Definizioni Analisi matematica

Somma superiore: si dice somma superiore di

3 3'!

%∈[% ,%

% %&!]

.

relativa alla suddivisione . ()

= ′′()

Integrabilità: una funzione è detta integrabile secondo Riemann se ed il valore di

[, ] [, ].

su si dice integrale di su

: [, ] → ℝ

Funzione generalmente continua: è detta generalmente continua se è limitata ed ha

eventualmente un numero finito di punti di discontinuità. !

: [, ] → ℝ [, ] = ∗

Media integrale: Sia integrabile, si dice media integrale di su 5'6

5 () −

∫ . Graficamente, è l’altezza di un rettangolo di base con la stessa area del

6 .

sottografico di

: → ℝ. : → ℝ

Primitiva: Sia un intervallo, Una funzione si dice primitiva se è derivabile

. ()

= ().

in e vale .

Integrale indefinito: L’integrale indefinito di è l’insieme di tutte le primitive di

, ∈ ℝ, < , : [, ) → ℝ [, ]

Integrale improprio: Sia integrabile in tutti gli intervalli chiusi

7 5

< < . lim () = () =

∫ ∫

con Se esiste definisco . Se è reale e finito

6 6

&

7→5

() [, )

si dice che l’integrale di su converge oppure è integrabile in senso generalizzato su

[, ). = +∞

Se si dice che l’integrale diverge positivamente. ||

: → ℝ.

Integrabilità assoluta: Sia un intervallo, si dice assolutamente integrabile su se è

integrabile in senso generalizzato. ,

∈ ℝ. , max (, 0).

Parte positiva e parte negativa: sia La parte positiva di definita è La parte

' , '

−min (, 0). = −

negativa, è .

ANALISI DUE : → ℝ, ℕ.

Successione: una successione è una funzione dove è una semiretta di

lim = +∞ ∀ ∈ ∀ ≥

Limite di successione: si dice che se intorno di esiste tale che

/ 8 /

/→-

.

8 : → ℝ : ℕ →

Sottosuccessione: Sia una successione, consideriamo strettamente crescente.

/ /

è una sottosuccessione di .

9 /

( > ⟹ ≥

Monotonia: una successione è debolmente crescente se . Analoga definizione

/ / :

per gli altri casi. : → ℝ ∈ ℝ ≤

Limitatezza: una successione è limitata superiormente se esiste tale che

/ /

∀ ∈ . Analoga definizione per limitatezza inferiore.

/34(

∑ ∑

: → ℝ, = lim

Serie: sia definiamo una nuova successione. Definisco come ,

/ / 3 / / /

/→-

se questo esiste. Se il limite non esiste, la serie si dice indeterminata. /

∑ (−1)

: → ℝ,

Serie a segno alterno: sia una serie a segno alterno è una serie della forma ,

/ / /

dove è una successione a segno costante.

/ /

∈ ℝ > 0, ∈ ℝ. (, ) =

Palla: Dato , dato Si dice palla di centro e raggio l’insieme

/

{

() |(,

= ∈ ℝ ) < }.

; /

∈ ℝ > 0, ∈ ℝ. (, ) =

Sfera: Dato , dato Si dice sfera di centro e raggio l’insieme

/

{

() |(,

= ∈ ℝ ) = }.

; / /

⊆ ℝ ∈ ℝ

Punto interno: Sia . Un punto si dice punto interno ad se esiste una palla di centro

( ̇

( )

> 0 , > 0 ⊂ .

e raggio contenuta in ovvero se esiste tale che è l’insieme dei

( ; (

punti interni. /

∈ ℝ

Punto esterno: Un punto si dice punto esterno ad se esiste una palla di centro e raggio

( (

< <

( )

> 0 > 0 ⊂

contenuta in , ovvero se esiste tale che .

; (

/

∈ ℝ

Punto di frontiera: Un punto si dice punto di frontiera se non è né esterno né interno. è

(

l’insieme dei punti di frontiera. / /

⊂ ℝ ∈ ℝ

Punto di accumulazione: Dato , un punto si dice punto di accumulazione per se in

( { }

()

. ∀ > 0 . ∩ ≠ ∅.

ogni palla di centro esiste un punto di diverso da ; (

,

Punto isolato: Se un punto di non è di accumulazione per allora si dice punto isolato.

/

⊆ ℝ ,

Insieme aperto: Un insieme si dice aperto se ogni punto di è punto interno ad cioè se

̇ = . / <

⊆ ℝ

Insieme chiuso: Un insieme si dice chiuso se è aperto.

