Curve, Analisi matematica II

CURVE

Def: Una curva nel piano è un'applicazione continua

[x(t), y(t) sono continue]

t ∈ [α,β] → ℝ²

x(t) : [α,β] → ℝ

y(t) : [α,β] → ℝ

t → (x(t), y(t)) eq. parametrica della curva

Def: Date x₁(t), x₂(t), ..., x_m(t) funzioni continue in [a,b]

si definisce curva l'applicazione

γ : [α,β] → ℝ

t → (x₁(t), x₂(t), ..., x_m(t))

Il sostegno della curva γ è il luogo dei punti

γ ([α,β])

Def: Una curva γ : [α,β] → ℝ² si dice semplice se ∀t₁,t₂ con almeno uno ∈ (α,β), risulta

γ(t₁) ≠ γ(t₂) ⇒ (γ(t₁) - γ(t₂) ≠ (0,0)

γ si dice chiusa se γ(α) = γ(β)

CURVE

Def. Una curva nel piano è un'applicazione continua

• x(t), y(t) sono continue

x(t): [α, β] → ℝ²

t → (x(t), y(t)) eq. parametrica della curva

Def. Date x₁(t), x₂(t), ..., x_m(t) funzioni continue in [α, β]

si definisce curva l'applicazione

γ: [α, β] → ℝ

t → (x₁(t), x₂(t), ..., x_m(t))

Il sostegno della curva γ è il luogo dei punti

γ([α, β])

Def. Una curva γ: [α, β] → ℝ² si dice semplice se ∀t₁, t₂

con almeno uno ∈ (α, β), risulta

γ(t₁) ≠ γ(t₂) ⇒ (γ(t₁) - γ(t₂) ≠ (0, 0))

γ si dice chiusa se γ(α) = γ(β)

Def

γ [a, b] -> ℝⁿ si dice regolare se ∃t₀ ∈ [a, b] e (x'_1(t), x'_2(t), ... x'_m(t)) = (0, 0 ... 0)

se γ è regolare in (a, b) => d(γ/) è semplice!

Passaggio dall'equazione cartesiana all'equazione parametrica

y = f(x) -> x = t -> y = f(t)

γ(t) = (t, f(t))

Equazione polare

ρ = ρ(θ)   θ ∈ [a, b]

x = ρ(θ) cos θ

y = ρ(θ) sin θ   θ ∈ [a, b]

Cambiamento di parametro

γ : [a, b] -> ℝ²

Φ : [c, d] -> [a, b]

ψ : [c, d] -> ℝ²

è un cambiamento di parametro se ψ(t) = γ(Φ(t))

se Φ ∈ → mantiene il verso

se γ è regolare e Φ ∈ C¹ Φ' ≠ 0 => Φ è regolare

Versore tangente

Def. Data γ regolare

T(s) = ^γ'(t)/_|γ'(t)| è detto versore tangente

N(t₀) = ¹/_|γ'(t)| (-y'(t), x'(t)) versore normale

T(t) ⊥ N(t) = 0

Lunghezza di γ

∑_n=0 L (tn, tn+1) = L (γ) = ∫_a^b |γ'(t)| dt

Def. Data γ regolare in [a, b], ⋃ [a₁, b₁]

Si definisce lunghezza di γ

L (γ) = ∫_a^b₁ |γ'(t)| dt + ∫_a₁^b |γ'(t)| dt = ∫_a^b |β'(t)| dt

Oss. La lunghezza non cambia se cambio il parametro