Definizioni e teoremi analisi 1 Matematica

Definizioni analisi 1 di matematica

Funzione pari, funzioni dispari

Una funzione si dice pari se f(-x) = f(x) per ogni x.

Una funzione è pari se il grafico è simmetrico all'asse y.

Una funzione si dice dispari se f(-x) = -f(x) per ogni x.

Una funzione è dispari se il grafico è simmetrico rispetto l'origine.

Funzione, dominio, codominio, immagine, grafico

Dati due insiemi X e Y (dominio e codominio), una funzione da X a Y (f: X -> Y) è una procedura che ad ogni x ∈ X (input) associa un elemento y ∈ Y (output), indicato con f(x).

L'immagine è la proiezione del grafico sull'asse Y { f(x) : x ∈ X }.

Il grafico è l'insieme dei punti del piano { (x,y) : x ∈ X e y = f(x) }

Funzioni iniettive, surgettive, biiettive

Una funzione si dice iniettiva se ad input diversi corrispondono sempre output diversi.

x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂), cioè l'equazione f(x) = y ha al più una soluzione x ∀ y.

Una funzione si dice surgettiva se l'immagine è il codominio (Im = Y), cioè l'equazione y = f(x) ammette almeno una soluzione x ∀ y ∈ Y.

Una funzione biiettiva è sia iniettiva che surgettiva.

Funzione inversa

Data f: X -> Y e g: Y -> X, si dice che g è l'inversa di f e viceversa se:

• g (f(x)) = x ∀ x ∈ X
• f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y

L'inversa è uno ad uno ed esiste se e solo se la funzione è biiettiva.

L'inversa è una riflessione rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

Definizioni analisi 1 di matematica

Funzione pari, funzioni dispari

Una funzione si dice pari se f(-x) = f(x) per ogni x.Una funzione è pari se il grafico è simmetrico all'asse y.Una funzione si dice dispari se f(-x) = -f(x) per ogni x.Una funzione è dispari se il grafico è simmetrico rispetto l'origine.

Funzione, dominio, codominio, immagine, grafico

Dati due insiemi X e Y (dominio e codominio), una funzione da X a Y (f: X -> Y) è una procedura che ad ogni x ∈ X (input) associa un elemento y ∈ Y (output), indicato con f(x).L'immagine è la proiezione del grafico sull'asse y {f(x): x ∈ X}Il grafico è l'insieme dei punti del piano {(x, y) : x ∈ X e y = f(x)}

Funzioni iniettive, surgettive, biiettive

Una funzione si dice iniettiva se ad input diversi corrispondono sempre output diversi. x₁ ≠ x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂), cioè l'equazione f(x) = y ha al più una soluzione x ∈ X per ogni y ∈ Y.Una funzione si dice surgettiva se l'immagine è il codominio (Im = Y), cioè l'equazione y = f(x) ammette almeno una soluzione x ∈ X ∀ y ∈ Y.Una funzione biiettiva è sia iniettiva che surgettiva.

Funzione inversa

Data g: X -> Y e g: Y -> X, si dice che g è l'inversa di f e viceversa se:g(f(x)) = x ∀ x ∈ X e f(g(y)) = y ∀ y ∈ YL'inversa è una ad e un solo se f è biiettiva.L'inversa è una riflessione rispetto alla bisettrice del I^o e III^o quadrante.

Limite finito per X che tende ad infinito

Si dice che f(x) → L per x → +∞ se ∀ε > 0, f(x) approssima L con errore inferiore a ε da un certo x₀ in poi.

∀ε > 0 ∃ x₀ t.c. x > x₀ ⇒ |f(x) - L| < ε

Limite infinito per X che tende a infinito

Dato f: ℝ → ℝ si dice che f(x) → +∞ per x → +∞ se raggiunta soglia M, vale f(x) > M per x da un certo punto XN in poi.

