Curve parametriche

X ESERCIZI E CASI PARTICOLARI

√

Si prenda la funzione , con derivata parziale rispetto a uguale a

2 2 x

+5

4 x y

4 x 5 y

e derivata parziale rispetto a uguale a . Si nota

y

√ √

2 2 2 2

+5 +5

4 x y 4 x y

subito che il gradiente si annulla nel punto (0, 0), che risulta essere di minimo

data la funzione sempre non nulla, tuttavia la funzione non è derivabile in quel

punto. 2 3 +12

3 x y+ y x−15 y

Prova d’esame: è data la funzione , strettamente

( ) =e

f x , y

crescente, si noti che i punti di estremo della funzione sono gli stessi

dell’esponente, che chiameremo , con elevazione a . Le derivate

g e g

( )

parziali rispettivamente rispetto a e a sono e

x y +12

6 xy e

( )

2 2 g , e il vettore gradiente si annulla quindi nei punti tali che:

−15+3

3 y x e { −2

y=

{ +12=0

6 xy x 4 2 2

−5 + =0

→ → x x x → x=±2, x=± 1

2 2 4

−15+ =0

3 y 3 x 2 + −5=0

x 2

x ( ) (−2, ) ,C=( )

Quindi i punti critici sono: , l’hessiano è

A= 2,−1 , B= 1 1,−2 , D=(−1,2)

2 2

( )=36( , nei punti C e D è positivo, mentre nei punti A e B è

−x )

H x , y y

negativo, quindi questi ultimi sono di sella. Dato che in D la derivata parziale

seconda rispetto a è positiva, esso è un punto di minimo relativo,

x

viceversa per C la derivata parziale seconda è negativa, quindi è un massimo

relativo. Per trovare i punti definitivi, ogni componente del punto è uguale alla

componente

corrispettiva elevazione .

e ( )

Un’equazione di una curva parametrica è definita “curva cartesiana”

y=f x ( )

( ) ( )

ϕ =

se data la funzione di una variabile di classe si ha che e

1 t t , f t

f C

la curva ha come sostegno il grafico di ed è regolare, la tangente della

f

t

curva nel punto è proprio uguale alla tangente del grafico di nel punto

f

0

( )

( ) 1

t , f t . Una curva appartiene alla classe se e solo se essa è una

(I )

C

0 0 ( )

' ' '

1 ( )= ( ) ( )

( )

curva regolare, quindi e , inoltre .

(t)

x ϕ ∀ ∈

∈C t x t , y t ≠ 0 , t Í

y t | |

| |

'

Quindi la norma del vettore derivato .

( )

ϕ >0

t

ϕ

Data una curva , essa è regolare a tratti se e solo se posto

[ ] ∀

<t =b

a=t …<t t , t i

, essa è regolare in ogni intervallo del tipo che va

+1

1 2 n i i

da 1 a .

n−1

Data la classica curva parametrica della circonferenza di raggio , essa è

r

∈[0,2 ]

1 t π

regolare poiché è di classe nell’intervallo in cui . E infatti il suo

C

vettore derivato ϕ non è mai nullo, a meno che non sia nullo.

) r

'(t

Si prenda invece la curva parametrica dell’ellisse

{ ( ) =a

x t cos t [ ]

( )

ϕ ∈

=

t , t 0,2 π ; a ,b> 0 , quindi la norma del vettore derivato è

( )=b

y t sin t ( ) 1

( ) ( ) ( )

sicuramente maggiore di 0, si può scrivere come , si

ϕ ∈C ∈

=

t t , f t , f t , t I

( )

' '

( )= ( )

nota subito che il vettore derivato è . Quindi risulta essere una

ϕ t 1, f t ≠0

curva regolare. ¿

( )=t

x t

Se si prende ad esempio la curva , essa non è regolare

( )=¿t∨¿ ∈[−1,1]

y t ,t

( )=¿

ϕ t

poiché non è derivabile in 0. Tuttavia, è regolare a tratti, poiché se si

(t)

y [−1, [0,1]

0]

suddivide in due intervalli e , la funzione risultante

( ) ( )

ϕ ϕ

=(t =(t )

nel primo caso, e nel secondo caso, quindi è una

t ,−t) t ,t

¿

curva cartesiana e rappresenta il sostegno. Lo stesso ragionamento

x∨¿

( ) ( )

2 3 ' 2

vale per la curva , il cui vettore derivato si

( ) ( )=

ϕ ϕ ∈[−1,1]

=

t t , t , t 2t ,3 t ,t [−1, [0,1]

0]

annulla nel punto 0, tuttavia è regolare a tratti negli intervalli e

√

3

(la richiesta è che il punto sia interno all’intervallo ). Se si pone e

I ( )

t= y t

√

3 2

quindi , allora ci si può fare un’idea di come venga la funzione:

( )=

x t y

Ponendo i valori di negli estremi, si avrà che e che a loro volta gli

t t= y

estremi della curva saranno (1, 1) e (1, -1).

