Dalla derivata inversa (fine) al Teorema di Lagrange

Derivate e funzioni inverse

(f^-1)' = ¹/_F'(x0), F'(x₀) ≠ 0

Funzioni trigonometriche e inverse

y = F(x), g(y) = arc tg y, ℝ (-π/2; π/2) → F(x) = tg x = F(x), sw(π/2; π/2) → ℝn = arctg y, g(y) = arctg y

g(y₀) = ¹/_F(x0) = ¹/_{1 + tg² x0} = ¹/_{1 + y0²}

tg x₀ = tg (arc tg (x₀)) = y₀, tgx(x) = tg (arc tg(y₀))

- g₀ = ¹/_{1 + y²}, y = F(x)

Funzioni e derivate

ES 2y = F(x) = sin x, sw[-π/2; π/2] → [-1; 1]

G(y) = π arcsin(y), g: ([-1; -1] → G: [-1; 1] → π/2; π^-1; π

g(y₀) = ¹/_F(xo) = ¹/_{cos(x0) + 1 - sin x0}

¹/_{1 - y²}

D = arccos sin x = ¹/_{1 - x²}

n ∈ (-1, 1)

sin (x₀) = sin(arcsin y^o)

Funzione esponenziale e inverse

ES F(x) = x + e^x

(F(x)^-1)' (1) (a) se y₀ = 1, esiste x = 0

(F^-1)'(1) = ¹/_F'(0) = ¹/_{1 + e⁰}

1^{-1 -} 1/2

OSS f^-1 o F(x) = Funzione Identità

f'(F(x_o) - F(x)^x = (F^-1(y))' = ¹/_F(x)

Non ho bisogno di determinarla la derivata funzione inversa

Proprietà delle funzioni

• Funzione identità: OSS 1F(x) g 0
• Funzione assoluta: OSS 2f(x) = |x| su ℝ \ {0}

F(x) = { -1 x ≥ 0, -1 x f'(x_c) = sig ^-|x|/_x se x ≠ 0

ES (F(x)) |x² - 4x|

simil (x² - 4) (x - 4) = ^{x - 1}/_{x² - 4} (2x - 4) se x≠0

2x + 4

Teorema e derivabilità

Teorema: Sia f definita su un intervallo I, f pari → Despari

Dim: f pari su I ↔ ∀x∈I f(-x)=f(x)

1. f sia pari e def. su I
2. Th: f(x) è dispari su I-f(x₀)=f(x₀)

Non Derivabilità Prima: Derivate Laterali

Se f(x) è def. e derivato su un I DX di x₀

Se esistenziale f(x₀)x→x₀, x→x₀, Derivata (Laterale) DX di f

Se f(x₀) è def. e derivato (2x₀ - f(x₀))

Derivata (A.T.) se

OSS Se f(x) è definita solo su [a; b) allora se esiste f(x₀)=f(x)

OSS Se f è continua in x₀ allora F derivabile in x₀ → F'(x₀)

Punti di non derivabilità

1. Se f'_(x0) -∈ &Reals; f(x₀) = &Reals; ∧ &Reals; ≠ &Reals; → Punto Angoloso
2. Se uno tra i due &Reals;₁, &Reals;₂) = ∞ Mentre l'altro è finito si porta comunque più P. A.
3. Se &Reals;₁ ed &Reals;₂ hanno segni discordi allora non punti di entrata
4. Se f'_(x0) = ∞, x0: pto Fermo Verticale (x è la retta tg in x₀)
5. Se f'_(x0) = ∞ e f'(x₀ = -∞ ——> Cuspidale

Verificare continuità

Criterio per la derivabilità destra

Sia f una funzione definita in I(x₀)

1. f sia continua in I(x₀) cioè tutto intervallo
2. f destra deriv in I(x₀) esiste finito lim_x→x0 f'(x_d)

Th: f è derivabile in x₀ e risulta lim_x→x0 f(x)-f(x₀)

Esempio di verifica

ES g(x)=k·x+e^-x2+1, x<0

log(1+x)+ln x²+1, x>0

x=0, g(0)=1, lim_x→0^- g(x)=lim_x→0^- (k·x+e^-x2+1) = 2

lim_x→0⁺ g = 1

g è continua in x₀=0 e k=2

g'(x)=k-e^-x2, x<0

1/1+x²

lim_x→0^- g'(x)= lim_x→0^- k-e^-x2= k-1

lim_x→0⁺ 1/1+x² = 1

k-1 =1 ⇒ k=2 (iii) Verificata g(0)=1

f è derivabile su h^+₀

Non so se cosa in x₀

3. lim_x→0 (lim_x→0 = 2(x), 0) ⇒ f'(x)=2|x|

Funzioni complesse e continuità

ES3 F(x)=arctg(^x⁄_x⁴+1)

f continua su ^⟹

f(x)=¹⁄_{1+(^x⁄x⁴)²⋅(-¹⁄x²)=-¹⁄1+x²}

lim(f(x))=-1

Funzioni trigonometriche e continuità

ES4 f(x)=^{x2sin(1⁄_x)}⁄_x≠0

f continua su limF(x)=⁰⁄_x→0 limx²sin¹⁄_x=0-x²<x sin¹⁄_x<x²0

1 2f(x)=1 cos(¹⁄_x)

f'1=sin(¹⁄_x)-cos¹⁄_x x≠0

Non posso usare criterio lim ^{[2 x sin(1⁄_x)-cos1⁄_x]=non esiste}⁄_x→0

utilizzato sgr. derivata

lim^(F(x)f(x))⁄_x→0=0

f(x) è deriv e risulta f(0)=0

Oss la f(x) deriv prima non puo avere discontinuità specie ma di seconda specie

Estremi e derivabilità

ESTREMI Sia f F(x)=M(E' I₂(x₀):I_a(x∈I

Per l i) f_x(x₀) = F_x(x₀) = F(x₀)

f^'(x₀) = lim_{x -> x0} f(x) - f(x₀) / x - x₀ = f^'_f esiste finito per co i)