∀M ∃ xₙ t.c. x > xₙ ⇒ f(x) > M

Limite finito per X che tende a X0

Dati: f: ℝ → ℝ, L ∈ ℝ, x₀ ∈ ℝ, si dice f(x) → L per x → x₀ se ∀ε > 0, f(x) approssima L con errore ε per ogni x sufficientemente vicino x₀.

∀ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. |x - x₀| < δ e x ≠ x₀ ⇒ |f(x) - L| < ε

Limite destro, Limite sinistro

Dato f: ℝ ⟶ ℝ, x₀ ∈ ℝ, L ∈ ℝ dico che il limite di f(x) per x che tende a x₀ da destra è L ⇔ lim_{x ⟶ x₀⁺} f(x) = L ∀ ε>0 ∃ δε>0 t.c. x₀ < x < x₀ + δε ⇒ |f(x) - L| ≤ ε

Dato f: ℝ ⟶ ℝ, x₀ ∈ ℝ, L ∈ ℝ dico che il limite di f(x) per x che tende a x₀ da sinistra è L ⇔ lim_{x ⟶ x₀^-} f(x) = L ∀ ε>0 ∃ δε>0 t.c. x₀ - δε < x < x₀ ⇒ |f(x) - L| ≤ ε

Per parlare di limite destro/sinistro, basta che il dominio contenga punti x strettamente maggiori/minori di x₀.

Funzione continua

Dato f: ℝ ⟶ ℝ e x₀ ∈ X, dico che f è continua in x₀ se ∀ ε>0 ∃ δε>0 t.c. |x - x₀| < δε ⇒ |f(x) - f(x₀)| ≤ ε

Dico che una funzione è continua se è continua in ogni x₀ ∈ X

Derivata

Dato f: ℝ ⟶ ℝ e x ∈ ℝ, la derivata di f in x è il limite del rapporto incrementale f'(x) = lim_h⟶0 (f(x+h) - f(x)) / h

Per parlare di derivata in x, serve che esistano h piccoli t.c. x+h ∈ X Se f'(x) esiste e ∈ ℝ dico che f è derivabile in x e se la derivata esiste ∀x ∈ X, allora dico che la funzione è derivabile su X

il coefficiente angolare è la derivata della funzione

Punti e valori di massimo e minimo

Il valore massimo di y è l'elemento y_M ∈ Y più grande (max(y) = max {f(x) | x ∈ X}).

Il valore minimo di y è l'elemento y_m ∈ Y più piccolo (min(y) = min {f(x) | x ∈ X}).

I punti di massimo di f sono tutti i punti x ∈ X dove f assume il val. max (f(x_m) = max f(x)).

I punti di minimo di f sono tutti i punti x ∈ X dove f assume il val. min (f(x_m) = min f(x)).

Dato f: ≥ ↠ &R; x₀ ∈ X, si dice che x₀ è un punto di massimo locale se ∃ un I t.c.:

• x₀ è interno a I
• x₀ è un punto di max relativo a I∩X

Dato f: ≥ ↠ &R; x₀ ∈ X, si dice che x₀ è un punto di minimo locale se ∃ un I t.c.:

• x₀ è interno a I
• x₀ è un punto di min relativo a I∩X

Estremo superiore, estremo inferiore

Dato Y ⊆ &R; Y = I₁ ∪...∪ I_m

Indico con I₁,...I_m intervalli e con a_i e b_i gli estremi di I_i.

L'estremo superiore di Y è il più grande degli estremi (Sup (y)).

L'estremo inferiore di Y è il più piccolo degli estremi (Inf (y)).

Teorema di weierstrass

Dati x = I₁∪...∪ I_m (intervalli chiusi e limitati): I_i = [∑a_i, b_i].

Data f : X → R continua, allora esistono i punti e i valori di max e min.

Funzione crescente, decrescente (strettamente)

Una funzione è crescente se ∀ x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂, vale f(x₁) ≤ f(x₂).

Una funzione è decrescente se ∀ x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂, vale f(x₁) ≥ f(x₂).

Una funzione è strettamente crec se ∀ x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂, vale f(x₁) < f(x₂).

