Analisi 1: teoria, definizioni, teoremi e dimostrazioni

Estremo superiore, estremo inferiore

Sia E ⊆ X. Un numero k ∈ X (non necessariamente appartenente ad E) si dice un maggiorante di E. kx ∈ E. L'insieme superiormente e inferiormente limitato da modi maggiorati e minorati. Chiamiamo estremo superiore, sup E, il minimo dei maggioranti di E. Esiste. Chiamiamo estremo inferiore, inf E, il minimo dei minoranti di E Esiste.

Punti di accumulazione

Dato l'insieme A ⊂ R e x₀ ∈ R, si dice che x₀ è punto di accumulazione per l'insieme A se in ogni intorno I(x₀) esiste un elemento X diverso da x₀ ed appartenente ad A. In formula: ∀I(x₀), ∃x ∈ A: x ∈ I(x₀), x ≠ x₀

Punto isolato

Un punto X₀ appartenente ad un sott'insieme S in uno spazio topologico è un punto isolato di S se esiste un intorno di x₀, non contenente altri punti di S.

Punti interni ed esterni e di frontiera

Sia E ⊂ R, x₀ ∈ R si dice punto interno ad E se esiste almeno un intorno completo di x₀ tutto contenuto in E. Sia E ⊂ R, x ∈ R, si dice punto esterno di E se esiste un intorno completo di x₀ tutto contenuto nel complementare di E. Sia E ⊂ R, x₀ ∈ R, x₀ è un punto di frontiera di E se ogni intorno completo di x₀ contiene almeno un punto.

Insiemi chiusi ed aperti

Un insieme S si dice chiuso se contiene il suo intorno e la sua frontiera. Un insieme S dice aperto se i suoi punti sono tutti interni e non contiene punti di frontiera.

Funzioni limitate

Una funzione si dice limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente. Es.: x → x², x ∈ R non limitata x → -x², x ∈ R è limitata inferiormente; infatti x² ≥ 0, ∀x ∈ R x → x₂x₃, x ∈ R è limitata poiché 0 ≤ x²÷(1+x²) ≤ 1, ∀x ∈ R

Funzioni simmetriche

Una funzione si dice pari quando il suo profilo è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate (es y = x²). Una funzione si dice dispari quando il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine (es y = x³)

Funzioni Periodiche

La funzione f: D → R (non costante) è periodica di periodo T₁ > 0 se T₁ è il più piccolo numero reale positivo tale che

f(x + T₁) = f(x) per ogni x ∈ D

Funzioni Composte

Date due funzioni f: E → R e g: F → R

Se f(E) ⊆ F cioè se per ogni x ∈ E si ha f(x) ∈ F si può definire la funzione

h: E → R composta di g ed f, denotata col simbolo g∘f mediante la formula:

• h(x) = g[f(x)]

f: x ↦ y ↦ z

g∘f: x ↦ z

(g∘f)^k(x) = g(f(x)) ∀ x ∈ X

Funzioni Inverse

La funzione che associa a ogni uscita y ∈ f(D) l'unico ingresso x ∈ D tale che

f(x) = y si chiama funzione inversa di f e si indica con il simbolo f^-1

Massimo e Minimo

x_M è punto di massimo se f(x_M) è il massimo di f.

x_m è punto di minimo se f(x_m) è il minimo di f.

Limiti

1. lim_x→x0 f(x) = L

∀ ε>0 ∃ δ>0: ∀ x ≠ x₀, |x−x₀|0: ∀ x ≠ x₀, |x−x₀| K

3. lim_x→∞ f(x) = L

∀ ε>0 ∃ K>0: ∀ x > K ⇒ |f(x)−L| 0 ∃ H > 0: ∀ x > H ⇒ f(x) > K

Algebra dei Limiti

senza Dimostrazione

Se per x→c f(x)→L₁ e g(x)→L₂ (L₁, L₂ ∈ R), allora per x→c si ha:

1. f(x) + g(x) → L₁ + L₂,
2. f(x) g(x) → L₁ L₂,
3. f(x)/g(x) → L₁/L₂ purché L₂ ≠ 0 e g(x) ≠ 0

Teorema sull'invertibilità di una funzione

Una funzione continua e strettamente monotona in un intervallo [a,b] è invertibile in tale intervallo.