PER TPS essendo f(x_l) - F(x₀) / x - x₀ x₀ f^'(x₀) x₀ F(x_l) - F(x₀) / x - x₀ esiste finito per co i)

Per TPS essendo f(x_l) - F(x₀) / x - x₀ >= 0 f^'(x₀) >= 0= f(x₀) = 0

Oss1 f(x) = x⁵ f^'(x) = 5x⁴ f(0) = 0 no punto critico non è punto di estremo

Oss2 i punti di estremo di una funzione definita su I possono i) tra i punti critici iii) tra i punti di N.D. (non continuità) iii) tra i punti di estremo di f

Teorema di Rolle

Teo Rolle: F: [a,b] -> (a,b) -> R

1. continuo su [a,b]
2. f deriv. su (a,b)
3. f(a) = f(b)

Dim: Per co l) ie teorema a VII -> ottenute su(a,b)

m = min_{x ∈ (a,b)} f(x_m) = F(x_m)

M = max_{x ∈ (a,b)}

Per Cag. 1) f₁(x₀) = F'(x₀) = F(x) = F(x₀)

f₁(x₀) = ^lim_x→x₀ ^{F(x) - F(x₀)}/_{x - x} = f'(x) esiste limite per Cag. 1)

PER T.P.S. essendo ^{F(x) - F(x₀)}/_{x - x} ≤ 0 quando x → x₀ f'(x₀) ≤ 0

lim ^{F(x) - F(x₀)}/_{x - x} esiste limite per Cag. 1)

Per T.P.S essendo ^{F(x) - F(x₀)}/_{x - x} ≥ 0 f'(x₀) ≥ 0⟹ f'(x₀) = f'(x₀) f'(x₀) = 0

OSS1 f(x) = x⁵

OSS2 I punti di estremo di una funzione definita su I possono essere: tra i punti critici, tra i punti di N.D. (NON CONTINUITÀ), tra i punti di estremo di I

Teorema di Roche

TEO ROCHE: F: [a,b] → [a,b] → R

• Continua su [a,b]
• Federu su (a,b)
• f(a) = f(b)

TH: esiste almeno un C∈(a,b) | f(c) = 0

Min= min_x∈[a,b] {f(xx)} f(a) = f(b)

M = max_x∈[a,b]

CASO I m=n => f(x)=k F'(x)=0 ∀ xε(a,b) esistono infiniti punti C

CASO II m≤(F(a)-F(b)≤M Almeno dei 2 è stretto

F(a)-F(b)<h F'(x)≠0 x∈ interno [a,b]=> F(x)=0 x=k+c

Corollario: Se F è deriv. su I esiste tra 2 fasi di frontiera uno zero di F'(x)

Esempio di funzione continua

ES f(x)=(x-1)(x-2)e^x(Cont. su ℝ) [1,2]

f(1)=f(2)=0

Teorema di Lagrange

TEO LAGRANGE: Sia f: [a,b]->ℝ

• f continua su [a,b]
• f deriv. su [a,b]

TH: esiste almeno un p t.c. C {\in} (a,b) : F'(c) (f(b)-f(a)/b-a)=tgx

Dim. y=n(x) retta AB (a;f(a)) (b;f(b)) y-f(a)=f(b)-f(a)/b-a (x-a) y=n(x) f(a) + f(b)-f(a)/b-ag(x)=f(x)-r(x)=F(x)-F(a)-_F(b)-F(a)∕_b-a(x-a)

• g con sv [a,b]
• g deriv. su (a,b)
• g(a)=f(a)-F(a)-_(b)-f(a)(a-a)=0
• g(b)=F(b)-F(a)-_(b)-(b)(b-a)=0

La g soddisfa su [a,b] ee ipo pol^e esiste c∈(a,b)    f(c)=0 f(c)=_f(a)-f(a)∕_b-a

Teorema delle funzioni monotone

Teorema: sia f def. su I (a,b)

• I Forni su I
• Th 1) F(x)≥0   ∀ x ∈ I F cresc su I^{2) F(x)≤0   ∀ x∈I F decres. I}

Dim   F cƒncenie   =>   F'(x₀)>0   ∀ x  &in;  &I   x₀, x∈I△F ∕ △x  &equals;  ⊂F(x)−F(x₀) ∕ x−x₀  (1) se F e cresc su I  ⇔  x₀<x   f(x)≤f(x)=> (x-x₀)>0   F(x)-F(x₀)>0△F  &equal; ∃  ƒinitePertPB  =>  f(x₀)≥0(—>)   f(x)≥0,  ∀x∈I  &rightarrow;  F<esc