Definizioni Analisi Matematica I

Definizioni

Funzione

Siano (X,Y,β) una funzione ad ogni elemento di X uno e un solo elemento del esso di Y. Si dice iniettiva se ad elementi distinti di X associa elementi distinti di Y. Si dice suriettiva se ogni elemento del secondo insieme Y e' codi- posdente di almeno un elemento del primo insieme X. Se aggiunta a (X,Y,β) f:uo f:∀y∈Y:∃x∈X : y=f(x) f:gf e uno sott:insieme-> f:gf ^Y e f:p si dice biiettiva

Successione Numerica

Diciamo numerica ogni funzione del tipo f:N->R n∈N f(n)=an an=numero reale associato al numero naturale n (an)n∈N _{una successione si dice definitivamente costante se ∃T ∈N: ∀an:n∈T:an=an+1=an+2=0} Una successione si dice oscillante se ① ∃ f; ∀n∈N : A(n)+1

Numeri Complessi

Si chiamano numero complesso una qualsiasi coppia ordinata (a,b) di numere reali.

Maggiore

Supponiamo X⊆R. Un numero reale k si dire maggiorante di X se x≤k ∀x∈X

Minoranze

Un numero reale h si dire minorante di X se h≤x ∀x∈X

Massimo

Sia A⊆R H∈R e massimo di A se ① h≥x ∀x∈A e è maggiorante ② h∈A

Minimo

Si dice minimo di A se ① u≤x ∀x∈A ② u∈A

Insiemi limitati

Un insieme X si dice limitato superiormente se esistono maggioranti di X. Si dice limitato inferiormente se esistono minoranti.

Un insieme X si dice limitato se esso è limitato sia superiormente che inferiormente.

Insiemi separati

Se ^A < B allora A e B sono separati.

∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B

Insiemi contigui

Se ^A = B allora A e B sono contigui.

A e B sono contigui se sono separati (a < b, ∀a, ∀b).

∃ γ ≥ 0, ∃a₂ ∈ A, ∃b₂ ∈ B b₂ - a₂ ≤ γ

Dim.

Supponiamo che A e B sono contigui quindi ^A = B ⇒ A e B sono separati.

Fissiamo 3γ > 0 consideriamo 3^γ/2 ≥ 0.

Per la seconda proprietà del sup, ∃ a₃ ∈ A : a₃ > ^A - γ/2

Per la seconda proprietà del inf, ∃ b₃ ∈ B : b₃ ≥ B - γ/2

b₃ - a₃ < γ

Sia f : A → B arbitraria e sia C ⊆ A un sottoinsieme non vuoto di A.

Si definisce funzione restrizione di f a c la legge che ad ogni x ∈ C (⊆ A) associa l'elemento f(x) ∈ B.

f_C(x) = f(x) ∀ x ∈ C.

Siano A, B, e C tre insiemi arbitrari non vuoti con C ⊆ A e sia β : C → B, ogni funzione β : A - D → B tale che β\c è f viene detta funzione estensione o prolungamento di f a tutto A.

Campo di Esistenza

Siano X, Y due insiemi arbitrari e f una legge.

Chiamiamo campo di esistenza della funzione f l'insieme:

∃ : {x ∈ X tali che f(x) ≠ ☐}

Immagine di f(x)

Sia f : A → B . Si chiama insieme immagine di X ∈ A su B il sottoinsieme di B costituito da tutti gli elementi immagine di qualche punto di X, cioè l'insieme f(X) {f(x) , x ∈ X }

Serie Geometrica

Sia ∑_n=0^∞ a qⁿ delle serie geometrica di ragione q. La serie converge tra la sua ragione verifica la condizione se |q| log ( (1+1 / n)ⁿ)< 1/ n ∑, 1 / n ≥ 1/2 + 1/3 + … poiché lim log (ln n)= +∞

Anche lim 1/n = +∞

→ la serie armonica è divergente positivamente

Serie Armonica Generalizzata

Sia ∑_n=1^∞ 1 / n^x x>0 Per x≤ 1 la serie non può convergere

Serie a Termini non Negativi

Sia ∑_{n = 0}^+∞ … una serie a termini non negativi diverge positivamente.

Limiti di Funzioni di Variabili Reali

Sia f : X↦ℝ Supponiamo che X non sia delimitato superiormente. Diciamo che f converge ad L al tendere di x→+∞ se ∀ε>0 ∃ξ∈ℝ: |f(x)-L|<ε ∀x ∈ X, x≥ξ L-2< f(x) <L+ξ

Al variare x ≥ x

DERIVABILITÀ DI UNA FUNZIONE E DEFINIZIONE DI DERIVATA

Sia f: (a,b)→ℝ, x₀∈(a,b)

∀x∈(a,b)\{x₀}, si considera il seguente rapporto, chiamato R. incrementale

R_f(x₀x) = ( f(x) - f(x₀) ) / (x - x₀)

e se ne calcola il limite per x→x₀; se tale limite esiste finito esso verrà chiamato derivata di f in x₀ e sarà detto derivabile in x₀ ed x₀ sarà detto punto di derivabilità o regolarità di f.

Diremo f derivabile in un sottoinsieme A di (a,b) se esse è derivabile in ogni punto di A. Il più grande sottoinsieme del dominio di f in cui essa è derivabile viene detto "insieme di derivabilità."

Sia f: (a,b)→ℝ derivabile nei punti di un sottoinsieme A⊆(a,b), si chiama funzione derivata quella funzione che ad ogni x∈A ancora il numero f'(x₀). Tale funzione viene solitamente denotata con f', Df, ^df/_dx.

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA

Sia f: (a,b)→ℝ, x₀∈(a,b)

Sia P₀(x₀, f(x₀))

x₁≠x₀ x₁∈(a,b)

Q = (x₁, f(x₁))

∀f(x₀)≠f(x₁) ⇒ f(x₀)≠f(Q^-1)

Se f(x₀)≠f(x₁)

• (x-x₀) / (x-x₀) ≠ (f(y) - f(x)) / (f(x) - y)

⇒ y - f(x₀) = ^{f(x₁) - f(x₀)} / ^{x₁ - x₀)} (x - x₀)

y = ^{f(x₁) - f(x₀)} / ^{x₁ - x₀} (x - x₀) + f(x₀)

Il rapporto incrementale della f relativo ad x₀ calcolato in xa rappresenta il coefficiente angolare della retta secante il grafico nei punti P₀∈(x₀,f(x₀)) e Q = (x₁,f(x₁))