Analisi 1: teoria, definizioni, teoremi e dimostrazioni

Estremo superiore ed estremo inferiore

Sia E ⊆ X. Un numero k ∈ X (non necessariamente appartenente ad E) si dice un maggiorante di E se x ≤ k ∀ x ∈ X. k ∈ X si dice un minorante di E se x ≥ k ∀ x ∈ X. Un insieme superiormente o inferiormente limitato ha molti maggioranti o minoranti. Chiamiamo estremo superiore, supE, il minimo dei maggioranti di E, se esiste. Chiamiamo estremo inferiore, infE, il massimo dei minoranti di E, se esiste.

Punti di accumulazione

Dato l'insieme A ⊆ R e x₀ ∈ R, si dice che x₀ è punto di accumulazione per l'insieme A se in ogni intorno I(x₀) esiste un elemento x diverso da x₀ ed appartenente ad A. In formula: ∀ I(x₀), ∃ x ∈ A: x ∈ I(x₀) - {x₀}

Punto isolato

Un punto x₀ appartenente ad un sottoinsieme S in uno spazio topologico è un punto isolato di S se esiste un intorno di x₀, non contenente altri punti di S.

Punti interni ed esterni e di frontiera

Sia E ⊆ R, x ∈ R, x si dice punto interno ad E se esiste almeno un intorno completo di x tutto contenuto in E. Sia E ⊆ R, x ∈ R si dice punto esterno di E se esiste un intorno completo di x tutto contenuto nel complementare di E. Sia E ⊆ R, x₀ è un punto di frontiera di E se ogni intorno completo di x₀ contiene almeno un punto.

Insiemi chiusi ed aperti

Un insieme S si dice chiuso se contiene il suo interno e la sua frontiera. Un insieme S si dice aperto se i suoi punti sono tutti interni e non contiene punti di frontiera.

Funzioni limitate

Una funzione si dice limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente.

Esempio: x → x², x ∈ R  →  non limitato

x → x per x ≥ 0, x ∈ R  →  è limitata inferiormente, infatti x ≥ 0, ∀ x ∈ R

x → 1/^1+x2, x ∈ R  →  è limitata poiché 0 ≤ 1/^1+x2 ≤ 1, ∀ x ∈ R

Funzioni simmetriche

Una funzione si dice pari quando il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate (es. y = x²). Una funzione si dice dispari quando il suo grafico è simmetrico rispetto a…

Estremo superiore, estremo inferiore

Sia E ⊆ R. Un numero K ∈ R si dice un maggiorante di E se per ogni x ∈ E si ha x ≤ K. Si dice un minorante di E se per ogni x ∈ E si ha K ≤ x. Un insieme può contenere o inferiormente limitato ha molti maggioranti o minoranti. Chiamiamo estremo superiore, supE, il minimo dei maggioranti di E se esiste. Chiamiamo estremo inferiore, infE, il massimo dei minoranti di E se esiste.

Punti di accumulazione

Dato l'insieme A ⊆ R e x₀∈R, si dice che x₀ è punto di accumulazione per l'insieme A se in ogni intorno I(x₀) esiste un elemento x diverso da x₀ ed appartenente ad A. In formula: ∀I(x₀) ∃x∈A: x∈I(x₀) - {x₀}

Punto isolato

Un punto x₀ appartenente ad un sottoinsieme S in uno spazio topologico è un punto isolato di S se esiste un intorno di x₀ non contenente altri punti di S.

Punti interni ed esterni e di frontiera

Sia E ⊆ R, x₀∈R si dice punto interno ad E se esiste almeno un intorno completo di x₀ tutto contenuto in E. Sia E ⊆ R, x₀∈R si dice punto esterno di E se esiste un intorno completo di x₀ tutto contenuto nel complementare di E. Sia E ⊆ R, x₀ è un punto di frontiera di E se ogni intorno completo di x₀ contiene almeno un punto.

Insiemi chiusi ed aperti

Un insieme S si dice chiuso se contiene il suo interno e la sua frontiera. Un insieme S si dice aperto se i suoi punti sono tutti interni e non contiene punti di frontiera.

Funzioni limitate

Una funzione si dice limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente.

Esempi:

• x→x³, x∈R non limitato
• ^x/_1+x², x∈R è limitata inferiormente; infatti x≥0, ∀x∈R
• ^x/_1+x², x∈R è limitata poiché ^0x/_1+x² ≤ 1, ∀x∈R

Funzioni simmetriche

Una funzione si dice pari quando il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse delle ordinate (es: y=1/²). Una funzione si dice dispari quando il suo grafico è simmetrico rispetto sua area lineare (es: y=x³)

Funzioni periodiche

La funzione f:D → R (non costante) è periodica di periodo T, T > 0 se T è il più piccolo numero reale positivo tale che f(x+T)=f(x) per ogni x ∈ D

Funzioni composte

Date due funzioni f:E → R g:F → R. Se f(E) ⊆ F cioè se per ogni x ∈ E si ha f(x) ∈ F si può definire la funzione: h: E → R composta di f e g, denotata col simbolo g∘f mediante la formula: h(x)=g(f(x)) per ogni x ∈ E con f: x→y g: y→z g∘f: x → z