Analisi matematica II - curve

Lezione 8 Marzo 2021

^ESEMPIO: _m=0 ^+∞ ∑ ^m/_(m+1)2^m A_n ≥ 0 A_n > 0 m ≥ 1

A_n+1/_An = (m+1)/_(m+2)2^m+1 (m+1)2^m/_m = = ^(m+1)2/_2m(m+1)2 m→+∞ 1/2 < 1

L < 1 => la serie converge

I criteri enunciati funzionano per serie con A_n ≥ 0, A_n > 0

^ESEMPIO: _m=1 ^+∞ ∑ - 2/6 n³ = -2 _n=1 ∑ ^+∞ 1/n³

termini positivi

- L'importante è che la serie abbia SEGNO COSTANTE, non tanto che il termine generico sia positivo!! (potrà benissimo avere il segno negativo ovvero una costante moltiplicatrice)

Un fatto importante è che una data serie abbia termini costanti (almeno definitivamente)

ESEMPIO: _m=α ^+∞ ∑ sen(n)/_n³ A_n

Concetto di convergenza assoluta

Consideriamo la serie ∑ A_m e la serie dei valori assoluti di _m=α ^+∞ ∑ (|A_m|). Se quest'ultima è convergente diciamo che la

Lezione 8 Marzo 2021

Esempio:

\[\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n}{(n+1) 2^n}\]

\(a_n \geq 0\) \(a_n > 0\) \(n \geq 1\)

Calcolo del rapporto

\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{(n+2) 2^{n+1}} \cdot \frac{(n+1) 2^n}{n} =\]

\[= \frac{(n+1)^2}{2n(n+1)(2)} \rightarrow \frac{1}{2} < 1\]

\(L < 1 \Rightarrow\) la serie converge

I calcoli enunciati funzionano per serie con \(a_n \geq 0\), \(a_n > 0\)

Esempio:

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{-2}{n^3} = -2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^3}\]

termini positivi

- L'importante è che la serie abbia segno costante, non basta che il termine generico sia positivo!

• (può boicottare anche un segno negativo con un estremo moltiplicativo)

Il fatto importante è che una data serie abbia termini costanti

Esempio:

\[\sum_{n=a}^{+\infty} \frac{\sin(n)}{n^3} \cdot a_n\]

Concetto di convergenza assoluta:

Consideriamo la serie \(\sum_{n=a}^{+\infty} a_n \) e la serie dei valori assoluti \(

\(a_n\),\)

se quest'ultima è convergente dichiariamo che è assoluta.

Teorema

Se Σ|an| è convergente allora Σan è convergente (mi dice che la convergenza assoluta implica la convergenza semplice)

⇒

Σ_n=N^+∞ |un(n)| / m³

Σ_n=N^+∞ |un(n)| / m³

bm = |an| > 0

|un(n) / m³| ≤ 1 / m³

Σ bm ⊆ Σ 1/m³ convergente (α > 1)

Per il criterio del confronto Σbm c +∞ = il suo obt. conveg.,

analogamente e quindi anche semplicemente.

Attenzione: non vale viceversa

(convergenza semplice ≠ convergenza assoluta)

Esempio:

Σ_m=1^+∞ (-1)^m+1 1/m vedremo essa convergente

Σ_m=N^+∞ (1-1)^m+1 1/m = Σ 1/m diverge (serie armonica)

Altro esempio:

1) Σ_m=α^+∞ a^m / mⁿ a ∈ R⁺ (a > 0)

Criterio della radice: lim_n→+∞ ^m√(a^m / mⁿ) = lim_n→+∞ a/mⁿ = 0 (∈ 1)

Le serie delle convergenze

2) Serie notevole

^∞ Σ a^n(m) _m=1

a ∈ R⁺; α ∈ R

(a > 0)

Criterio della radice

lim ^{n → ∞} √_mα^m = lim ^{n → ∞} m^1/n a = lim ^{n → ∞} ae^{α/n ln(m)} = a

⇒ a { a > 1 diverge a < 1 converge a = 1 ?

Le serie ottenute, per a = 1, diventa

^∞ Σ n^α _m=1 ≈ Σ ^{∞ m=1} 1 / n^-α

Se

-α ≤ 1 ⇒ Le serie diverge ⇒ α ≥ -1

-α > 1 ⇒ .... converge ⇒ α < -1

Riassumendo

Le serie ottenute convergono per a (0 < a < 1) ∨ (a = 1 ∧ α < -1)

Osservazione: (abilita commutativa)

a₀ + a₁ + ... + a_N = a_N + a₃ + a₂ + ... + a₀risultato in ordine diverso

Disporre i termini con le serie può creare dei problemicon le serie questo non si può fare, anzi vale il

Teorema (Riemann-Dini)

Se Σ A_n convergenti ma non assolutamente convergenti; Per ogni S ⊂ R o