TEOREMA DEL CONFRONTO

A ⊆ ℝ, A ≠ ∅

f,g : A → ℝ

x₀ ∈ ℝ ∪ {±∞} ed è punto di accumulazione per A

1. esiste ^lim_x→x₀ f(x) = ^lim_x→x₀ h(x) = l ∈ ℝ
2. ∃ I(x₀): ∀x ∈ (A ∩ I(x))(x₀) si abbia f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

allora ^lim_x→x₀ g(x) = l

∃ lim_k x_nk, di y_mk, y_mk ∈ E(0,1), converge a y₀

Poiché E è continuo in [a,b] per l'altezza e poiché v_i(ƒ(a),ƒ(b)) ricevono anche m_nk ∈ [a,b] continuo in v₀. Dunque lim_k(ƒ(x_mk)) = ƒ(u)

Poiché lim_m y_m = lim_n(ƒ(u_n)) = sup(ƒ[a, b])

⇒ lim_k (ƒ(x_mk)) = sup(ƒ(u)) = lim_k y_mk = sup(ƒ(u))       u ∈ [a,b]

LEGAME FRA MONOTONIA E SEGNO DELLA DERIVATA

• I ⊆ R
• f: I → R una funzione derivabile
• (a) se f' (x) = 0 allora f è costante f derivabile
• (b) se f' (x) ≥ 0 ∀x ∈ I allora f è crescente su I.
• (c) se f' (x) > 0 ∀x ∈ I allora f è strettamente crescente su I.

Nota: vale il reciproco della (c).

f: f = x³ la cui funct.

RICERCA DEI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO LOCALE

• f: Dom(f) → R
• I ⊆ dom(f):
• n_o ∈ I
• f è derivabile in I\{n₀}
• (a) se f' (x) > 0 ∀x ∈ I con uno e f' (n_o) < 0 ∀x ∈ I con x ≠ x_o, allore n_o è punto di massimo locale per f.
• (b) se f' (x) ≤ 0 ∀x ∈ I con uno e f' (n_o) > 0 ∀x ∈ I con x = x_o, allora no è punto di minimo locale per f.
• (c) se f' (x) > 0 ∀x ∈ I dunque f' (x) = 0 ∀x ∈ I con uno f' (n₀), allore n_o e un poonti di flesso di wandquete horizontale.

CARATTERIZZAZIONE DELLE FUNZIONI COSTANTI

• I ⊆ R
• I può a un intervalo:
• f: I → R una funzione derivable tale che f' (x) = 0 ∀x∈I
• → f è costante su I.
• I deve reconosonivamente avere un intervalo, perche se non le forni moltude costanti delle funzioni con descocritud di prime specie oppure elimina ille cause per esempio sgn(x).

Integrali Impropri - Lemma

Sia f: [0,c) → R una funzione non negativa e integrabile su [0,c), c ∈ R.

l'integrale improprio di f tra 0 e +∞ converge o diverge se i partendo terremi vari non son indeterminamto.

Criterio del Consueto

f,g: [0,c) → R due funzione integrabili su [0,c), ∀ c ∈ R, c ≥ 0.

1. Se l'integrale improprio di g tra 0 e +∞ converge allora anche l'integrale improprio di f tra 0 e +∞ converge e in tal caso ₀ ∫^+∞ |f|da = ₀ ∫^+∞ |g|da.
2. Se l'integrale improprio di f tra 0 e +∞ diverge allora anche l'integrale improprio di g tra 0 e +∞ diverge.

Criterio della Convergenza Assoluta

f: [0,+∞) → R una funzione integrabile su [0,c), ∀ c ∈ R, c ≥ 0.

Se l'integrale improprio di f tra 0 e +∞ converge assolutamente, ovvero in valore assoluto allora l'integrale improprio di f tra 0 e +∞ converge e in tal caso:

₀ ∫^+∞ f(u)du = ∫₀^+∞ |f(u)|du.

Criterio del Confronto Asintotico

f,g: [0,∞) → R due funzioni integrabili su [0,c), ∀ c ∈ R, con c ≥ 0.

g(u) ≥ 0 ∀u ∈ [0,+∞).

Hp: ∃ lim_u→+∞ ^f(u)/_g(u) = ℓ, ℓ ∈ R esiste finito.