2 2

( )

Esercizio: è data la funzione , il cui sostegno è uguale a

=x + −xy −x−

f x , y y y

={( ) } , quindi volendo disegnare il sostegno sarebbe:

X x , y : x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 4

Con la frontiera compresa. Per calcolare i vari punti critici e massimi e minimi si

vedono prima all’interno dell’insieme, poi sulla frontiera. Le derivate parziali

−

rispettivamente rispetto a ed a sono e , quindi

x y 2 x y−1 2 y−x−1

mettendo a sistema il vettore gradiente si annulla nel punto . L’hessiano

(1,1)

nel punto è maggiore di 0, quindi è un estremo relativo e la derivata parziale

seconda pura nel punto è positiva, quindi è un punto di minimo relativo e la

−1

funzione in quel punto assume il valore . Il punto è interno all’insieme

.

X s s

Adesso si chiamino i vari pezzi di frontiera: l’asse delle ascisse, l’asse

1 2

s

delle ordinate, la retta .

y=4−x

3 s

Per quel che riguarda , si scriva la parametrica e si adoperi poi la

1

{ ( )=t

x t [ ] 2

( )=t

∈ −t=g (t)

, t 0, 4 , f t , 0

sostituzione: , se si va a derivare si ottiene

( )=0

y t ( )

12 , 0

, quindi l’unico punto critico è , e dato che la derivata seconda

2t−1

è positiva sempre, si tratta di un punto di estremo relativo, il valore della

−1

funzione in quel punto è . Si ripete simmetricamente il procedimento per

2

{ ( )=0

x t [ ] 2

( )=t

∈ −t=g(t )

, t 0, 4 , f t , 0

s con il sistema , quindi il punto critico è

2 ( )=t

y t

( ) −1

12 s

0, e il valore della funzione in quel punto è . Per si adopera il

3

2

{ ( ) =t

x t 2

[ ] ( )=3 ( )

∈ =g(t )

, t 0, 4 , f t , 4−t t−2

sistema , la cui derivata prima è

( )=4−t

y t

, quindi l’unico punto critico si ha per e quindi è , in cui la

(2,

6 t−12 t=2 2)

derivata seconda è positiva, il valore della funzione in questo punto è 0.

Tuttavia, mancano i vertici della frontiera in questo caso, dato che vengono

studiati i punti interni, essi sono , , , i cui valori della

(0, (4, (0,

0) 0) 4)

funzione sono rispettivamente 0, 8 e 8. In conclusione, esaminata la frontiera e

i punti interni, si può affermare che il punto di minimo assoluto si ha

−1

internamente nel punto , in cui la funzione ha valore , mentre i

(1,1)

punti di massimo assoluto sono e , in cui la funzione vale 8.

(0, (4,

4) 0)

ALTRE NOZIONI

( )

( ) ( ) ( )

ϕ ∈[a

=

Data una curva , si dice che la curva è chiusa se e solo

t x t , y t , t , b]

( )=ϕ ( ) ( ) =( )

ϕ ϕ ∈[0,2 ]

se . Per esempio, si ha la classica curva

a b t r cos t , r sin t , t π

, i cui valori agli estremi sono uguali. ∀ ∈

t ,t I

2

Data una curva , è detta semplice se e solo se , con

ϕ : I → R 1 2

( )

ϕ ϕ(t )

t ≠

almeno un punto interno all’intervallo , risulta . Per esempio, si

I 1 2

{ ( ) =2cos

x t t

ϕ ∈[0, ]

: , t 2 π

ha la curva , è una curva chiusa data la definizione di

( )=sin2

y t t

curva chiusa, ma non è semplice poiché c’è un incrocio nell’origine

( ) ( )

π 32

ϕ =ϕ =0.

π Infatti il grafico è di questo tipo:

2 ¿

In pillole, una curva è chiusa quando dal grafico il punto di inizio e di fine

coincidono, mentre è semplice quando non si accavalla o incrocia su se stessa.