Analisi matematica II - curve

Lezione 8 Marzo 2021

Esempio:

∑ _m=0^M (m+1) 2^m

a_m > 0, a_m ≠ 0 m ≥ 1

a_m+1 a_m = m+1 (m+1) 2^m+1 / (n+2) 2^m+1 =

= (m+1)² / 2n (m)(m+2) → m→∞ 1/2 ≤ 1

L < 1 => la serie converge

I calcoli enunciati funzionano per serie con a_n ≥ 0, a_m > 0

Esempio:

∑ _m=1^∞ - 2 / n³ = -2 ∑ _n=a^∞ 1 / n³

termini positivi

=> l'importante è che la serie abbia SEGNO COSTANTE, non importa che il termine generale sia positivo!! (potrei avere anche il segno negativo come nel calcolo moltiplicativo)

Il fatto importante è che una data serie abbia termini costanti (almeno definitivamente)

Esempio:

∑ _m=a^∞ sen (n) / n³ / a_m

Concetto di convergenza assoluta:

Consultiamo la serie ∑ _m=a a_m e la serie dai valori assoluti ol A_n ∑ _n=a |a_n|, le quest'ultima è convergente diciamo che è

Teorema

Se Σ_n|a_n| è convergente allora Σ_n a_n è convergente(il che vuol dire che convergenza assoluta implica la convergenza semplice)

So

 Σ _{m = 1} ^+∞ &frac{|u_n (n)|}{m³} br = |a_n| > 0

  | &frac{u_n (n)}{m³} | ≤ &frac{1}{m³}

Σ b_n ≤ Σ &frac{1}{m³} convergenti ( α > 1 )

Quindi in virtù del confronto Σ b_m < +∞ sul serio deb. convergere assolutamente e quindi anche semplicemente.

Attenzione: non vale il viceversa(convergenza semplice non → convergenza assoluta)

Esempio:

 Σ_{m = 1}^+∞ (-1)^{m + 3} &frac{1}{m} nediamo una convergente

 Σ_{m = 1}^+∞ |(-1)^{m + 3} &frac{1}{m} | = Σ &frac{1}{m} ↓ (non converge)

Alcuni domande

1. Σ_{m = 1}^∞ &frac{aⁿ}{mⁿ} a ∈ℝ⁺ (a > 0)

Calcolo della radice: lim_{m → +∞} ^m√ &frac{aⁿ}{mⁿ} = lim_{m + 1} &frac{αn}{m} = o (≤ 1)

Complementi: Legame con gli integrali impropri

∑a_n     a_n=f(m)

a₀=f(0)

a₁=f(1)

a₂=f(2)

y₁=f(x)

∞

∑ c_n= ∑ f(m) =

n=0     m=0

=

∞ ∑

m=0 f(m) ⋅ℓ

f: [0, ∞) → ℝ

non negativa, f montona

decrescente

f(m + 1) ≤ f(x) ≤ f(m)

x ε [m, m+1]

a_m, m≥0

∞

∑ f(m+1) ⋅1 ≤ ∫

m=0

₍₁₎

∞ f (x) dx ≤

₍₂₎

∞ ∑ f(m) ⋅1

m=0

₍₁₎

borne dal

degrativo

polimero de t vervolvol che de pro

La convergenza dell’uno è collegata alla convergenza dell’ultimo

Resume

Sa f :[0, +∞) f (1, +∞) → ℝ ins funzione non negativa

ma decrescente cumulativa

∞

∑ f(m) convergente, ne e solv Le ∫

m=0 f(x)

coenga ce ∋

Applicazioni:

Serie armonica generalizzata

∞

∑ 1

n^α

convergente quello per 1 ≤ α ≤ 2

cumulom montata che por α ≥ 2 convergente ricaro

Lezione 12 Marzo 2021

Curve & arco di curva

Funzione va da I ⊆ ℝ a valori in ℝ^m

: I ⊆ ℝ → ℝ^m

• m = 2 curva nel piano
• m = 3 curva nello spazio

r(t) = (x₁(t), ..., x_m(t))

• r arco di curva continuo/curva continua ⇔ tutte le funzioni x_i(t), i = 1 ... m sono continue.
• r arco di curva C¹/ curva di classe C¹ ⇔ x_i ∈ C¹(I) ∀ i = 1, ..., m ⇔ x_i non tutte funzioni di classe C⁰.