Una funzione è strettamente decre se ∀ x₁, x₂ ∈ X con x₁ < x₂, vale f(x₁) > f(x₂).

Funzione concava e convessa

Una funzione è convessa se per ogni

P₀ e P₁ nel grafico, il segmento di estremi

P₀ e P₁ "sta sopra al grafico"

Una funzione è concava se per ogni

P₀ e P₁ nel grafico, il segmento di estremi

P₀ e P₁ "sta sotto al grafico"

Sviluppo di Taylor e resto di Peano

Data una funzione definita in almeno un intervallo d-volte derivabile

Il polinomio di Taylor di ordine "d" (in 0) della funzione è -

P_d(x) = f(0) + f'(0) x + ^f''(0)⁄_2! x² + ... + ^fd(0)⁄_d! x^d = ∑_n=0^{d fn(0)}⁄_n! xⁿ

Il resto del P. di Taylor di una funzione è: Rd(x) = f(x) - Pd(x)

Teorema di Rolle

Data una f: [a,b] ↦ ℝ derivabile (continua)

Se f(a) - f(b) allora ∃ ξ ∈ (a,b) t.c. f'(ξ) = 0

Teorema di Cauchy

Data f,g: [a,b] ↦ ℝ derivabili t.c. g'(x) ≠ 0 ∀x allora ∃ ξ ∈ (a,b) t.c.

1. ^{f(b) - f(a)}⁄_{g(b) - g(a)} = ^f'(ξ)⁄_g'(ξ)

Teorema di Lagrange

Data f: [a,b] ↦ ℝ derivabile, allora ∃ ξ ∈ (a,b) t.c.

1. ^{f(b) - f(a)}⁄_b-a = f'(ξ)

Teorema di de L'Hopital

Sono date f,g: x → I (intervallo che contiene x₀) t.c.:

f,g derivabili: f(x₀) = 0 o ∞; "L" = lim_x→x0 f'(x)/g'(x)

allora lim_x→x0 f(x)/g(x) =

Teorema di unicità dei limiti

Se per x→x₀, f(x) ha per limite L ∈ ℝ => Questo limite è unico

Primitiva

Una funzione F: I → ℝ è una primitiva di f: I → ℝ se ∀ x ∈ I,

F è derivabile e F'(x) = f(x)

Integrale

Sia dato f: [a,b] → ℝ (continua)

Se f(x) ≥ 0 → l'integrale definito di f da "a" a "b" è l'area di A ➔ ∫_a^b f(x) dx

Se f(x) < 0 → l'integrale definito è ∫_a^b f(x) dx = area (A⁺) - area (A^-)

Somme di Riemann

Se f: [a,b] → R è continua Approssimare l'integrale come la somma di rettangoli di base δ Le somme di Riemann sono: I_S = _n=1^N∑ f(x_i) ⋅ δ

Definire errore S^b_a | ∫^b_a f(x) dx | ⇒ se f è continua errore δ →₀ 0

Integrali propri e impropri

• Se a,b finiti e f è definita e continua su [a,b] ⇒ integrale proprio
• Se a o b e/o f sono infiniti oppure f non è definita/non è continua in un insieme finito di punti in [a,b] ⇒ improprio semplice in a o b

Equazioni differenziali

Le equazioni differenziali sono equazioni in cui l'incognita è una funzione (x(t)) in cui compare sia la funzione che le sue derivate

Serie numeriche e successione numerica

Data una successione numerica di a₁, a₂, a₃ ... Una serie è la somma di queste successione numeriche a₁ + a₂ + a₃ + ... = ∑_n=0^∞ a_n = lim _N→∞ (∑^N_n=1 a_m) = lim _N→∞ S_N ⇒ somma parziale asintotica

Teorema di esistenza e unicità

Sotto opportune ipotesi di regolarità sulla funzione, le soluzioni dell'equazione ẋ = f(t,x) sono una famiglia di funzioni ad un solo parametro e imponendo la condizione iniziale x(t₀) = x₀ con t₀ e x₀ detti i c'è una soluzione unica.