Definizioni analisi 2

Convergenza puntuale

Sia A ⊆ E: x ∈ A, definiamo una funzione f in A associando ad ogni x ∈ A il numero f(x) = lim →∞ {fn(x)}. La funzione f(x) converge puntualmente ad f(x) in A se ∀x ∈ A, ∀ℇ > 0, ∃ν ∈ N: ∀n > ν → |fn(x) - f(x)| < ℇ.

Convergenza uniforme

Sia {fn(x)} una successione di funzioni convergente puntualmente a f in A. La successione {fn(x)} converge uniformemente in A alla funzione f se ∀ℇ > 0, ∃ν ∈ N: ∀n > ν → |fn(x) - f(x)| < ℇ per ∀x ∈ A e si indica fn⇉f in A.

Serie assolutamente convergente

Sia +∞∑ una serie, con fn: E → R. La serie converge assolutamente in E se la serie +∞∑ |fn| converge puntualmente in E.

Serie totalmente convergente

Sia +∞∑ una serie di funzioni, fn: E → R. La serie converge totalmente in A ⊆ E se:

• {fn} sono limitate in A
• +∞∑ sup |fn| è convergente

Serie convergente puntualmente

Sia +∞∑ una serie di funzioni definite in E ⊆ R. La serie converge puntualmente in A ⊆ E a f se la successione delle somme parziali converge puntualmente in A ⊆ E a f, cioè ∀x ∈ A, ∀ℇ > 0, ∃ν ∈ N: ∀n > ν → |∑ fn(x) - f(x)| < ℇ.

Serie convergente uniformemente

Sia +∞∑ una serie di funzioni definite in E ⊆ R. La serie converge uniformemente in A ⊆ E a f se la successione delle somme parziali converge uniformemente in A ⊆ E a f, cioè ∀ℇ > 0, ∃ν ∈ N: ∀n > ν → |∑ fn(x) - f(x)| < ℇ, ∀x ∈ A.

Raggio di convergenza

Sia data la serie di potenze +∞∑ (a_n(x - x₀)ⁿ). Consideriamo l’insieme numerico +∞∑ H ≡ {ℎ ≥ 0 ∶ |ℎ| < +∞} = 0. L’insieme H non è vuoto e quindi ammette un estremo superiore ρ = sup H che si chiama raggio di convergenza della serie.

Serie di Taylor

Siano x ∈ R, ρ > 0, f: ]x - ρ, x + ρ[ → R una funzione avente derivate di qualsiasi ordine, allora la serie +∞ ∑ (f⁽ⁿ⁾(x₀)/n!) (x - x₀)ⁿ si chiama serie di Taylor della funzione f di centro x₀. Se x₀ = 0 la serie si chiama serie di Maclaurin.