Dimostrazione: f è strettamente crescente in [a,b] ⇒ risulta: f(a) < f(x) < f(b)

quindi f(a) è il minimo della f in [a,b], mentre f(b) è il massimo. Per il teorema dei valori intermedi assume tutti i valori compresi tra f(a) ed f(b). Cioè per ogni y ∈ [f(a), f(b)], esiste almeno un x ∈ [a,b] per cui f(x) = y. Tale x è unico; infatti, se esistessero due valori x₁, x₂ distinti, diciamo x₁ < x₂, per cui y = f(x₁) = f(x₂), allora dovrebbe risultare anche f(x₁) < f(x₂), dato che f è strettamente crescente. Quindi f: [a,b) → [f(a), f(b)]

f: [a,b] → [f(a), f(b)] è invertibile

Derivata prima e significato geometrico (retta tangente)

Sia f: [a,b) → R. f si dice derivabile in x₀ ∈ (a,b) se esiste finito il limite:

lim (h→0) (f(x₀+h) - f(x₀)) / h

Tale limite prende il nome di derivata prima

la retta di equazione y = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) si chiama retta tangente al grafico di f nel punto (x₀, f(x₀)).

Punti critici

Punto x in cui la derivata si annulla o non esiste

Derivate delle funzioni elementari

• 1) c → 0
• 2) x → 1
• 3) x² → 2x
• 4) 1/x → -1/x²
• 5) √x → 1/2√x
• 6) x^a → ax^a-1
• 7) sinx → cosx
• 8) cosx → -sinx
• 9) tgx → 1/cos²x
• 10) cotgx → -1/sin²x
• 11) e^x → e^x
• 12) log_ax → 1/xlna
• 13) a^x → a^xlna
• 14) log_ax → xloga
• 15) arcsinx → 1/√1-x²
• 16) arccosx → -1/√1-x²
• 17) arctgx → 1/1+x²

Se per esempio n = 2

f(x) = f(0) + x f'₍₀₎ + ^x2/₂ f''₍₀₎ + o(^x2) per x→0

SVILUPPI DI MACLAURIN DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI CON RESTO DI PEANO

(1 + x)^a = 1 + Ax + ^A_(A-1)/_2! x² + ... + ^{A(A-1)... (A-n+1)}/_n! xⁿ + o(xⁿ)

e^x = 1 + x + ^x2/_2! + ^x3/_3! + ... + ^xn/_n! + o(xⁿ)

e^-x = 1 - x + ^x2/_2! - ^x3/_3! + ... + ^{(-1)n xn}/_n! + o(xⁿ)

log (1 + x) = x - ^x2/₂ + ^x3/₃ + ... + ^{(-1)n-1 xn}/_n + o(xⁿ)

sin x = x - ^x3/_3! + ^x5/_5! + ... + ^{(-1)n x2n+1}/_(2n+1)! + o(x²ⁿ⁺¹)

cos x = 1 - ^x2/_2! + ^x4/_4! + ... + ^{(-1)n x2n}/_(2n)! + o(x²ⁿ)

tg x = x + ^x3/₃ + ^2x5/₁₅ + o(^x6)

arc tg x = x - ^x3/₃ + ^x5/₅ - ... + ^{(-1)n x2n+1}/_2n+1 + o(x²ⁿ⁺²)

FORMULA DI TAYLOR ALL'ORDINE n, CON RESTO SECONDO PEANO:

Sia f: (a,b) → ℝ derivabile in x₀ ∈ (a,b) n volte Allora

f(x) = T_n (x₀) (x) + o((x-x₀)ⁿ) per x→x₀

FORMULA DI TAYLOR ALL'ORDINE n, CON RESTO SECONDO LAGRANGE:

Sia f: (a,b) → ℝ derivabile n+1 volte in [a,b] e ∃ x₀ ∈ [a,b]. Allora

f(x) = T_n (x₀) (x) + ^f(n+1)(c)/_(n+1)! (x-x₀)ⁿ⁺¹

se x₀ = 0 MacLaurin