Definizioni Analisi Matematica I

Definizioni

Funzione

Siano (X,Y,β)Associa ad ogni elemento di X uno e un solo elemento del sec. di Y.

Si dice iniettiva se ad elementi distinti di X associa elementi distinti di Y.

Si dice suriettiva se ogni elemento del secondo insieme Y è cod., opporre può si almeno un elemento del primo insieme X.

Se assegniamo a (X,Y,β) f(x): ∀y∈Y: ∃x∈X: y=f(x)f: g e suoti suriezive ⇒ f: g ⊆ Y e f χ si dice biettive

Successione Numerica

Diciamo successione numerica ogni funzione del tipo p: ℕ→ℝn ∈ ℕ (pn) = a_n+p₀

a_n in numero reale associato al numero naturale n (a_n)_n∈ℕ

Una successione si dice definitivamente costante ∈ n ∈ ℕ: a_m=a_n∀n₀

Una successione si dice stabilizzata se:

1. ∃ n₀ ∈ ℕ: a_n = A ∀_n⁽¹⁾
2. ∀j∈ℕ ∃^-∞ ℕ_j: A_j^{a_n(∶)∈ℕ} (n_j)^u₀ f_nj > V₃;

a_n=x_a indice interno

Numeri Complessi

Si chiamano numero complesso una qualunque coppia ordinata a,b di numeri reali.

Maggiore

Sia X⊆ℝ.Un numero reale k si dice maggiorante di X se ≤k ∀x∈XUn numero reale h si dice minorante di X se h≤ ∀x∈X

Massimo

Sia A⊆ℝHeR è massimo di A se

1. ∀x∈A, 4 è maggiorante
2. H∈A

Minimo

He si dice minimo di A se

1. u⊆a ∀x∈A − minorante
2. u∈A

Definizioni

Funzione

Siano (X, Y, f)f associa ad ogni elemento di X uno e un solo elemento del sec.de Y.f si dice iniettiva se ad elementi distinti di X associa elementi distintidi Y.f si dice suriettiva se ogni elemento del secondo insieme Y è corrispondenza associato ad almeno un elemento del primo insieme X.Se assegnata a (X, Y, f) f: _X → _Y: ∃ ! x ∈ X : y = f(x)fugf è un sottinsieme → fugf ⊆ Y e f si dice biiettiva

Successione Numerica

Diciamo successione numerica ogni funzione del tipo f: IN → Rn ∈ IN → f(n) = a_n = u_n + v_na_n numero reale associato al numero naturale n(a_n)_n∈IN

Una successione si dice definitivamente costante se ∃ F ∃0 j con IN: a_n = A₀Una successione si dice stabilizzata se

1. ∃ n₀ A_n+lim a_A = A (A_n+lim)
2. ∀ j∈ IN ∃ j∈ IN: A_j = (^a∼_n0(An), n₀→ ∞))f: x → y :

Numeri Complessi

Si chiamano numero complesso una qualunque coppia ordinata (a, b) di numeri reali.

Maggiore e Minore

Supponiamo X ⊆ R.Un numero reale k si dice maggiorante di X se x≤k ∀ x ∈ X.Un numero reale h si dice minurante di X se x≥k ∀ x ∈ X.

Massimo

Sia A⊆RM ∈ R è massimo di A se

1. tra i reali è il maggiorante
2. M ∈ A

Minimo

m si dice minimo di A se

1. m ∉ a∀ a ∈ A - minurante
2. m ∈ A

INSIEMI LIMITATI

• Un insieme X si dice limitato superiormente se esistono maggiori reali di X. Si dice limitato inferiormente se esistono minori reali.
• Un insieme X si dice limitato se esso è limitato sia superiormente che inferiormente.

INSIEMI SEPARATI

Se sup A ≤ inf B allora A e B sono separati.

a ∈ A, b ∈ B.

INSIEMI CONTIGUI

Se sup A = inf B allora A e B sono contigui.

• A e B non contigui ≡ sono separati (a < b, ∀a, ∀b).
• ∃ z > 0 ∃ a₂ ∈ A, b₂ ∈ B b₂ - a₂ < z.

Dim.

Supponiamo che A e B sono contigui quindi sup A = inf B ⇒ A e B non sono separati.

Fissiamo z > 0 e consideriamo z / 2 > 0.

Per la seconda proprietà del sup, ∃ a₃ ∈ A: a₃ > sup A - z / 2.

Per la seconda proprietà del sup, ∃ b₃ ∈ B: b₂ > sup B - z / 2.

b₂ - a₂ < inf B + z / 2 - sup A

= z / 2 = z ⇒ b₂ - a₃ < z.

Sia f: A → B arbitraria e ora C un sottoinsieme non vuoto di A.

Si definisce funzione restrizione di f a C la legge che ad ogni x ∈ C (∈ A) associa l'elemento f(x) ∈ B:

f_C(x) = f(x) x ∈ C.

Stando A, B e