Definizioni e teoremi principali Analisi Matematica 1

Definizione di funzione

Siano A, B due insiemi non vuoti; una funzione da A a B è una legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. A è detto dominio della funzione ed è l'insieme su cui la funzione agisce. B è detto codominio della funzione ed è un insieme che deve contenere almeno tutti gli elementi di f. A, B ≠ ∅ : f: A → B : per ogni x ∈ A, esiste y ∈ B : f(u) = g.

Definizione di restrizione di f

A, A' ≠ ∅ : f: A → B; A' ⊆ A. Chiamiamo restrizione di f ad A' la funzione f: A' → B che ad ogni a ∈ A' associa f(a) ∈ B. g ∈ f|A': A → B | ∀x ∈ A, y = g(u) = f(u) ∈ R.

Definizione di immagine

A, B ≠ ∅ : f: A → B; si chiama immagine di f il sottoinsieme del codominio contenente tutti e soli i trasformati degli elementi di A tramite f. im (f) = {y ∈ B : y = f(u), u ∈ A} | im (f) = f(A) = {f(a) : a ∈ A}. im (f) ⊆ B sempre!

Definizione di intorno

u₀ ∈ R e r > 0; si chiama intorno di centro u₀ e raggio r l'intervallo aperto (u₀ - r, u₀ + r) → {*u ∈ R : u₀ - r < u < u₀ + r*}.

Definizione punto isolato

A ⊆ R, u₀ ∈ A; u₀ è isolato se ∃r > 0 : I_γ (u₀) ∩ A = {u₀}.

Definizione punto di accumulazione

A ⊆ R, u₀ ∈ R ∪ {∞}. u₀ è punto di accumulazione di A se: ∀γ > 0, I_γ (u₀) ∩ A ≠ ∅ dove u₀ può non appartenere all'intorno.

Definizione di funzione (ripetizione)

Siano A, B due insiemi non vuoti; una funzione da A a B è una legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. A è detto dominio della funzione ed è l'insieme su cui la funzione agisce. B è detto codominio della funzione ed è un insieme che deve contenere almeno tutti gli elementi di f. A, B ≠ ∅ : f: A → B ; ∀ x ∈ A ∃ y ∈ B : f(x) = y.

Definizione di restrizione di f (ripetizione)

A, B, A' ≠ ∅ : f: A → B ; A' ⊆ A. Chiamiamo restrizione di f ad A' la funzione g: A' → B che ad ogni x ∈ A' associa f(x) ∈ B. g ∈ f|A' : A' → B ; ∀ x ∈ A', y = g(x) = f(x) ∈ R.

Definizione di immagine (ripetizione)

A, B ≠ ∅ : f: A → B ; si chiama immagine di f il sott'insieme del codominio contenente tutti e soli i trasformati degli elementi di A tramite f. im (f) = { y ∈ B : y = f(x), x ∈ A }. im (f) = f(A) = { f(x) : x ∈ A }. im (f) ⊆ B sempre!

Definizione di intorno (ripetizione)

∀ u₀ ∈ R e r > 0 ; si chiama intorno di centro u₀ e raggio r l'intervallo aperto (u₀ - r, u₀ + r) : ∃ u ∈ R : u₀ - r < u < u₀ + r , { u ∈ R : u - u₀ < r }.

Definizione punto isolato (ripetizione)

A ⊆ R, u₀ ∈ A : u₀ è isolato se ∃ ϱ > 0 . I_ϱ (u₀) ∧ A = { u₀ }.

Definizione punto di accumulazione (ripetizione)

A ⊆ R, u₀ ∈ R ∪ { ∞ }. u₀ è punto di accumulazione di A se: ∀ ϱ > 0, T_ϱ (u₀) ∧ A ≠ ∅ dove u₀ può non appartenere all'intorno.

Definizione punto di frontiera

A ∈ ℝ, u₀ ∈ ℝ. u₀ è punto di frontiera di A se ∀(u₀) ∈ ℝ ∖ ∩(u₀) ≠ ∅.

Definizioni limiti

lim_x→x0 f(x) = L ∈ ℝ ∀ε > 0 ∃δ > 0: ∀x ∈ dom(f) ∩ (x₀) n.h.c che: |f(x) - L| < ϴ, ∀x ∈ dom(f) ∩ (x₀-, x₀+) n.h.c che: f(x) ≥ lim_x→x0 f(x) = L.