Dalla derivata inversa (fine) al Teorema di Lagrange

(f^-1)' = ¹/_f'(x0)    y = F(x)

g(y) = arctg y    R    (-π/2, π/2)

yF(x) = tg x + F(x)

g(y₀) = F(x₀) ¹/_1+y0²

tg x₀ + tg(arctg (x₀)) = y₀

ES1    F(x) = tg x + F(x)

D = arctg y    ¹/_1+y²

ES2    y = F(x) = sin x

g(x) = x = arcsin (y)

g: [-1, 1] → -π/2⋅π/2

F(x₀)    cos x₀ + √1 - sin² x₀

D = arcsin x    1/√1-x²    x ∈ (-1, 1)_y0

F(x) = x+e^x

(F^-1(x))' a)

a)   _x+e^xx = F(y) (mo)

(F^-1)' (a)

(F^-1)' (a)

F'(a)

OSS.    f^-1 o f = n = funzione identità

f^-1(f(x)) * f(x)) = a(x)

(f^-1(y))'    ¹/_f'(x)

OSS1    (F(x), g(λ)(a(F(x))))

(F(x)) > 0

OSS2    F(x) = |x|    R{0}

ES    (F(x) = (x^-2- 4) x

F(x) = ¹/_x≥0    1 < 0

F'(x) = sign (|x|)    x /(x)

sign    (x^-2 - 4)(2x - 4)

(x^-2- 4)    (2x - 1)

(x^-2) = (2x - 1)

sign (x₀) = sign (arcsin(f(x₀)) + y_o)

TEOREMA Sia definita su un intervallo

Dim

• ^lim_x→x₀ (f(x))

NON DERIVABILITA’ prima

DERIVATE LATERALI

Se

1. Se

DERIVATA LATERALE DX di

DERIVATA (ALT) SX

OSS Se f è derivata solo su allora se esiste

PUNTI DI NON DER.

1. Se

PTO ANGOLOSO

OSS Se una tra

OSS Se e

2. Se

III Se

VERIFICARE CONTINUITÀ

O

f₁(x₀) = lim_x→x0 (f(x) - f(x₀))/x ≤ 0

Per l'IPOTESI

lim_x→x0 (f(x) - f(x₀))/x esiste finito per (a) i) TPS0 e quindi (f(x) - f(x₀))/x ≤ 0

f₁(x₀) = 0

OSS 1

F'(x) = 5x⁴

non è punto critico

OSS 2 i) tra i punti critici

ii) tra i punti di N.D. (non continuità)

iii) tra i punti di estremo di I

TEO ROLLE

f: [a,b] -> R

i) f continua su [a,b]

ii) f deriv. su (a,b)

iii) f(a) = f(b)

Th. esiste almeno c ∈ (a,b) f'(c) = 0