/

⊆ ℝ

Limitato: Un insieme si dice limitato se esiste una palla con centro l’origine che contiene

, ∃ > 0 . ⊂ (0, ).

tutto cioè se

∞: ∞ ∞ )

Intorno sferico di Un intorno sferico di (palla di centro e raggio è il complementare della

/

ℝ .

palla chiusa di con centro l’origine e raggio

"

ℝ = = ( , ) = = ( , ) = − ,

Retta: Dati due punti in , e e una retta è

! ! " " ! "

.

l’insieme dei punti che ottengo partendo da e spostandomi in direzione di

!

−

! " !

"

{ |

= + varia in ℝ} = •€ • ∈ ℝ | € • = € • + € •‚. In forma cartesiana:

−

! " !

%'% ='=

! !

= .

% '% = '=

" ! " ! = (, ),

Retta perpendicolare a passante per l’origine: Sia la retta perpendicolare a passante

−

"

•€

• ∈ ℝ | € • = € •‚. + = 0.

per l’origine è In forma cartesiana

)

= ( + ′( )( − ) = ()

Retta tangente al grafico: è la retta tangente al grafico in

( ( ( 1

(

"

( , ) ƒ€ • ∈ ℝ | € • = € • + „ )…†.

in forma cartesiana. In forma parametrica ho . (

( (

( (

>

ℝ = = ( , , ) = = ( , , ) = −

Retta passante per due punti in : siano e e

! ! ! ! " " " "

−

! " !

−

>

. = ˆ‰ Š ∈ ℝ | ‰ Š = ‹ Œ + ‹ Œ•.

La forma parametrica è In forma cartesiana

! " !

−

! " !

%'% ='=

! !

=

% '% = '=

" ! " !

Ž

ho .

='= ?'?

! !

=

= '= ? '?

" ! " ! >

ℝ = = ( , , ), = = ( , , ) = =

Piano passante per tre punti in : siano e

! ! ! ! " " " " >

>

( , , ). = •‰ Š ∈ ℝ | ‰ Š = + ( − ) + ( − )‘.

La forma parametrica è In

> > > !

)&) *&* )&) ,&,

! ! ! !

' '

)" &)! *" &*! )" &)! ," &,!

=

forma cartesiana ho: .

)+ &)! *+ &*! )+ &)! ,+ &,!

' '

)" &)! *" &*! )" &)! ," &,! "

γ: → ℝ ⊆ ℝ. = [, ],

Curve nel piano: Una curva nel piano è una funzione dove Se allora

"

γ: [, ] → ℝ γ() = γ().

si dice chiusa se Una curva si semplice se non ritorna mai su sé

γ() = γ().

stessa tranne al massimo

Sostegno della curva: si dice sostegno della curva l’immagine della curva stessa, cioè la traiettoria

percorsa dalla funzione. . . .

() (), ()).

γ = (

Vettore tangente alla curva: Si dice vettore tangente alla curva il vettore La

retta tangente ad una curva in punto è la retta che passa per quel punto ed ha come direzione il

= γ(P) + tγ′(P).

vettore tangente alla curva nel punto stesso.

Ω, , . Ω

Funzione: una funzione è una terna di oggetti: è il dominio, è il codominio ed è una

Ω .

legge che lega gli elementi di a quelli di "

{(, |(,

∈ ℝ, ) ∈ ℝ ) = }.

Insieme di livello: Dato l’insieme di livello corrispondente a λ è

lim (, ) = +∞ ∀ ∈ ℝ . ∃ > 0 . (, ) ≥ ∀ , ∈

Limite: Si dice che se

(%,=)→(% )

,=

# #

))\{( )}. |(,

(( , , lim (, ) = ∈ ℝ ∀ > 0 . ∃ > 0 . ) −

Si dice che se

@ ( ( ( ( (%,=)→(% )

,=

# #

))\{( )}.

| < ∀ , ∈ (( , , lim (, ) = ∈ ℝ ∀ > 0 . ∃ >

Si dice che se

@ ( ( ( ( (%,=)→-

(, (0,0) |(,

0 . ) ∉ ⟹ ) − | ≤ . lim (, ) = +∞ ∀ ∈ ℝ . ∃ >

Si dice che se

@ (%,=)→-

(, (0,0)

0 . ∀ ) ∉ . (, ) ≤ .

@ / /

: ℝ → ℝ ∈ ℝ lim () = ( ).

Funzione continua: una funzione è continua in se

( (

%→% #

( , )

Derivata parziale: Si dice che è derivabile parzialmente rispetto alla variabile nel punto ( (

)'#(% )

#(% ,A,= ,=

# # # #

lim

se esiste ed è finito. Si dice che è deriv