Dove che esista x_i'() significa che

x_i'(t) = lim_h→0 ^{x_i(t + h) - x_i(t)}/_h esista finito

Fatto per tutte le componenti, questo significa:

lim_h→0 ^{r₂(t + h) - r₂(t)}/_h = lim_h→0 ^{(x₁(t + h) - x₁(t), ...)/_h = (x₁'(t), ..., x_m'(t)) = r2(t)}

x(x) = (x, f(x)) è

r'(x) = (1, f'(x))

_{d di parabola}

^Con m = 3: Curva piana

Se c’è la curva r(t) in R³ e esiste un piano

la contiene. Ovvero esiste un piano π t.c. r(t) ∈ π, ∀t ∈ I.

Esempi:

1) r(t) = (t, 2t - 1, 2t)

t ∈ R,

{ x=t

y=2t-1

z=2t

Curva piana

nella punti π:

A (0, -1, 0)

nella direzione

V (1, 2, 2)

il come intersezione

di due piani:

{ y =2x-1

z=2x

2) r(t) = (t, 2t - 1, 2t²)

t ∈ R

{ x=t

y=2t-1

−>

{ y = 2x - 1 piano

z=x² superficie

^{cos curva piana}

In generale (per sapere se una

sorza o meno). Ora piana

curva r(t), per risolubilità nei piani,

altra π: ax + by + cz + d = 0

{_{sub>tale che} }

ax(t) + by(t) + cz(t) + d = 0 ∀t∈I (costante per

ogni t )

nel tempo 2):

Esempi:

x(t) = (cos t,_-sen t), t ∈ [0, π]

a)

x'(t) = (_-sen t, cos t)

||x'(t)|| = √sen² t + cos² t = 1

∫₀^π 1 · dt = [t]₀^π = π

x(t) = (x(t), y(t))

x'(t) = (x_x(t), y_y(t))

||x'(t)|| = √[x'(t)]² + [y'(t)]²

x(t) = (x(t), y_o(t), z(t))

x'(t) = (x_x(t), y'_y(t), z'_z(t))

||x'(t)|| = √[x'_x(t)]² + [y'_y(t)]² + [z'_z(t)]²

y_o = f(x)curve tt piane

x(t) = (t, f(x))

x'(t) = (1, f'(t))

||x'(t)|| = √1 + [f'(t)]²

b) x(t) = (cos t, sen t, 3t) t ∈ [0, 8 π]elic – elicoidalecurve regolare

x(t), y(t), z(t) ∈ C^∞ ([0, 8 π])

x'(t) = (_-sen t, cos t, 3) ≠ 0

||x'(t)|| = √pq

sen² t + cos² t

L = ∫₀^8π √10 dt = [√10 t]₀^8π = 8√10 π

S: [a, b] ➔ [0, L] invertibile

t = t(s)

r(t) = r(t(s)) = r̃(s)

Esempio:

r(t) = (cos(t), sen(t), 3t) t ∈ [0, 8π]

‖r'(t)‖ = √10

s = S(t) = ∫₀^t √10 dt = √10 [t] ₀ = √10 t

s = √10 t ➔ t = s / √10

r̃(s) = (cos(s / √10), sen(s / √10), 3s / √10)

Osservazione:

Calcol r̃'(s) = (- 1/√10 sen(s / √10), 1/√10 cos(s / √10), 3/√10)

‖r̃'(s)‖ = √(1/10 (sen²(...) + cos²(...)) + 9/10) = √1 = 1

Il vettore derivato r̃' è un versore (tangente)

(Non è un caso!!)

t ∈ [a, b]

s ∈ [0, L]