Curve parametriche

Curve parametriche

È data una funzione f, tale che f: X → ℝ, con X insieme compatto, si restringe l'insieme alla frontiera e si vedono massimi e minimi. Preso un intervallo I di ℝ, data una funzione φ: I → ℝ in particolar modo t → (x(t), y(t)), quest'ultima è una curva del piano.

Quindi è dato l'insieme di definizione della curva, chiamato "sostegno della curva":

• φ ∈ I = {(x(t), y(t)) ∈ ℝ² : t ∈ I}

Proprietà delle curve

Se la funzione è di classe C¹, allora anche la curva lo è. La curva si può scrivere anche come equazione parametrica, dato il parametro t:

• x = x(t)
• y = y(t)
• φ: I → ℝ², x: t ∈ I → t, f: I → ℝ

Ad esempio, si ha il sostegno della funzione, corrispondente al grafico di y = f(t), t ∈ I. Nella funzione f, il parametro è appartenente all'insieme dei numeri reali e può essere definito come sopra.

Esempi di curve parametriche

Altro esempio è la funzione x(t) = r cos(t), y(t) = r sin(t), in cui il sostegno è uguale alla circonferenza con centro nell'origine e raggio r. Infatti, elevando al quadrato le componenti del sistema si ha:

(x(t))² + (y(t))² = r² (cos²(t) + sin²(t)) = r²

Un ulteriore esempio, dati due numeri a, b > 0, è:

• x(t) = a cos(t)
• y(t) = b sin(t)

Quindi, l'equazione dell'ellisse con semiassi a e b è:

(x(t))²/a² + (y(t))²/b² = 1

Calcolo dei massimi e minimi lungo una curva

È data la funzione f(x, y) = xy, calcolare i massimi e i minimi considerando il sostegno X = {(x, y) : x² + y² ≤ 4}. Le derivate parziali rispetto a x e a y sono rispettivamente y e x, quindi il vettore gradiente si annulla nell’origine, in cui l’hessiano è negativo, quindi l’origine è un punto di sella.

Dato che la funzione è continua e limitata, il teorema di Weierstrass assicura che vi siano massimi e minimi, che vanno calcolati lungo la frontiera, dato che non vi sono massimi e minimi relativi. La frontiera è FX = {(x, y) : x² + y² = 4}. Dato che corrisponde alla circonferenza di raggio 2, si ha che l’equazione parametrica della curva è:

• x(t) = 2 cos(t)
• y(t) = 2 sin(t)

Quindi la funzione convertita è f(x(t), y(t)) = 4 sin(t) cos(t) = 2 sin(2t), la cui derivata è 4 cos(2t) che si annulla nei punti t = π/2, t = 3π/2, ma anche in 5π/4, 7π/4 considerando la periodicità della funzione coseno.

Analizzando i valori della funzione nei vari punti si ha:

• f(π/4) = 2
• f(3π/4) = -2

Che sono rispettivamente i valori massimi e minimi raggiunti. Quindi, tornando alla funzione di partenza e ricoll...