Teorema della derivata funzione inversa

Teorema della derivata di una funzione inversa

Sia y = f(x) (f: X → Y) una funzione derivabile in un intervallo I ⊂ X.

Sia f⁻¹: Y → X la funzione inversa di f(x). Nei punti di I per cui è verificato f'(x) ≠ 0, si ha che:

D_y(f⁻¹(y₀)) = 1 / D_x(f(x), x₀), con (D_xf(x), x₀) ≠ 0.

Nota Bene

Fy = f(x) e x = f⁻¹(y). Pertanto, f'(f(x)) = 1 / x.

Dimostrazione

D_y(f⁻¹(y), y₀) = lim_y→y0 (f⁻¹(y) - f⁻¹(y₀)) / (y-y₀) = lim_x→x0 (x-x₀) / (f(x)-f(x₀)) = (lim_x→x0 1 / (f(x)-f(x₀))) (lim_x→x0 (x-x₀) / (x-x₀)).

Esempio

Se x>0 e f(x) = x², allora I = [0, +∞[.

• D_y (f⁻¹y y₀) = 1 / D_x(f(x), x₀)
• f⁻¹(y) = √y = 1 / 2x₀

Se f(x) = e^x, allora f⁻¹(y) = ln y.

D_y(ln y, y₀) = ^{dx(ex, x₀)}_e^x0 = e^x₀ = y₀

D_C(ln y, y₀) = 1 / y.